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Sobre a Divisão de Polinômios

Dividir o polinômio [;A(x);] pelo polinômio [;B(x);] não identicamente nulo significa obter dois polinômios [;Q(x);] (quociente) e [;R(x);] (resto) que verficam as seguintes condições:

i) [;A(x) \equiv B(x)Q(x) + R(x);];

ii) [;gr(R) \prec gr(B);] ou [;R(x) \equiv 0;].

Observação 1: O símbolo "[;\equiv;]" é usado para expressar identidade entre polinômios e significa que a expressão é válida para todos os valores de [;x\;]. Além disso, [;gr;] é o grau do polinômio, isto é, [;gr(P) = m;] se e somente se [;a_m \neq 0;] e todos os coeficientes com índices maiores que [;m;] são nulos.

Exemplo 1: Efetue a divisão de [;A(x) = x^3 + x + 2;] por [;B(x) = x^2 - 1;].

Resolução: Note que [;R(x) \equiv 0;] ou o grau de [;R(x);] é no máximo um, pois [;gr(R) \prec gr(B) = 2;]. Assim,

[;R(x) = mx + n;]

O próximo passo é determinar o grau de [;Q(x);]. Da expressão [;A(x) = B(x)Q(x) + R(x);], segue que

[;x^3+x+2 = (x^2 - 1)Q(x) + mx + n \qquad (1);]

e para que essa expressão seja válida,

[;gr(Q) = 1 \quad \Rightarrow \quad Q(x) = ax + b \qquad (2);]

Em geral, é possível provar que [;gr(Q) = gr(A) - gr(B);]. Para obter [;Q(x);] e [;R(x);], substituímos [;(2);] em [;(1);] e resolvemos a identidade polinomial:

[;x^3 + x + 2 = (x^2 - 1)(ax + b) + mx + n \quad \Rightarrow;]

[;x^3 + x + 2 = ax^3 + bx^2 - ax - b + mx + n \quad \Rightarrow;]

[;x^3 + 0x^2 + x + 2 = ax^3 + bx^2 + (m-a)x + n - b;]

donde segue que

[;\begin{cases}a = 1\\b = 0\\m - a = 1 \quad \Rightarrow \quad m - 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad m = 2\\n - b = 2 \quad n = 2 \end{cases};]
Logo,
[;Q(x) = x \quad \text{e} \quad R(x) = 2x+2;]

Podemos também obter o quociente e o resto da divisão de dois polinômio pelo método da chave (divisão euclideana) para o qual adotamos o seguinte roteiro:

i) Ordenar os polinômios [;A(x);] e [;B(x);] segundo as potências decrescentes de [;x\;];

ii) Dividimos o primeiro termo de [;A(x);] pelo primeiro termo de [;B(x);] para obtermos o primeiro termo de [;Q(x);]. Em seguida multiplicamos o primeiro termo de [;Q(x);] por [;B(x);], subtraindo de [;A(x);] o produto obtido. O resultado é o primeiro resto parcial [;R_1(x);].


iii) Repetimos para [;R_1(x);] o procedimento de ii) e assim sucessivamente até que o grau do resto [;R(x);] fique menor que o grau de [;B(x);] ou, no caso de divisão exata, que o resto seja nulo.

Exemplo 2: Obtenha o quociente e o resto das divisões de [;A(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 4;] por [;B(x) = x +1;].

Resolução: Usando o método da chave, obtém-se [;Q(x) = 2x^2 - x -2;] e [;R(x) = 6;] conforme a primeira imagem do post.

Proposição 1: O resto da divisão de um polinômio [;P(x);] pelo binômio [;x - a;] é [;P(a);].

Demonstração: De fato,

[;P(x) = (x - a)Q(x) + r \qquad (3);]

onde [;R(x) = r;] pois [;gr(x - a) = 1;]. Fazendo [;x = a;] em [;(3);], temos [;P(a) = (a - a)Q(a) + r;].

Exemplo 3: O resto das divisões de [;P(x) = 3x^5 - x^4 + 2x^3 - x^2 + 1;] por [;x - 1;] e [;x + 2;] são:

[;r_1 = P(1) = 3 - 1 + 2 - 1 + 1 = 4;]
e
[;r_2 = P(-2) = 3(-2)^5 - (-2)^4 + 2(-2)^3 - (-2)^2 + 1 = -131;]

Corolário 1: Um polinômio [;P(x);] é divisível por [;x - a;] se e somente se [;P(a) = 0;].

Demonstração: Segue diretamente da Prop. 1.

Exemplo 4: Mostre que se um polinômio [;P(x);] é divisível por [;x - a;] e [;x - b;] com [;a \neq b;], então [;P(x);] é divisível por [;(x - a)(x - b);].

Resolução: Basta mostrar que o resto [;R(x);] da divisão de [;P(x);] por [;(x -a)(x - b);] é zero. De fato,

[;P(x) = Q_1(x)(x - a) \quad \Rightarrow \quad P(a) = 0;]

[;P(x) = Q_2(x)(x - b) \quad \Rightarrow \quad P(b) = 0;]
Mas,
[;P(x) = Q(x)(x - a)(x - b) + mx + n;]
Assim,

[;\begin{cases}0 = P(a) = Q(a)\cdot 0 + m\cdot a + n \quad \Rightarrow ma + n = 0\\0 = P(b) = Q(b)\cdot 0 +m\cdot b + n\quad \Rightarrow mb + n = 0\end{cases};]

Desse sistema concluímos que [;m = n = 0;] ou seja, [;R(x) \equiv 0;].

Exercícios Propostos:


1) Determine o quociente e o resto da divisão de [;A(x) = 2x^4 + x^3 - x^2 + x - 1;] por [;B(x) = x^2+ 4x + 3;].
2) Mostre que [;x^n - a^n;] é divisível por [;x - a;].
3) Mostre que [;x^{2n} - (k+1)x^2 + k;] é divisível por [;x^2 - 1;], sendo [;n \in \mathbb{N};].
4) Um polinômio [;P(x);] quando dividido por [;x - 2;] dá resto [;13;] e dividido por [;x + 2;] dá resto [;5;]. Obter o resto da divisão de [;P(x);] por [;x^2 - 4;]. R: [;R(x) = 2x + 9;]

Gostará de ler também:
- Blocos Algébricos no Ensino Fundamental;
- As Relações de Girard;
- Um Caso Particular da Equação Quártica (Parte 2).

4 comentários:

  1. Olá Paulo,
    Bem interessante. Eu só conhecia a divisão de polinômios pelo método da chave. Vou tentar resolver as divisões propostas pela forma que fez no exemplo 1.

    Um abraço!

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  2. Olá, Paulo!
    Ótima aula sobre a divisão entre polinômios! acredito que: quem ainda tinha dúvidas a respeito do assunto, não deve ter mais. Parabéns pelo blog e pelos ótimos posts!
    Um abraço!!!!!

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  3. Olá Kleber, que bom que achou interessante o método de divisão em que temos que determinar as constantes. De certa forma ele explica mais o que método da chave que é algo mecânico. Abraços e volte sempre!

    Obrigado Valdir pelo comentário. Escrevi este post pois o que eu encontrei na internet é muito precário ou muito mecânico. Espero que este post possa ajudar muitos alunos. Volte sempre!

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  4. Olá Paulo,

    Boa sua explanação. Simples e clara o que é difícil devido aos vários recursos que temos que saber e usar para postar facilitando a abordagem e aprendizagem.

    Gostei da apresentação do Blog e temas- Parabéns.
    Tenham um ótimo dia

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