FATOS MATEMÁTICOS: 2010/11

sábado, 27 de novembro de 2010

Demonstrações Geométricas Através de Vetores (Parte 1)

Neste post mostraremos que os vetores são excelentes ferramentas para demonstrar várias propriedades geométricas em triângulos e quadriláteros. É claro que o leitor já deve ter uma familiaridade com as operações vetoriais, tais como soma e diferença os quais podem ser obtidas através das regras do paralelogramo e do triângulo.

Além disso, dois vetores $[;\vec{A};]$ e $[;\vec{B};]$ são iguais se tem o memo módulo (intensidade), a mesma direção e o mesmo sentido. Um vetor que tem o mesmo módulo e a mesma direção de um vetor $[;\vec{A};]$ mas com sentido oposto, é chamado de vetor oposto e representado por $[;-\vec{A};]$ .

Exemplo 1: Sejam $[;M;]$ e $[;N;]$ os pontos médios de dois lados do $[;\triangle ABC;]$ . Mostre que $[;MN;]$ é paralelo ao terceiro lado e é a metade deste.

Resolução: Seja $[;M;]$ o ponto médio de $[;AB;]$ e $[;N;]$ ponto médio de $[;BC;]$ , conforme a figura acima. Assim, $[;\vec{AB} = 2\vec{AM};]$ e $[;\vec{BC} = 2\vec{BN};]$ . Como

$[;\vec{AB}\cdot \vec{MN} = \vec{AB}\cdot (\vec{MB} + \vec{BN}) = \vec{AB}\cdot \biggl(\vec{AM} + \frac{BC}{2}\biggr);]$

$[;\frac{\vec{AB}}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) = \frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{2}\quad \Rightarrow;]$

$[;\vec{AB}\cdot \biggl(\vec{MN} - \frac{\vec{AC}}{2}\biggr) = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{MN} - \frac{\vec{AC}}{2} = \vec{0};]$

donde segue que $[;MN \parallel AC;]$ e $[;MN = \frac{AC}{2};]$ .

Exemplo 2: Prove que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. (Figura abaixo).

Resolução: Sejam $[;M;]$ e $[;N;]$ os pontos médios de $[;AC;]$ e $[;BD;]$ respectivamente. Provaremos que $[;M=N;]$ . Note que $[;2\vec{AM} = \vec{AC};]$ e $[;2\vec{BN} = \vec{BD};]$ . Assim,

$\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} \quad \Rightarrow \quad \vec{AD} + \vec{AB} = \vec{AC}$

De forma análoga, $[;\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{BD};]$ . Somando essas expressões, obtemos $[;2\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{BD};]$ . Mas, $[;\vec{AD} = \vec{AN} + \vec{ND};]$ , donde segue que

$[;2(\vec{AN} + \vec{ND}) = 2\vec{AM} + 2\vec{BN} \quad \Rightarrow;]$

$[;\vec{AN} + \vec{BN} = \vec{AM} + \vec{BN} \quad \Rightarrow;]$

$[;\vec{AN} = \vec{AM} \quad \Rightarrow \quad N - A = M - A \quad \Rightarrow \quad M = N;]$

Exemplo 3: Demonstrar que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e igual à semi-diferença das bases. (Figura abaixo).

Resolução: Sejam $[;M;]$ e $[;N;]$ os pontos médios de $[;AC;]$ e $[;BD;]$ respectivamente. Assim, $[;\vec{AC} = 2\vec{AM};]$ e $[;\vec{BD} = 2\vec{BN};]$ . Mas,

$[;\vec{AM} + \vec{MN} + \vec{NB} = \vec{AB} \quad \Rightarrow;]$

$[;2\vec{MN} = 2\vec{AB} - 2\vec{AM} - 2\vec{NB} = 2\vec{AB} - 2\vec{MC} + 2\vec{BN};]$

ou seja,

$[;2\vec{MN} = 2\vec{AB} + 2\vec{BN} - 2\vec{MC} \qquad (1);]$

Por outro lado,

$[;\begin{cases}2\vec{BN} = \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD},\\2\vec{CM} = \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}\end{cases};]$

Assim,

$[;2\vec{BN} - 2\vec{MC} = \vec{BC} + \vec{CD} - \vec{AD} - \vec{DC} \quad \Rightarrow;]$

$[;2\vec{BN} - 2\vec{MC} = \vec{BC} + 2\vec{CD} - \vec{AD} \qquad (2);]$

Substituindo $[;(2);]$ em $[;(1);]$ ,temos:

$[;2\vec{MN} = 2\vec{AB} + 2\vec{CD} + \vec{BC} - \vec{AD} \qquad (3);]$

Mas, $[;\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0} \quad \Rightarrow;]$

$[;\vec{BC} - \vec{AD} = -\vec{AB} - \vec{CD} \qquad (4);]$

Substituindo $[;(4);]$ em $[;(3);]$ , segue que

$[;2\vec{MN} = \vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AB} - \vec{DC} \quad \Rightarrow;]$

$[;\vec{MN} = \frac{\vec{AB} - \vec{DC}}{2} \quad \Rightarrow \quad MN = \frac{AB - CD}{2};]$

Problemas Propostos:

1) Sejam $[;P;]$ , $[;Q;]$ , $[;R;]$ e $[;S;]$ pontos médios dos lados do quadrilátero $[;ABCD;]$ . Prove que $[;PQRS;]$ é um paralelogramo.

2) Com relação ao problema anterior, se $[;PQRS;]$ é um retângulo, o que representa o quadrilátero $[;ABCD;]$ ?

3) Demonstrar vetorialmente que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma.

Gostará de ler também:
- Euler e o Quadrilátero Convexo;
- Sobre os Quadriláteros Cíclicos;
- Sobre o Vetor Normal à uma Reta no Plano;
- Retas Perpendiculares no Plano;
- Organograma dos Quadriláteros Notáveis (Blog O Baricentro da Mente).

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Demonstrações Geométricas Através de Vetores (Parte 1)