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O Plano no Espaço Tridimensional

O estudo do plano é importante no para compreender as funções de duas váriaveis. O conceito de plano tangente a superfície está intimamente relacionado ao conceito de derivada e diferenciabilidade destas funções. Portanto, o estudo desta classe de superfícies é o primeiro passo para compreender o Cálculo de funções de várias variáveis.

Uma das formas clássicas de obter a equação de um plano [;\alpha;] no [;\mathbb{R}^3;] é através de um vetor normal (ortogonal) [;\vec{N} = (a,b,c);] a [;\alpha;]
e de um ponto [;P_0(x_0,y_0,z_0);] sobre este plano conforme a figura ao lado.


Se [;P(x,y,z);] é um ponto qualquer sobre [;\alpha;], então [;\vec{N} \perp \vec{P_0P};], de modo que
[;\vec{N}\cdot \vec{P_0P} = 0 \quad \Rightarrow \quad (a,b,c)\cdot (x - x_0,y - y_0,z - z_0) = 0;]

[; a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \quad \Rightarrow;]

[;ax + by + cz -ax_0 -by_0 - cz_0 = 0;]

Denotando por [;d = -ax_0 -by_0 - cz_0;], obtemos a equação cartesiana ou geral do plano [;\alpha;], isto é,
[;\alpha: \quad ax + by + cz + d = 0 \qquad (1);]

Observe que os coeficientes [;a;], [;b;] e [;c;] de [;x\ ;], [;y;]e [;z;] são as componentes do vetor normal [;\vec{N};].

Exemplo 1: Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos [;A(-1,2,1);], [;B(2,0,3);] e [;C(1,3,2);].
Resolução: Sejam os vetores [;\vec{AB} = B - A = (2,0,3) - (-1,2,1) = (3,-2,4);] e [;\vec{AC} = C - A = (1,3,2) - (-1,2,1) = (2,1,1);]. Como esses vetores pertencem ao plano, então o vetor normal é dado por

[;\vec{N} = \vec{AB}\times \vec{AC} = (-6,5,7);]

Assim, segue da equação [;(1);], que o plano procurado [;\alpha;] é [;-6x + 5y + 7z + d = 0;]. Para determinar [;d;], subtituímos as coordenadas de quaisquer um dos pontos acima. Por exemplo, para o ponto [;A(-1,2,1);], temos:

[;-6\cdot (-1) + 5\cdot 2 + 7\cdot 1 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -23;]
Logo,
[;\alpha: \ -6x + 5y + 7z - 23 = 0;]

é a equação do plano procurado.

Conforme as componentes do vetor normal a um plano é nula, obtemos planos paralelos aos eixos coordenados ou planos paralelos aos planos coordenados se duas componentes são nulas.

Se apenas uma das componentes do vetor normal [;\vec{N};] ao plano [;\alpha;] é nula, por exemplo, [;c = 0;], é fácil ver que este plano é paralelo ao eixo [;z;].

De fato, sendo [;\vec{N} = (a,b,0);] então [;\vec{N} \in x0y;] de modo que [;\vec{N} \perp Oz;] e por definição de vetor normal, segue que [;\alpha \ \parallel \ 0z;], conforme a figura abaixo.


e neste caso, a sua equação cartesiana é dada por [;\alpha: \quad ax + by + d = 0;]. De forma análoga, um plano paralelo ao eixo [;x\ ;] é dado por [;\beta: \ by + cz + d = 0;] e um plano paralelo ao eixo [;y;] é dado por [;\gamma:\ ax + cz + d = 0;].

Temos também que se um plano é paralelo ao plano [;xOy;], então sua equação geral é dada por [;\alpha\ cz + d = 0;]. De fato, neste caso,

[;\vec{N} \parallel \vec{k} \quad \Rightarrow \quad a = b = 0;]

Os outros casos são análogos.

Exemplo 2: Determine a equação geral do plano paralelo ao eixo [;z;] e que passa pelos pontos [;(2,0,0);] e [;(1,1,0);].

Resolução: Usando expressão [; \alpha: \ ax + by + d = 0;], para o ponto [;(2,0,0);] temos

[;2\cdot a + b\cdot 0 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -2a;]

e para o ponto [;(1,1,0);], obtemos

[;1\cdot a + 1\cdot b -2a = 0 \quad \Rightarrow \quad b = a;]
Logo,

[;\alpha:\ ax + ay - 2a = 0 \quad \text{ou} \quad x + y - 2 = 0;]

Exercícios:

1) Determine a equação geral do plano ortogonal a reta [;r: \ 2x = y = -z;] que passa pela origem.
2) Mostre que a equação geral do plano que passa pelos interceptos [;(x_0,0,0);], [;(0,y_0,0);] e [;(0,0,z_0);] é dada por

[;\alpha:\ \frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 1;]

3) Um outro modo de determinar a equação de um plano que passa pelos pontos [;A;], [;B;] e [;C;] é considerar os vetores [;\vec{AB};], [;\vec{AC};] e [;\vec{AP};], onde [;P(x,y,z);] é um ponto qualquer sobre este plano [;\alpha;]. Sendo estes vetores coplanares, segue que o produto misto destes vetores é nulo, isto é,

[;(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AB}) = 0;]

Resolvendo esta expressão obtém-se a equação do plano [;\alpha;]. Use esta técnica e determine a equação do plano que passa pelos pontos [;(-1,3,2);], [;(2,-1,-1);] e [;(1,0,4);].

Gostará de ler também:
- A Equação da Reta no Espaço Tridimensional;
- Sobre o Produto Escalar;

- Sobre o Produto Vetorial;

- Sobre o Produto Misto.