FATOS MATEMÁTICOS: A Matemática de Euler (Parte 4)

sábado, 15 de janeiro de 2011

A Matemática de Euler (Parte 4)

Trataremos nesta edição, do problema de Basel que foi proposto primeiramente por Pietro Mengoli em $[;1644;]$ e resolvido por Euler em $[;1735;]$ . Como o problema havia resistido ao ataque dos principais matemáticos do século $[;XVII;]$ , a solução de Euler lhe trouxe fama imediata.

Euler generalizou o problema e suas ideias foram retomadas anos mais tarde por Bernhard Riemann em seu artigo de $[;1859;]$ , no qual ele definiu sua função zeta, provando suas propriedades básicas. Basel significa Basiléia, a cidade natal de Euler e da família Bernoulli, que atacou sem sucesso este problema.

O problema da Basiléia, pede a soma da série formada pelos quadrados dos inversos dos números naturais, ou seja,

$[;\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \biggl(\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} +\ldots + \frac{1}{n^2}\biggr);]$

A série é aproximadamente igual a $[;1,644934;]$ . O problema de Basiléia pede a soma exata desta série. Euler mostrou que

$[;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\qquad (1);]$

anunciando sua demonstração em $[;1735;]$ . Seus argumentos foram baseados em manipulações que não se justificava na época, e foi somente em $[;1741;]$ , que ele foi capaz de produzir uma prova realmente rigorosa.

Mostraremos neste post, como Euler resolveu o problema manipulando as séries infinitas informalmente. Euler considerou o "polinômio infinito" dado por

$[;P(x) = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots \qquad (2);]$

A seguir, ele usou alguns truques para obter as raízes de $[;P(x);]$ . Para $[;x \neq 0;]$ , temos

$[;P(x) = \frac{1}{x}\biggl(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots \biggr) = \frac{\sin x}{x};]$

As raízes de $[;P(x);]$ ocorrem quando $[;\sin x = 0;]$ , isto é, quando $[;x = \pm k\pi;]$ com $[;k \in \mathbb{N};]$ . Sabendo isto, Euler escreveu $[;P(x);]$ na forma fatorada, isto é,

$[;P(x) = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots = \biggl(1 - \frac{x}{\pi}\biggr)\biggl(1 - \frac{x}{-\pi}\biggr)\biggl(1 - \frac{x}{2\pi}\biggr)\biggl(1 - \frac{x}{-2\pi}\biggr)\ldots;]$

$[;=\biggl(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\biggr)\biggl(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\biggr)\biggl(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\biggr)\ldots \qquad (3);]$

Por outro lado, expandindo este produto infinito, vemos que os seus dois primeiros termos são dados por

$P(x) = 1 - \biggl(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2}+\ldots\biggr)x^2+\ldots \qquad (4)$

Comparando as expressões $[;(2);]$ e $[;(4);]$ , segue que

$[;\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{4\pi^2} + \frac{1}{9\pi^2}+\ldots = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6};]$

resultando na expressão $[;(1);]$ .

O leitor mais atento perceberá que esta prova carece de rigor matemático. Euler insatisfeito com esta demonstração, apresentou posteriormente uma prova alternativa para o problema de Basel.

Um corolário interessante deste resultado é o produto infinito descoberto por Wallis em $[;1655;]$ e que veremos abaixo.

Corolário: (Fórmula de Wallis)

$[;\frac{2}{\pi} = \frac{1.3.3.5.5.7.7\cdot\ldots}{2.2.4.4.6.6.8.8\cdot \ldots};]$

Demonstração: Pela expressão $[;(3);]$ , vemos que

$[;P(\pi/2) = \biggl[1 - \frac{(\pi/2)^2}{\pi^2}\biggr]\biggl[1 - \frac{(\pi/2)^2}{4\pi^2}\biggr]\biggl[1 - \frac{(\pi/2)^2}{9\pi^2}\biggr]\cdot \ldots;]$

$[;=\biggl(1 - \frac{1}{4}\biggr)\biggl(1 - \frac{1}{16}\biggr)\biggl(1 - \frac{1}{36}\biggr)\cdot \ldots = \frac{3}{4}\cdot \frac{15}{16}\cdot \frac{35}{36}\cdot \ldots;]$

$[; = \frac{1.3.3.5.5.7.7\cdot\ldots}{2.2.4.4.6.6.8.8\cdot \ldots};]$

Sendo $[;P(x) = \frac{\sin x}{x};]$ , então $[;P(\pi/2) = 2/\pi;]$ , donde segue o resultado. Para os leitores interessados, apresento abaixo o link de uma prova alternativa desta proposição.

Referência Bibliográfica:
- Merenstein, Eric. Leonhard Euler. University of Rochester, Spring, 2008.

Gostará de ler também:
- A Matemática de Euler (Parte 1);
- A Matemática de Euler (Parte 2);
- A Matemática de Euler (Parte 3);
- O Produto Infinito de Wallis.

2 comentários:

João Pedro 'Jow Jow' Gonçalves Ramos17 de janeiro de 2011 13:41
Nossa, é impressionante como Euler era afrente de seu tempo...

Expressar o seno como uma série infinita sem uso do polinómio de taylor parecia impossível!

De qualquer maneira, é um ótimo blog o seu, está de parabéns!

Pergunto a você se gostaria de fazer uma parceria com o meu novo blog, o http://amatematicapura.blogspot.com/ ( A Matemática Pura).

Dê uma passada lá, veja e, se gostar, podemos fazer uma parceria, não acha?
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Álisson da Cunha Sousa28 de março de 2012 14:31
Sempre ouvi falar nesse problema da Basiléia, muito interesante, agora sobre a família Bernoulli eu pensei que fosse apenas uma pessoa e não uma família toda de matemáticos.
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A Matemática de Euler (Parte 4)

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