Membros

sábado

A Dobradura de Comprimento Mínimo

Neste post exploraremos uma simples brincadeira que é a dobradura de papel apresentada no seguinte problema de minimização:

Uma folha de papel retangular de largura [;a;] e comprimento [;b;], [;(a \prec b);] é colocada no lado maior oposto, como mostra a figura acima, e deixando lá enquanto se dobra e se marca a folha. O problema é determinar o valor de [;x\;] de modo a tornar o comprimento do vinco [;PR;] o menor possível.

Resolução: Na figura acima, o ponto [;Q;] estava originalmente em [;A;]. Sejam [;AP = x;] e [;PR = l;]. Assim, devido a dobradura [;PQ = x;], sugiro que experimente dobrar uma folha de papel [;A4;] buscando minimizar [;PR;] antes de ler o final desta solução. Por construção, os triângulos [;APR;] e [;RPQ;] são congruentes, de modo que [;\alpha + \beta = 90^{\circ};] e [;2\beta = \gamma + 90^{\circ};]. Assim,

[;\gamma + 90^{\circ} = 2(90^{\circ} - \alpha) \quad \Rightarrow \quad \gamma = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 2\alpha = 90^{\circ} - 2\alpha \quad \Rightarrow;]

[;\sin \gamma = \sin(90^{\circ} - 2\alpha) = \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 \qquad (1);]

Sendo [;AR^2 = l^2 - x^2;], segue que

[;\cos \alpha = \frac{AR}{PR} = \frac{\sqrt{l^2 - x^2}}{l} \qquad (2);]

Por outro lado,
[;\sin \gamma = \frac{PB}{PQ} = \frac{a - x}{x} \qquad (3);]

Substituindo [;(2);] e [;(3);] em [;(1);], temos:

[;\frac{a - x}{x} = 2\frac{l^2 - x^2}{l^2} - 1 \quad \Rightarrow \quad (a - x)l^2 = 2x(l^2 - x^2) - l^2x \quad \Rightarrow;]

[;l^2(2x - a) = 2x^3 \quad \Rightarrow \quad l^2 = \frac{2x^3}{2x - a} \qquad (4);]

Um outro modo de determinar [;l^2;] é o seguinte: Considere o quadrilátero [;ARQP;]. Como [;\hat{A} = \hat{Q} = 90^{\circ};], então [;\hat{P} + \hat{R} = 180^{\circ};], de modo que [;ARQP;] é um quadrilátero inscritível. Aplicando o teorema de Ptolomeu, temos que:

[;PR\cdot AQ = PQ\cdot AR + AP\cdot RQ = AP\cdot RQ + AP\cdot RQ \quad \Rightarrow;]

[;l\cdot AQ = 2x\sqrt{l^2 - x^2} \quad \Rightarrow \quad l^2AQ^2 = 4x^2(l^2 - x^2) \qquad (5);]

No [;\triangle ABQ;], retângulo em [;\hat{B};],

[;AQ^2 = AB^2 + BQ^2 = a^2 + [x^2 + (a - x)^2] = 2ax \qquad (6);]

Substituindo [;(6);] em [;(5);], segue que

[;l^22ax = 4x^2(l^2 - x^2) \quad \Rightarrow \quad 2al^2 = 4xl^2 - 4x^3 \quad \Rightarrow l^2 = \frac{2x^3}{2x - a};]

que é a mesma expressão obtida em [;(4);]. Observe que [;2x - a \succ 0;], ou seja, [;x \succ a/2;]. Derivando esta expressão, temos

[;2ll^{\prime} = \frac{6x^2(2x - a) - 2x^3\cdot 2}{(2x - a)^2} = \frac{8x^3 - 6ax^2}{(2x - a)^2}\quad \Rightarrow;]

[;l^{\prime}(x) = \frac{(4x - 3a)x^2}{(2x - a)^2l(x)} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3a/4;]

é o único ponto crítico admissível e pela natureza do problema, este valor irá minimizar a função [;l(x);].

Da solução encontrada, podemos a partir de uma folha retangular qualquer, construir a dobradura de comprimento mínimo do seguinte modo:

Dividimos a folha em [;4;] partes no sentido longitudinal conforme a figura abaixo. Dobre a folha, de modo que o vértice [;A;] encontre o lado [;BC;] no ponto [;Q;] e o vértice [;P;] fique sobre a terceira linha que está a [;3/4;] de distância de [;AD;].

Referência Bibliográfica:
- Thomas, George B. Cálculo, Vol. 1, [;11^{\underline{a}};] edição. Addison Wesley, São Paulo, 2009.

Gostará de ler também:
- Mínimos Locais Através da Desigualdade Aritmética-Geométrica;
- O Cálculo no Meio Rural;
- A Caixa com Tampa de Volume Máximo;
- O Ângulo Ótimo de Visualização.

2 comentários:

  1. Obrigado lindaura. Fico realmente agradecido pelo seu apoio. Volte sempre!

    ResponderExcluir