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A Matemática de Euler (Parte 4)

Trataremos nesta edição, do problema de Basel que foi proposto primeiramente por Pietro Mengoli em [;1644;] e resolvido por Euler em [;1735;]. Como o problema havia resistido ao ataque dos principais matemáticos do século [;XVII;], a solução de Euler lhe trouxe fama imediata.

Euler generalizou o problema e suas ideias foram retomadas anos mais tarde por Bernhard Riemann em seu artigo de [;1859;], no qual ele definiu sua função zeta, provando suas propriedades básicas. Basel significa Basiléia, a cidade natal de Euler e da família Bernoulli, que atacou sem sucesso este problema.

O problema da Basiléia, pede a soma da série formada pelos quadrados dos inversos dos números naturais, ou seja,

[;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \biggl(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +\ldots + \frac{1}{n^2}\biggr);]

A série é aproximadamente igual a [;1,644934;]. O problema de Basiléia pede a soma exata desta série. Euler mostrou que

[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\qquad (1);]

anunciando sua demonstração em [;1735;]. Seus argumentos foram baseados em manipulações que não se justificava na época, e foi somente em [;1741;], que ele foi capaz de produzir uma prova realmente rigorosa.

Mostraremos neste post, como Euler resolveu o problema manipulando as séries infinitas informalmente. Euler considerou o "polinômio infinito" dado por

[;P(x) = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots \qquad (2);]

A seguir, ele usou alguns truques para obter as raízes de [;P(x);]. Para [;x \neq 0;], temos

[;P(x) = \frac{1}{x}\biggl(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \biggr) = \frac{\sin x}{x};]

As raízes de [;P(x);] ocorrem quando [;\sin x = 0;], isto é, quando [;x = \pm k\pi;] com [;k \in \mathbb{N};]. Sabendo isto, Euler escreveu [;P(x);] na forma fatorada, isto é,

[;P(x) = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots = \biggl(1 - \frac{x}{\pi}\biggr)\biggl(1 - \frac{x}{-\pi}\biggr)\biggl(1 - \frac{x}{2\pi}\biggr)\biggl(1 - \frac{x}{-2\pi}\biggr)\ldots;]

[;=\biggl(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\biggr)\biggl(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\biggr)\biggl(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\biggr)\ldots \qquad (3);]

Por outro lado, expandindo este produto infinito, vemos que os seus dois primeiros termos são dados por


Comparando as expressões [;(2);] e [;(4);], segue que

[;\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2}+\ldots = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6};]

resultando na expressão [;(1);].

O leitor mais atento perceberá que esta prova carece de rigor matemático. Euler insatisfeito com esta demonstração, apresentou posteriormente uma prova alternativa para o problema de Basel.

Um corolário interessante deste resultado é o produto infinito descoberto por Wallis em [;1655;] e que veremos abaixo.

Corolário: (Fórmula de Wallis)

[;\frac{2}{\pi} = \frac{1.3.3.5.5.7.7\cdot\ldots}{2.2.4.4.6.6.8.8\cdot \ldots};]

Demonstração: Pela expressão [;(3);], vemos que

[;P(\pi/2) = \biggl[1 - \frac{(\pi/2)^2}{\pi^2}\biggr]\biggl[1 - \frac{(\pi/2)^2}{4\pi^2}\biggr]\biggl[1 - \frac{(\pi/2)^2}{9\pi^2}\biggr]\cdot \ldots;]

[;=\biggl(1 - \frac{1}{4}\biggr)\biggl(1 - \frac{1}{16}\biggr)\biggl(1 - \frac{1}{36}\biggr)\cdot \ldots = \frac{3}{4}\cdot \frac{15}{16}\cdot \frac{35}{36}\cdot \ldots;]

[; = \frac{1.3.3.5.5.7.7\cdot\ldots}{2.2.4.4.6.6.8.8\cdot \ldots};]

Sendo [;P(x) = \frac{\sin x}{x};], então [;P(\pi/2) = 2/\pi;], donde segue o resultado. Para os leitores interessados, apresento abaixo o link de uma prova alternativa desta proposição.

Referência Bibliográfica:
- Merenstein, Eric. Leonhard Euler. University of Rochester, Spring, 2008.


Gostará de ler também:
- A Matemática de Euler (Parte 1);
- A Matemática de Euler (Parte 2);
- A Matemática de Euler (Parte 3);
- O Produto Infinito de Wallis.

3 comentários:

  1. Nossa, é impressionante como Euler era afrente de seu tempo...

    Expressar o seno como uma série infinita sem uso do polinómio de taylor parecia impossível!

    De qualquer maneira, é um ótimo blog o seu, está de parabéns!

    Pergunto a você se gostaria de fazer uma parceria com o meu novo blog, o http://amatematicapura.blogspot.com/ ( A Matemática Pura).

    Dê uma passada lá, veja e, se gostar, podemos fazer uma parceria, não acha?

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  2. Álisson da Cunha Sousa28 de março de 2012 14:31

    Sempre ouvi falar nesse problema da Basiléia, muito interesante, agora sobre a família Bernoulli eu pensei que fosse apenas uma pessoa e não uma família toda de matemáticos.

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  3. Muito interessante!! Parabéns!

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