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Algumas Propriedades da Sequência Prateada

Foi através do blog O Baricentro da Mente, que tomei conhecimento do número prateado, que é o análogo da razão áurea. Relacionada com esta razão, temos a sequência de Fibonacci e relacionado ao número prateado [;\delta_s;], temos a sequência prateada.

Após um estudo sobre o assunto, apresento alguns resultados sobre a sequência prateada e sua relação com o número [;\delta_s;]. De forma anáologa,
ela também é definida por uma relação de recorrência dada por

Definição 1: A sequência prateada [;(P_n);] é definida por

[;\begin{cases}P_1 = 1, \quad P_2 = 2\\P_n = 2P_{n-1} + P_{n-2}\end{cases};]
sendo [;n \in \mathbb{N};].

É fácil ver que os [;6;] primeiros termos são dados por [;1,2,5,12,29;] e [;70;]. Dois números muitos especiais relacionados a esta sequência é apresentado na próxima definição.

Definição 2: O número prateado [;\delta;] e seu conjugado [;\bar{\delta};] são definidos por [;\delta = 1 + \sqrt{2};] e [;\bar{\delta} = 1 - \sqrt{2};].

Por simplicidade de notação, usaremos [;\delta;] ao invés de [;\delta_s;].

Proposição 1: Seja [;n \geq 2;], então

[;\begin{cases}\delta^n = P_n\delta + P_{n-1} \qquad (1)\\\bar{\delta}^n = P_n\bar{\delta} + P_{n-1} \qquad (2)\end{cases};]

Demonstração: Usaremos indução finita para provar [;(1);]. A expressão [;(2);] segue de modo análogo. Para [;n = 2;], temos

[;\delta^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2}+ 2 = 3 + 2\sqrt{2};]

[;= 2(1 + \sqrt{2}) - 2 + 3 = 2\delta + 1 + P_2\delta + P_1;]
Suponhamos que
[;\delta^n = P_n\delta + P_{n-1} \qquad (3);]

seja válida. Mostraremos que [;\delta^{n+1} = P_{n+1}\delta + P_n;]. De fato,

[;\delta^{n+1} = \delta \cdot \delta^n = \delta (P_n\delta + P_{n-1}) = P_n\delta^2 + P_{n-1}\delta;]

[;=P_n(3 + 2\sqrt{2}) + P_{n-1}(1 + \sqrt{2});]



[;=(1 + \sqrt{2})P_{n+1} + P_n = \delta P_{n+1} + P_n;]

Corolário 1: (Fórmula de Binet) Se [;n \geq 1;], então

[;P_n = \frac{\sqrt{2}}{4}(\delta^n - \bar{\delta}^n) \qquad (4);]

Demonstração: Subtraindo a expressão [;(2);] de [;(1);], temos:

[;\delta^n - \bar{\delta}^n = P_n(\delta - \bar{\delta}) = 2\sqrt{2}P_n \quad \Rightarrow \quad P_n = \frac{\sqrt{2}}{4}(\delta^n - \bar{\delta}^n);]

Proposição 2: A soma [;S_n;] dos [;n;] primeiros termos da sequência prateada é dada por

[;S_n = \sum_{k=1}^{n}P_k = \frac{1}{2}(P_n + P_{n+1} - 1);]

Demonstração:
Pela expressão [;(3);], [;P_k\delta = \delta^k - P_{k-1};]. Assim,

[;S_n = \sum_{k=1}^{n} P_k = \frac{1}{\delta}\sum_{k=1}^{n}P_k\delta= \frac{1}{\delta}\sum_{k=1}^{n}(\delta^k - P_{k-1});]

[;=\frac{1}{\delta}\sum_{k=1}^{n}\delta^k - \frac{1}{\delta}\sum_{k=2}^{n}P_{k-1} = \frac{1}{\delta}\sum_{k=1}^{n}\delta^k - \frac{1}{\delta}\sum_{j=1}^{n-1}P_{j} \qquad (5);]

Mas, se [;a \neq 1;], então
[;a +a^2 + \ldots + a_n = \frac{a^{n+1} - a}{a - 1};]

Usando esta expressão em [;(5);], temos

[;S_n = \frac{1}{\delta}\cdot \frac{\delta^{n+1} - \delta}{\delta - 1} - \frac{1}{\delta}\biggl(\sum_{k=1}^{n}P_k - P_n\biggr) \quad \Rightarrow;]

[;(1 + 1/\delta)S_n = \frac{\delta^n - 1}{\delta - 1} + \frac{P_n}{\delta} \quad \Rightarrow \quad S_n = \frac{P_n}{\delta + 1} + \frac{\delta^n - 1}{2} \quad \Rightarrow;]

[;2S_n = 2P_n + \delta^n - (1 + \sqrt{2})P_n + P_n - 1;]

[;=2P_n + (\delta^n - \delta P_n) + P_n - 1 = (2P_n + P_{n-1}) + P_n - 1 \quad \Rightarrow;]

[;2S_n = P_{n+1} + P_n - 1;]

donde segue o resultado. Por exemplo, a soma dos [;6;] primeiros termos da sequência prateada é [;1 + 2 + 5 + 12 + 29 + 70 = 119;] e pela Prop. 2,

[;S_6 = (P_7 + P_6 - 1)/2 = (169 + 70 - 1)/2 = 119;]

Corolário 2: A soma de dois termos consecutivos na sequência prateada é ímpar.

