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segunda-feira, 3 de janeiro de 2011

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5)

Problema [;13;]: Mostre que se [;n;] é um inteiro maior que [;1;], então [;n^4 + 4^n;] não pode ser um número primo.

Problema [;14;]: Sejam [;A;] e [;B;] dois pontos distintos sobre a parábola [;y = x^2;]. Seja [;P;] um ponto sobre a parábola conforme figura abaixo. Determine [;P;] de modo que a área do triângulo [;APB;] seja máxima.

Problema [;15;]: Num círculo de raio igual a [;12\ cm;] está inscrito um [;\triangle ABC;] cujos lados [;AB;] e [;AC;] medem [;8\ cm;] e [;9\ cm;] respectivamente. Calcule a altura relativa ao lado [;BC;].

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4).

Problema [;10;]: Seja [;O;] o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo [;ABC;]. Seja [;D;] a interseção da mediatriz de [;AC;] com o cateto [;BC;]. Sejam [;S_1;] e [;S_3;] as áreas dos semicírculos de diâmetros [;AB;] e [;OD;], e [;S_2;] a área entre os semicírculos de diâmetros [;BC;] e [;DC;] conforme a figura abaixo. Se [;S;] representa a área entre os semicírculos de diâmetros [;AO;] e [;AC;], prove que [;S = S_1 + S_2 + S_3;].

Resolução: Para este problema, usaremos o seguinte lema:

Lema 1: A área do semicírculo cujo diâmetro é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos semicírculos cujos diâmetros são cada um dos catetos desse triângulo.

Demonstração: Basta observar no triângulo [;ABC;], que pelo teorema de Pitágoras, temos
[;AB^2 + BC^2 = AC^2 \qquad (1);]

Multiplicando a equação [;(1);] por [;\pi/8;], obtemos:

[;\frac{\pi}{8}AB^2 + \frac{\pi}{8}BC^2 = \frac{\pi}{8}AC^2 \qquad (2);]

Agora observe que a área do semicírculo de diâmetro [;AB;] equivale a



De maneira análoga, a área do semicírculo de diâmetro [;BC;] equivale a [;BC^2\pi/8;] e a do semicírculo de diâmetro [;AC;] é [;AC^2\pi/8;]. Basta olhar para a equação [;(2);], que concluímos a demonstração do lema.

Agora, vamos nomear as outras áreas: Seja [;S_4;] a área do semicírculo de diâmetro [;AO;] e [;S_5;] a área do semicírculo de diâmetro [;DC;]. Pelo lema [;1;], temos:

[;S + S_4 = S_1 + S_2 + S_5 \quad \Rightarrow \quad S = S_1 + S_2 + S_5 - S_4 \qquad (3);]

Observe o triângulo [;COD;]. Ele é retângulo, já que o ângulo [;C\hat{O}D;] é reto. Note que a área do semicírculo de diâmetro [;OC;] é equivalente a área do semicírculo de diâmetro [;AO;] já que [;AO = OC;]. Então pelo lema [;1;] podemos escrever:

[;S_3 = S_5 - S_4 \qquad (4);]

Substituindo [;(4);] em , segue que [;S = S_1 + S_2 + S_3;].

Solução enviada por Luiz Fernando Bossa.

Problema [;11;]: Dado o [;\triangle ABC;], prove que

[;\sin \frac{\hat{A}}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p - c)}{bc}};]

onde [;p;] é o semi-perímetro do triângulo.

Observação: Claramente, esta fórmula estende-se para os outros ângulos [;\hat{B}/2;] e [;\hat{C}/2;].

Resolução: Seja [;D;] um ponto sobre o lado [;BC;] tal que [;AD;] é bissetriz do ângulo [;\hat{A};].
Pela Lei dos Cossenos, temos

[;a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \hat{A} = b^2 - 2bc + c^2 + 2bc(1 - \cos \hat{A}) \quad \Rightarrow;]

[;a^2 = (b - c)^2 + 4bc\sin^2 \frac{\hat{A}}{2} \quad \Rightarrow;]

[;4bc\sin^2 \frac{\hat{A}}{2} = (a + b - c)(a - b + c) = (2p - 2b)(2p - 2c);]

donde segue que
[;\sin \frac{\hat{A}}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p - c)}{bc}};]

Problema
[;12;]: Prove que dentre quaisquer cinco números reais [;y_1;], [;y_2;], [;y_3;], [;y_4;] e [;y_5;], existem [;2;] que satisfazem:


[;0 \leq \frac{y_i - y_j}{1 + y_iy_j} \leq 1;]

Resolução: A expressão entre as desigualdades é semelhante a fórmula da tangente da diferença. Assim, fazemos [;y_i = \tan x_i;] para [;i = 1,2,\ldots,5;] com [;x_i \in (-\pi/2,\pi/2);]. Como [;\tan 0 = 0;] e [;\tan \pi/4 = 1;], segue que

[;\tan 0 \leq \frac{\tan x_i - \tan x_j}{1 + \tan x_i \tan x_j} \leq \tan \frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow;]

Sendo a função tangente crescente em [;(-\pi/2,\pi/2);], então [;0 \leq x_i - x_j \leq \pi/4;]. Para provar que existem dois dentre os cinco [;x_{i}^{\prime} \ ^{s};] que satisfazem esta última desigualdade, dividimos o intervalo [;(-\pi/2,\pi/2);] de tamanho [;\pi;] em [;4;] subintervalos de tamanho [;\pi/4;]. Pelo Princípio da Casa dos Pombos (Click aqui), existem pelo menos dois [;x_{i}^{\prime} \ ^{s};]tais que [;0 \leq x_i - x_j \leq \pi/4;].

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Hygor - Prob. [;10;]

- Luiz Fernando Bossa -
Problemas [;10;]

- Marcos K. - Todos

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;13);],
[;14);] e [;15);] encerra no dia 31/01/2011 e podem ser enviados no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 3);
Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 2).

4 comentários:

  1. Obrigado por citar o meu nome na solução do problema 10. Fico honrado por isso professor.

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  2. Luiz, irei sempre publicar as soluções dos leitores que participam desta seção do blog. É uma forma de valorizar a contribuição de vocês. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Bom dia,
    Jé me tornei seguidora e gostei muito de seu blog.
    Obrigado por ter entrado em contato. Já coloquei seu banner lá tb.

    Seja sempre bem vindo no LiderInvest
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    Abraço

    Mariza

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  4. escrevi errado (sorry!)

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