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Usando Nomógrafos Para Calcular Somas e Produtos

Nomógrafo é uma calculadora que permite obter graficamente de forma aproximada o resultado de diversas operações aritméticas ou funcionais. Este é um instrumento de cálculo analógico, assim como a régua de cálculo, mas muito interessante para ser usada em oficinas ou em aulas de História da Matemática.

Existem diversos tipos de nomógrafos ou nomogramas, os quais foram muito populares nas primeiras décadas do século passado. Neste post, apresentarei um nomógrafo para efetuar somas e diferenças de números inteiros, ideal para ilustrar as operações neste conjunto numérico, e um nomógrafo para calcular o produto de dois números.

Para confeccionar o nomógrafo para somas e diferenças precisamos apenas de uma folha de papel milimetrado e uma régua. Em seguida, desenhamos [;3;] colunas igualmente espaçadas conforme a figura acima. As escalas [;A;] e [;B;] possuem a mesma escala ([;1;] cm por exemplo para cada unidade) e a escala central, onde irá efetuar a soma, possui escala igual a metade das escalas em [;A;] e [;B;].

Construídas essas escalas e numeradas, o seu uso é feito com auxílio de uma régua. Por exemplo, na figura acima, está ilustrado a soma: [;5 + (-1) = 4;]. Para efetuar a subtração, basta proceder de forma inversa, ou seja, [;4 - (-1) = 5;] que é lido na coluna [;A;] e [;4 - 5 = -1;] que é lido na coluna [;B;].

Na construção do nomógrafo, sugiro que faça colunas compreendidas entre [;-10;] e [;10;] para as colunas [;A;] e [;B;] e de [;-20;] a [;20;] para a coluna central. Para justificar o nomógrafo acima, considere a figura abaixo.

Por semelhança de triângulos, temos

[;\frac{L - x_2}{m} = \frac{x_1 - x_2}{2m} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{x_1 + x_2}{2}\ u_1;]

onde [;u_1;] é a unidade de comprimento nas colunas [;A;] e [;B;]. Fazendo [;u_2 = u_1/2;], onde [;u_2;] é a unidade de comprimento da coluna central, segue que

[;L = \frac{x_1+x_2}{2}\cdot 2u_2 = (x_1 + x_2)\ u_2;]

Para o nomógrafo que efetua a multiplicação e a divisão, também é necessário uma folha de papel milimetrado e uma régua. Nesta folha, irá desenhar o gráfico da função [;y = x^2;] usando unidades iguais nos eixos [;x\ ;] e [;y;] (Por exemplo, [;u.c = 1\ cm;] ou [;2\ cm;]) conforme a figura abaixo.


Feito o gráfico, projetamos encima da curva as subdivisões feitas no eixo [;x\ ;]. Observe que neste eixo não temos números negativos, a escala no lado direito repete-se no lado esquerdo.

Para fazer uma multiplicação, basta alinhar uma régua entre dois pontos sobre a curva e ler o resultado no eixo [;y;]. Por exemplo, [;2,5\times 2 = 5;] conforme ilustrado no gráfico acima. Para compreender o funcionamento deste nomógrafo, analisaremos a figura abaixo.

Sendo [;y_1 = x_{1}^2;] e [;y_2 = x_{2}^{2};], então a reta que passa passa por [;(x_1,y_1);] e [;(x_2,y_2);] é dada por

[;y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\cdot (x - x_1) \quad \Rightarrow \quad y - y_1 = \frac{x_{2}^2 - x_{1}^2}{x_2 - x_1}\cdot (x - x_1);]

Simplificando esta expressão, temos

[;y = (x_2 - x_1)x + (-x_1)x_2 \qquad (1);]

A leitura [;L;] é obtida fazendo [;x = 0;], isto é, [;L = (-x_1)x_2;]. Invertendo o sentido na parte esquerda do eixo [;x\ ;], segue que [;L = x_1x_2;] como está ilustrado na figura acima.

Outro modo de efetuar o produto é através deste curioso mecanismo, baseado no compasso militar de Galilleu. A justificativa segue do teorema de Tales.

Gostará de ler também:
- As Barras de Napier;
- Economize Usando a Tab
ela Flex;
- O Mini-soroban de Cartolina.

- Somando com o Soroban.

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A Parábola e as Funções Quadráticas

As parábolas são curvas que aparecem em diversas situações, tais como a trajetória de uma pedra lançada obliquamente, no formato de um farol de automóvel e de um forno solar e também em uma ponte pênsil. O grego Apolônio descobriu que a parábola é um caso especial de curvas obtidas seccionando um cone por um plano, sendo por isso, chamadas de seções cônicas, os quais incluem as hipérboles e as elipses.

Definição 1: Uma parábola é um conjunto de pontos de um plano (lugar geométrico) que são equidistantes de um ponto fixo [;F;] e de uma reta fixa [;d;].

O ponto fixo [;F;] chama-se foco, reta fixa [;d;] chama-se diretriz e [;p;] é a distância focal. Para determinar uma equação simples desta curva, colocamos um sistema de coordenadas cartesianas de modo que o eixo [;x\ ;] é paralelo a diretriz, o foco passe pelo eixo [;y;] .

Desta forma, [;F(0,p/2);] e [;d:\ y = -p/2;]. A reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz é chamdo de eixo da parábola, na figura acima, o eixo da parábola é o eixo [;y;]. Além disso, o ponto da parábola que intercepta o seu eixo é chamado é o vértice [;V;]. Note que neste caso, [;V;] passa pela origem do sistema de coordenadas. Sendo [;P(x,y);] um ponto arbitrário da parábola, utilizando-se a fórmula da distância, temos

[;PF = dist_{P,d}\quad \Rightarrow \quad \sqrt{(x - 0)^2 + (y - p/2)^2} = y + p/2 \quad \Rightarrow \quad;]

[;x^2 + y^2 - py + \frac{p^2}{4} = (y + p/2)^2 = y^2 + py + \frac{p^2}{4} \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2py \qquad (1);]

Esta é a equação reduzida da parábola e constitui a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem tendo para o eixo dos [;y;].

Analisando a expressão [;(1);], conclui-se que, [;p;] e [;y;] tem o mesmo sinal. Assim, se [;p \succ 0;] a parábola tem concavidade voltada para cima e se [;p \prec 0;] a parábola tem concavidade voltada para baixo. Podemos representar esses fatos com os bonecos abaixo. Ele feliz, significa que a parábola possui a concavidade voltada para cima e o boneco triste, concavidade para baixo, conforme a figura abaixo.


De forma análoga, se a diretriz é paralela ao eixo [;y;], [;V(0,0);] e [;F(p/2,0);], a equação reduzida é dada por [;y^2 = 2px \quad (2);] e conforme o sinal de [;p;], temos a concavidade voltada para esquerda ([;p \prec 0;]) ou voltada para direita no caso em que [;p \succ 0;].

Exemplo 1: Um farol refletor é formado pela rotação da parábola [;x^2=2py;] em torno de seu eixo. Se ele tem [;60\ cm;] de profundidade e [;150\ cm;] de abertura, determine sua distância focal.

Resolução: Note que [;(60,75);] é um ponto do espelho. Assim, donde segue que [;75^2 = 2p\cdot 60;] ou [;p = 375/8\ cm;].

Em muitas situações, o vértice não está localizado na origem do sistema de coordenadas. Assim, se [;V(x_0,y_0);], a expressão [;(1);] é expressa na forma

[;(x - x_0)^2 = 2p(y - y_0) \quad (3);]

Por outro lado, uma função quadrática na variável [;x\ ;] é dada por

[;f(x) = ax^2 + bx + c \qquad \text{com} \qquad a \neq 0;]

Esta expressão pode ser escrita de outro modo, conhecida por forma canônica através dos passos abaixo:

[;f(x) = a\biggl(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\biggr) = a\biggl(x^2 + 2\cdot \frac{b}{2a}x + \frac{b^2}{4a^2}+ \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\biggr);]

[;=a \biggl [\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\biggr];]

[;f(x) = a\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr) - \frac{\triangle}{4a} \qquad (4);]
onde [;\triangle = b^2 - 4ac;]. De [;(3);],
[;y = \frac{1}{2p}(x - x_0)^2 + y_0 \qquad (5);]

Comparando as expressões [;(4);] e [;(5);], segue que

[;a = 1/2p \qquad (6);]

e que [;x_0 = -b/2a;] e [;y_0 = -\triangle/4a;]. Da expressão [;(6);], temos que uma função quadrática é côncava para cima se [;a \succ 0;] e côncava para baixo se [;a \prec 0;]. Além disso, concluímos que o vértice da parábola é dado por

[;V(\frac{-b}{2a},-\frac{\triangle}{4a});]

Proposição 1: A função quadrática [;f(x) = ax^2 + bx + c;] pode ser expressa na forma [;f(x) = a(x - x^{\prime})(x - x^{\prime \prime});], onde

[;x^{\prime} = \frac{-b - \sqrt{\triangle}}{2a} \qquad \text{e} \qquad x^{\prime \prime} = \frac{-b + \sqrt{\triangle}}{2a};]
são as suas raízes.

Demonstração: Da expressão [;(4);] segue que

[;f(x) = a\biggl[\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 - \biggl(\sqrt{\frac{\triangle}{4a^2}}\biggr)^2 \biggr] = a\bigg(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\triangle}}{2a}\biggr)\biggl(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\triangle}}{2a}\biggr);]

ou seja,
[;f(x) = a(x - x^{\prime})(x - x^{\prime \prime});]

Corolário 1: A abscissa do vértice [;x_v = -b/2a;] na função quadrática, é a média aritmética de suas raízes, isto é,

[;x_v = \frac{x^{\prime} + x^{\prime \prime}}{2};]

Demonstração: Fica a cargo do leitor verificar que [;x^{\prime} + x^{\prime \prime} = 2x_v;].

Conforme o sinal do discriminante [;\triangle = b^2 - 4ac;], a função quadrática pode ter duas raízes reais distintas, duas raízes reais iguais ou duas raízes complexas. Os gráficos abaixo retratam todas as situações possíveis.

Exemplo 2: Determine a equação do arco parabólico com base [;b;] e altura [;h;] como mostrado na figura abaixo.

Resolução: Sendo [;V(b/2,h);], da expressão [;(3);], segue que

[;\biggl(x - \frac{b}{2}\biggr)^2 = 2p(y - h);]

Como o arco passa pela origem do sistema de coordenadas, então

[;\biggl(0 - \frac{b}{2}\biggr)^2 = 2p(0 - h) \quad \Rightarrow \quad \frac{b^2}{4} = -2ph \quad \Rightarrow \quad p = -\frac{b^2}{8h};]
Assim,
[;\biggl(x - \frac{b}{2}\biggr)^2 = 2\cdot \frac{(-b^2)}{8h}(y - h) \quad \Rightarrow \quad \frac{(2x - b)^2}{4} = - \frac{b^2}{4h}(y - h);]
Logo,
[;y = \frac{4hx}{b} - \frac{4hx^2}{b^2};]