Demonstração: Da proposição anterior, [;P_n + P_{n+1} = 2S_n + 1;] e sendo [;S_n;] um inteiro positivo, segue o resultado.
Corolário 3: [;P_n;] e [;P_{n+1};] são primos entre si.

Demonstração: Sendo [;P_n + P_{n+1};] ímpar, então [;P_n;] e [;P_{n+1};] possuem paridades distintas. Logo, [;mdc(P_n,P_{n+1}) = 1;].


Proposição 3: (Identidade de Cassini) Os termos da sequência prateada satisfazem a relação

[;P_nP_{n+2} - P_{n+1}^{2} = (-1)^{n+1}, \qquad \forall n \geq 1;]

Demonstração: Pela fórmula de Binet, [;P_n = \sqrt{2}(\delta^n - \bar{\delta}^n)/4;] de modo que

[;P_n\cdot P_{n+2} = (\frac{\sqrt{2}}{4})^2(\delta^n - \bar{\delta}^n)(\delta^{n+2} - \bar{\delta}^{n+2});]

[;=\frac{1}{8}[\delta^{2n+2} - (\delta \bar{\delta})^n\bar{\delta}^2 - (\delta \bar{\delta})^n\delta^2 + \bar{\delta}^{2n+2}];]

Mas, [;\delta \bar{\delta} = -1;], de modo que

[;P_nP_{n+2} = \frac{1}{8}[\delta^{2n+2} + (-1)^{n+1}\bar{\delta}^2 + (-1)^{n+1}\delta^2 + \bar{\delta}^{2n+2}]\qquad (6);]

Por outro lado,
[;P_{n+1}^{2} = (\frac{\sqrt{2}}{4})^2(\delta^{n+1} - \bar{\delta}^{n+1})^2;]

[;=\frac{1}{8}[\delta^{2n+2} - 2(-1)^{n+1} + \bar{\delta}^{2n+2}] \qquad (7);]

Subtraindo a expressão [;(7);] da expressão [;(6);], temos



[;= \frac{3}{4}(-1)^{n+1} + \frac{1}{4}(-1)^{n+1} = (-1)^{n+1};]

Proposição 4: A sequência [;(Q_n);] definida por [;Q_n = P_{n+1}/P_n;] converge para o número prateado [;\delta;] quando [;n \to \infty;].

Demonstração: Primeiramente mostraremos que [;\lim_{n\to \infty} Q_n;] existe e para isso, basta provar que [;Q_{n+1} - Q_n \to 0;] quando [;n \to \infty;]. De fato,

[;\lim_{n \to \infty}|Q_{n+1} - Q_n| = \lim_{n \to \infty}| \frac{P_{n+2}}{P_{n+1}} - \frac{P_{n+1}}{P_n}|;]

[;=\lim_{n \to \infty}|\frac{P_nP_{n+2} - P_{n+1}^{2}}{P_nP_{n+1}}| = \lim_{n \to \infty}\frac{|(-1)^{n+1}|}{P_nP_{n+1}} = 0;]

pois [;(P_n);] é uma sequência crescente. Seja [;L = \lim_{n \to \infty} Q_n;]. Assim,

[;L = \lim_{n \to \infty} \frac{P_{n+1}}{P_n} = \lim_{n \to \infty}\biggl(\frac{2P_n + P_{n-1}}{P_n}\biggr);]

[;= 2 + \lim_{n \to \infty} \frac{P_{n-1}}{P_n} \quad \Rightarrow \quad L = 2 + \frac{1}{L} \quad \Rightarrow;]

[;L^2 - 2L + 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad (L - 1)^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad L = 1 + \sqrt{2} = \delta;]

pois, [;L \succ 0;].

Gostará de ler também:
- O Número Prateado (blog O Baricentro da Mente);
- Calculando Somas Através da Derivada;
- Teoremas Interessantes Sobre Números Primos;
- Potências da Razão Áurea e a Sequência de Fibonacci;
- Sequências Aproximantes Para Raízes Quadradas.

3 comentários:

  1. Caramba Paulo, você levou este estudo a outro nível!! Tenho que ler com mais calma para entender todo o raciocínio. Parabéns pelo Post!!!

    Agradeço pelo link!

    Forte abraço!

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  2. Obrigado Kleber pelos elogios, mas acho que ainda a muito que descobrir desta sequência. Volte sempre!

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  3. Professor, tem um pequeno erro na 4ª linha da demonstração da preposição 1: 2(1+sqrt(2))-2+3 = 2(delta)+1 = P_2.delta + P_1 (o sinal de + está no lugar do =)

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