Membros

sábado

A Matemática de Euler (Parte 1)

Já apresentei a série "O Cálculo de Leibniz" em [;5;] episódios. Em comemoração ao tricentésimo aniversário de nascimento de Leonhard Euler em [;2007;], Eric Merenstein fez um estudo minucioso de sua obra em várias áreas da Matemática e que agora apresentarei em vários episódios.

Veremos neste post suas contribuições em Análise seguindo as suas ideias. Assim, era muito comum que em suas demonstrações, o uso de grandezas infinitamente grandes ou infinitamente pequenas substituíam a Teoria dos Limites que teve seu desenvolvimento no século [;XIX;] com os trabalhos de Cauchy e Bolzano.

A sua grande perspicácia ao tratar os assuntos de Análise sempre o conduzia a resultados corretos. Assim, agindo desta forma, ele obteve as séries infinitas para as funções exponenciais, logarítmicas, a sua famosa identidade com números complexos e as constantes [;\pi;] e [;e;].

Para obter a série exponencial, Euler começou com a função [;y = a^x;] com [;a \succ 1;]. Em seguida, escreveu

[;a^{\omega} = 1 + \psi \qquad (1);]

onde [;\omega;] e [;\psi;] são dois números infinitesimais de mesma ordem, de modo que [;\psi = k\omega;] Portanto, [;k;]depende apenas de [;a;]. Assim,

[;a^x = (a^{\omega})^{x/\omega} = (1 + \psi)^{x/\omega};]

Fazendo [;j = x/\omega;] e usando o teorema binomial, temos:

[;a^x = (1 + k\omega)^{x/\omega} = \biggl(1 + \frac{kx}{j}\biggr)^{j};]

[;= 1 + j\biggl(\frac{kx}{j}\biggr) + \frac{j(j-1)}{2}\biggl(\frac{kx}{j}\biggr)^2 + \frac{j(j-1)(j-2)}{3!}\biggl(\frac{kx}{j}\biggr)^3+\ldots;]

[;=1 + kx + \frac{j-1}{j}\biggl(\frac{k^2x^2}{2\cdot 1}\biggr) + \frac{(j-1)(j-2)}{j\cdot j}\biggl(\frac{k^3x^3}{3\cdot 2\cdot 1}\biggr)+\ldots;]

Desde que [;x\ ;] é um número finito e [;\omega;] é um infinitésimo, então [;j;] é infinitamente grande e Euler concluiu que

[;\frac{j-1}{j} = \frac{j-2}{j}=\frac{j-3}{j}=\ldots = \frac{j-n}{j}=1;]

Observe que Euler trabalhou com grandezas infinitamente grande e infinitamente pequena, uma vez que a teoria de limites seria criada no século seguinte. De qualquer modo Euler estava correto em suas hipóteses. Portanto, a série para [;a^x;] é dada por

[;a^x = 1 + kx + \biggl(\frac{k^2x^2}{2\cdot 1}\biggr) + \biggl(\frac{k^3x^3}{3\cdot 2\cdot 1}\biggr) + \biggl(\frac{k^4x^4}{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\biggr) + \ldots;]

Fazendo [;x = 1;] temos:

[;a = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots;]

Ele calculou numericamente algumas decimais de [;a;] e obteve [;a = 2,7182818\ldots;] e designou essa constante pela letra [;e;]. Logo,

[;e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+\ldots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!};]

Gostará de ler também
- Grandes Matemáticos (Leonhard Euler);

- Euler: O Mestre de Todos Nós;
- Uma Prova que e é Irracional;
- Euler e o Quadrilátero Convexo;
- Alguns Matemáticos com suas Fórmulas Famosas.

Referência Bibliográfica:
- Merenstein, Eric. Leonhard Euler: University of Rochester, Spring, [;2008;].

quinta-feira

Uma Solução Analítica do Problema do Arbelo

Já apresentei na PSP [;1;], (click aqui), a demonstração do elegante problema do arbelo de Arquimedes. Neste post veremos uma solução analítica deste problema cujo enunciado é:

Sejam [;C;] um ponto qualquer sobre o semicírculo de diâmetro [;AB;] e [;CD;] a perpendicular a [;AB;]. Em seguida considere os semicírculos de diâmetros [;AD;] e [;DB;] respectivamente. A região limitada pelas [;3;] circunferências é chamado de arbelo de Arquimedes e sua área é igual a área do círculo diâmetro [;CD;], conforme a figura ao lado.

Sejam [;S_1;] a área do semicírculo de diâmetro [;BC;], [;S_2;] a área do semicírculo de diâmetro [;AC;] e [;S;] a área do círculo de [;CD;]. Provaremos que

[;S_{arb} = S \qquad (1);]

De fato, a equação cartesiana do círculo [;AEB;] é [;x^2 + y^2 = R^2;]. Sendo [;CD^2 = R^2 - x^2;], então

[;S = \frac{\pi CD^2}{4} = \frac{\pi(R^2 - x^2)}{4} \qquad (2);]

Por outro lado, [;BC = R - x;] e [;AC = R + x;], de modo que

[;S_1 = \frac{\pi}{2}\biggl(\frac{AC}{2}\biggr)^2 = \frac{\pi (R + x)^2}{8} \qquad \text{e} \qquad S_2 = \frac{\pi}{2}\biggl(\frac{BC}{2}\biggr)^2 = \frac{\pi (R - x)^2}{8};]

de modo que a área do arbelo é

[;S_{arb} = \frac{\pi R^2}{2} - S_1 - S_2 = \frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi}{8}[(R + x)^2 + (R - x)^2];]

[;S_{arb} = \frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi R^2}{4} - \frac{\pi x^2}{4} = \frac{\pi(R^2 - x^2)}{4} \qquad (3);]
De [;(2);] e [;(3);], obtemos [;(1);].

Uma consequência interessante deste resultado é mostrar a equivalência de áreas na figura abaixo, ou seja, mostre que a área das regiões de cor azul é igual a área das regiões de cor verde.

Devemos provar que [;S_1 + S_2 + S_3 = S_4 + S_5;]. Para isto, seja [;S_x;] a área da região interna do círculo de diâmetro [;CD;], limitada por [;S_1,S_2,S_3,S_4;] e [;S_5;]. Pelo teorema do arbelo, temos:

[;S_1 + S_2 + S_3 + S_x = S_4 + S_x + S_5;]

donde segue o resultado.

Gostará de ler também:
- As Lúnulas de Hipócrates;
- O Teorema da Corda Quebrada de Arquimedes;
- Provas Sem Palavras (Parte 15);
- Grandes Matemáticos (Arquimedes de Siracusa);
- Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone;