FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5)

segunda-feira, 3 de janeiro de 2011

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5)

Problema $[;13;]$ : Mostre que se $[;n;]$ é um inteiro maior que $[;1;]$ , então $[;n^4 + 4^n;]$ não pode ser um número primo.

Problema $[;14;]$ : Sejam $[;A;]$ e $[;B;]$ dois pontos distintos sobre a parábola $[;y = x^2;]$ . Seja $[;P;]$ um ponto sobre a parábola conforme figura abaixo. Determine $[;P;]$ de modo que a área do triângulo $[;APB;]$ seja máxima.

Problema $[;15;]$ : Num círculo de raio igual a $[;12\ cm;]$ está inscrito um $[;\triangle ABC;]$ cujos lados $[;AB;]$ e $[;AC;]$ medem $[;8\ cm;]$ e $[;9\ cm;]$ respectivamente. Calcule a altura relativa ao lado $[;BC;]$ .

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4).

Problema $[;10;]$ : Seja $[;O;]$ o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo $[;ABC;]$ . Seja $[;D;]$ a interseção da mediatriz de $[;AC;]$ com o cateto $[;BC;]$ . Sejam $[;S_1;]$ e $[;S_3;]$ as áreas dos semicírculos de diâmetros $[;AB;]$ e $[;OD;]$ , e $[;S_2;]$ a área entre os semicírculos de diâmetros $[;BC;]$ e $[;DC;]$ conforme a figura abaixo. Se $[;S;]$ representa a área entre os semicírculos de diâmetros $[;AO;]$ e $[;AC;]$ , prove que $[;S = S_1 + S_2 + S_3;]$ .

Resolução: Para este problema, usaremos o seguinte lema:

Lema 1: A área do semicírculo cujo diâmetro é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos semicírculos cujos diâmetros são cada um dos catetos desse triângulo.

Demonstração: Basta observar no triângulo $[;ABC;]$ , que pelo teorema de Pitágoras, temos

$[;AB^2 + BC^2 = AC^2 \qquad (1);]$

Multiplicando a equação $[;(1);]$ por $[;\pi/8;]$ , obtemos:

$[;\frac{\pi}{8}AB^2 + \frac{\pi}{8}BC^2 = \frac{\pi}{8}AC^2 \qquad (2);]$

Agora observe que a área do semicírculo de diâmetro $[;AB;]$ equivale a

$\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \biggl(\frac{AB}{2}\biggr)^2 = \frac{AB^2\pi}{8}$

De maneira análoga, a área do semicírculo de diâmetro $[;BC;]$ equivale a $[;BC^2\pi/8;]$ e a do semicírculo de diâmetro $[;AC;]$ é $[;AC^2\pi/8;]$ . Basta olhar para a equação $[;(2);]$ , que concluímos a demonstração do lema.

Agora, vamos nomear as outras áreas: Seja $[;S_4;]$ a área do semicírculo de diâmetro $[;AO;]$ e $[;S_5;]$ a área do semicírculo de diâmetro $[;DC;]$ . Pelo lema $[;1;]$ , temos:

$[;S + S_4 = S_1 + S_2 + S_5 \quad \Rightarrow \quad S = S_1 + S_2 + S_5 - S_4 \qquad (3);]$

Observe o triângulo $[;COD;]$ . Ele é retângulo, já que o ângulo $[;C\hat{O}D;]$ é reto. Note que a área do semicírculo de diâmetro $[;OC;]$ é equivalente a área do semicírculo de diâmetro $[;AO;]$ já que $[;AO = OC;]$ . Então pelo lema $[;1;]$ podemos escrever:

$[;S_3 = S_5 - S_4 \qquad (4);]$

Substituindo $[;(4);]$ em

, segue que $[;S = S_1 + S_2 + S_3;]$ .

Solução enviada por Luiz Fernando Bossa.

Problema $[;11;]$ : Dado o $[;\triangle ABC;]$ , prove que

$[;\sin \frac{\hat{A}}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p - c)}{bc}};]$

onde $[;p;]$ é o semi-perímetro do triângulo.

Observação: Claramente, esta fórmula estende-se para os outros ângulos $[;\hat{B}/2;]$ e $[;\hat{C}/2;]$ .

Resolução: Seja $[;D;]$ um ponto sobre o lado $[;BC;]$ tal que $[;AD;]$ é bissetriz do ângulo $[;\hat{A};]$ .

Pela Lei dos Cossenos, temos

$[;a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \hat{A} = b^2 - 2bc + c^2 + 2bc(1 - \cos \hat{A}) \quad \Rightarrow;]$

$[;a^2 = (b - c)^2 + 4bc\sin^2 \frac{\hat{A}}{2} \quad \Rightarrow;]$

$[;4bc\sin^2 \frac{\hat{A}}{2} = (a + b - c)(a - b + c) = (2p - 2b)(2p - 2c);]$

donde segue que

$[;\sin \frac{\hat{A}}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p - c)}{bc}};]$

Problema $[;12;]$ : Prove que dentre quaisquer cinco números reais $[;y_1;]$ , $[;y_2;]$ , $[;y_3;]$ , $[;y_4;]$ e $[;y_5;]$ , existem $[;2;]$ que satisfazem:

$[;0 \leq \frac{y_i - y_j}{1 + y_iy_j} \leq 1;]$

Resolução: A expressão entre as desigualdades é semelhante a fórmula da tangente da diferença. Assim, fazemos $[;y_i = \tan x_i;]$ para $[;i = 1,2,\ldots,5;]$ com $[;x_i \in (-\pi/2,\pi/2);]$ . Como $[;\tan 0 = 0;]$ e $[;\tan \pi/4 = 1;]$ , segue que

$[;\tan 0 \leq \frac{\tan x_i - \tan x_j}{1 + \tan x_i \tan x_j} \leq \tan \frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow;]$

Sendo a função tangente crescente em $[;(-\pi/2,\pi/2);]$ , então $[;0 \leq x_i - x_j \leq \pi/4;]$ . Para provar que existem dois dentre os cinco $[;x_{i}^{\prime} \ ^{s};]$ que satisfazem esta última desigualdade, dividimos o intervalo $[;(-\pi/2,\pi/2);]$ de tamanho $[;\pi;]$ em $[;4;]$ subintervalos de tamanho $[;\pi/4;]$ . Pelo Princípio da Casa dos Pombos (Click aqui), existem pelo menos dois $[;x_{i}^{\prime} \ ^{s};]$ tais que $[;0 \leq x_i - x_j \leq \pi/4;]$ .

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Hygor - Prob. $[;10;]$

- Luiz Fernando Bossa - Problemas $[;10;]$

- Marcos K. - Todos

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas $[;13);]$ , $[;14);]$ e $[;15);]$ encerra no dia 31/01/2011 e podem ser enviados no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 3);
Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 2).

4 comentários:

O Variado3 de janeiro de 2011 19:00
Obrigado por citar o meu nome na solução do problema 10. Fico honrado por isso professor.
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Prof. Paulo Sérgio3 de janeiro de 2011 21:31
Luiz, irei sempre publicar as soluções dos leitores que participam desta seção do blog. É uma forma de valorizar a contribuição de vocês. Obrigado pelo comentário e volte sempre!
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Mariza4 de janeiro de 2011 11:56
Bom dia,
Jé me tornei seguidora e gostei muito de seu blog.
Obrigado por ter entrado em contato. Já coloquei seu banner lá tb.

Seja sempre bem vindo no LiderInvest
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Abraço

Mariza
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Mariza4 de janeiro de 2011 11:57
escrevi errado (sorry!)

http://www.liderinvest.com.br
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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5)

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