FATOS MATEMÁTICOS: A Dobradura de Comprimento Mínimo

sábado, 22 de janeiro de 2011

A Dobradura de Comprimento Mínimo

Neste post exploraremos uma simples brincadeira que é a dobradura de papel apresentada no seguinte problema de minimização:

Uma folha de papel retangular de largura $[;a;]$ e comprimento $[;b;]$ , $[;(a \prec b);]$ é colocada no lado maior oposto, como mostra a figura acima, e deixando lá enquanto se dobra e se marca a folha. O problema é determinar o valor de $[;x\;]$ de modo a tornar o comprimento do vinco $[;PR;]$ o menor possível.

Resolução: Na figura acima, o ponto $[;Q;]$ estava originalmente em $[;A;]$ . Sejam $[;AP = x;]$ e $[;PR = l;]$ . Assim, devido a dobradura $[;PQ = x;]$ , sugiro que experimente dobrar uma folha de papel $[;A4;]$ buscando minimizar $[;PR;]$ antes de ler o final desta solução. Por construção, os triângulos $[;APR;]$ e $[;RPQ;]$ são congruentes, de modo que $[;\alpha + \beta = 90^{\circ};]$ e $[;2\beta = \gamma + 90^{\circ};]$ . Assim,

$[;\gamma + 90^{\circ} = 2(90^{\circ} - \alpha) \quad \Rightarrow \quad \gamma = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 2\alpha = 90^{\circ} - 2\alpha \quad \Rightarrow;]$

$[;\sin \gamma = \sin(90^{\circ} - 2\alpha) = \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 \qquad (1);]$

Sendo $[;AR^2 = l^2 - x^2;]$ , segue que

$[;\cos \alpha = \frac{AR}{PR} = \frac{\sqrt{l^2 - x^2}}{l} \qquad (2);]$

Por outro lado,

$[;\sin \gamma = \frac{PB}{PQ} = \frac{a - x}{x} \qquad (3);]$

Substituindo $[;(2);]$ e $[;(3);]$ em $[;(1);]$ , temos:

$[;\frac{a - x}{x} = 2\frac{l^2 - x^2}{l^2} - 1 \quad \Rightarrow \quad (a - x)l^2 = 2x(l^2 - x^2) - l^2x \quad \Rightarrow;]$

$[;l^2(2x - a) = 2x^3 \quad \Rightarrow \quad l^2 = \frac{2x^3}{2x - a} \qquad (4);]$

Um outro modo de determinar $[;l^2;]$ é o seguinte: Considere o quadrilátero $[;ARQP;]$ . Como $[;\hat{A} = \hat{Q} = 90^{\circ};]$ , então $[;\hat{P} + \hat{R} = 180^{\circ};]$ , de modo que $[;ARQP;]$ é um quadrilátero inscritível. Aplicando o teorema de Ptolomeu, temos que:

$[;PR\cdot AQ = PQ\cdot AR + AP\cdot RQ = AP\cdot RQ + AP\cdot RQ \quad \Rightarrow;]$

$[;l\cdot AQ = 2x\sqrt{l^2 - x^2} \quad \Rightarrow \quad l^2AQ^2 = 4x^2(l^2 - x^2) \qquad (5);]$

No $[;\triangle ABQ;]$ , retângulo em $[;\hat{B};]$ ,

$[;AQ^2 = AB^2 + BQ^2 = a^2 + [x^2 + (a - x)^2] = 2ax \qquad (6);]$

Substituindo $[;(6);]$ em $[;(5);]$ , segue que

$[;l^22ax = 4x^2(l^2 - x^2) \quad \Rightarrow \quad 2al^2 = 4xl^2 - 4x^3 \quad \Rightarrow l^2 = \frac{2x^3}{2x - a};]$

que é a mesma expressão obtida em $[;(4);]$ . Observe que $[;2x - a \succ 0;]$ , ou seja, $[;x \succ a/2;]$ . Derivando esta expressão, temos

$[;2ll^{\prime} = \frac{6x^2(2x - a) - 2x^3\cdot 2}{(2x - a)^2} = \frac{8x^3 - 6ax^2}{(2x - a)^2}\quad \Rightarrow;]$

$[;l^{\prime}(x) = \frac{(4x - 3a)x^2}{(2x - a)^2l(x)} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3a/4;]$

é o único ponto crítico admissível e pela natureza do problema, este valor irá minimizar a função $[;l(x);]$ .

Da solução encontrada, podemos a partir de uma folha retangular qualquer, construir a dobradura de comprimento mínimo do seguinte modo:

Dividimos a folha em $[;4;]$ partes no sentido longitudinal conforme a figura abaixo. Dobre a folha, de modo que o vértice $[;A;]$ encontre o lado $[;BC;]$ no ponto $[;Q;]$ e o vértice $[;P;]$ fique sobre a terceira linha que está a $[;3/4;]$ de distância de $[;AD;]$ .