FATOS MATEMÁTICOS: 2010/10

sábado, 30 de outubro de 2010

A Matemática de Euler (Parte 1)

Já apresentei a série "O Cálculo de Leibniz" em $[;5;]$ episódios. Em comemoração ao tricentésimo aniversário de nascimento de Leonhard Euler em $[;2007;]$ , Eric Merenstein fez um estudo minucioso de sua obra em várias áreas da Matemática e que agora apresentarei em vários episódios.

Veremos neste post suas contribuições em Análise seguindo as suas ideias. Assim, era muito comum que em suas demonstrações, o uso de grandezas infinitamente grandes ou infinitamente pequenas substituíam a Teoria dos Limites que teve seu desenvolvimento no século $[;XIX;]$ com os trabalhos de Cauchy e Bolzano.

A sua grande perspicácia ao tratar os assuntos de Análise sempre o conduzia a resultados corretos. Assim, agindo desta forma, ele obteve as séries infinitas para as funções exponenciais, logarítmicas, a sua famosa identidade com números complexos e as constantes $[;\pi;]$ e $[;e;]$ .

Para obter a série exponencial, Euler começou com a função $[;y = a^x;]$ com $[;a \succ 1;]$ . Em seguida, escreveu

$[;a^{\omega} = 1 + \psi \qquad (1);]$

onde $[;\omega;]$ e $[;\psi;]$ são dois números infinitesimais de mesma ordem, de modo que $[;\psi = k\omega;]$ Portanto, $[;k;]$ depende apenas de $[;a;]$ . Assim,

$[;a^x = (a^{\omega})^{x/\omega} = (1 + \psi)^{x/\omega};]$

Fazendo $[;j = x/\omega;]$ e usando o teorema binomial, temos:

$[;a^x = (1 + k\omega)^{x/\omega} = \biggl(1 + \frac{kx}{j}\biggr)^{j};]$

$[;= 1 + j\biggl(\frac{kx}{j}\biggr) + \frac{j(j-1)}{2}\biggl(\frac{kx}{j}\biggr)^2 + \frac{j(j-1)(j-2)}{3!}\biggl(\frac{kx}{j}\biggr)^3+\ldots;]$

$[;=1 + kx + \frac{j-1}{j}\biggl(\frac{k^2x^2}{2\cdot 1}\biggr) + \frac{(j-1)(j-2)}{j\cdot j}\biggl(\frac{k^3x^3}{3\cdot 2\cdot 1}\biggr)+\ldots;]$

Desde que $[;x\ ;]$ é um número finito e $[;\omega;]$ é um infinitésimo, então $[;j;]$ é infinitamente grande e Euler concluiu que

$[;\frac{j-1}{j} = \frac{j-2}{j}=\frac{j-3}{j}=\ldots = \frac{j-n}{j}=1;]$

Observe que Euler trabalhou com grandezas infinitamente grande e infinitamente pequena, uma vez que a teoria de limites seria criada no século seguinte. De qualquer modo Euler estava correto em suas hipóteses. Portanto, a série para $[;a^x;]$ é dada por

$[;a^x = 1 + kx + \biggl(\frac{k^2x^2}{2\cdot 1}\biggr) + \biggl(\frac{k^3x^3}{3\cdot 2\cdot 1}\biggr) + \biggl(\frac{k^4x^4}{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\biggr) + \ldots;]$

Fazendo $[;x = 1;]$ temos:

$[;a = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots;]$

Ele calculou numericamente algumas decimais de $[;a;]$ e obteve $[;a = 2,7182818\ldots;]$ e designou essa constante pela letra $[;e;]$ . Logo,

$[;e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+\ldots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!};]$

Gostará de ler também
- Grandes Matemáticos (Leonhard Euler);
- Euler: O Mestre de Todos Nós;
- Uma Prova que e é Irracional;
- Euler e o Quadrilátero Convexo;
- Alguns Matemáticos com suas Fórmulas Famosas.

Referência Bibliográfica:
- Merenstein, Eric. Leonhard Euler: University of Rochester, Spring, $[;2008;]$ .

quinta-feira, 28 de outubro de 2010

Uma Solução Analítica do Problema do Arbelo

Já apresentei na PSP $[;1;]$ , (click aqui), a demonstração do elegante problema do arbelo de Arquimedes. Neste post veremos uma solução analítica deste problema cujo enunciado é:

Sejam $[;C;]$ um ponto qualquer sobre o semicírculo de diâmetro $[;AB;]$ e $[;CD;]$ a perpendicular a $[;AB;]$ . Em seguida considere os semicírculos de diâmetros $[;AD;]$ e $[;DB;]$ respectivamente. A região limitada pelas $[;3;]$ circunferências é chamado de arbelo de Arquimedes e sua área é igual a área do círculo diâmetro $[;CD;]$ , conforme a figura ao lado.

Sejam $[;S_1;]$ a área do semicírculo de diâmetro $[;BC;]$ , $[;S_2;]$ a área do semicírculo de diâmetro $[;AC;]$ e $[;S;]$ a área do círculo de $[;CD;]$ . Provaremos que

$[;S_{arb} = S \qquad (1);]$

De fato, a equação cartesiana do círculo $[;AEB;]$ é $[;x^2 + y^2 = R^2;]$ . Sendo $[;CD^2 = R^2 - x^2;]$ , então

$[;S = \frac{\pi CD^2}{4} = \frac{\pi(R^2 - x^2)}{4} \qquad (2);]$

Por outro lado, $[;BC = R - x;]$ e $[;AC = R + x;]$ , de modo que

$[;S_1 = \frac{\pi}{2}\biggl(\frac{AC}{2}\biggr)^2 = \frac{\pi (R + x)^2}{8} \qquad \text{e} \qquad S_2 = \frac{\pi}{2}\biggl(\frac{BC}{2}\biggr)^2 = \frac{\pi (R - x)^2}{8};]$

de modo que a área do arbelo é

$[;S_{arb} = \frac{\pi R^2}{2} - S_1 - S_2 = \frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi}{8}[(R + x)^2 + (R - x)^2];]$

$[;S_{arb} = \frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi R^2}{4} - \frac{\pi x^2}{4} = \frac{\pi(R^2 - x^2)}{4} \qquad (3);]$

De $[;(2);]$ e $[;(3);]$ , obtemos $[;(1);]$ .

Uma consequência interessante deste resultado é mostrar a equivalência de áreas na figura abaixo, ou seja, mostre que a área das regiões de cor azul é igual a área das regiões de cor verde.

Devemos provar que $[;S_1 + S_2 + S_3 = S_4 + S_5;]$ . Para isto, seja $[;S_x;]$ a área da região interna do círculo de diâmetro $[;CD;]$ , limitada por $[;S_1,S_2,S_3,S_4;]$ e $[;S_5;]$ . Pelo teorema do arbelo, temos: