Membros

sábado

A Função Delta de Dirac

Na Física, frequentemente encontramos o conceito de um pulso de duração infinitamente curta. Por exemplo, um corpo em repouso posto em movimento por meio de um "golpe" instantâneo.

Tais problemas levam com frequência a equações diferenciais da forma

[;ay^{\prime \prime} + by^{\prime} + cy = g(t) \qquad (1);]

onde [;g(t);] é grande em um intervalo pequeno [;t_0 - \tau \prec t \prec t_0 + \tau;] e é nulo nos outros pontos. Assim, como [;g(t) \equiv 0;] para [;t \in (-\infty, t_0 - \tau) \cup (t_0 + \tau, \infty);],

[;I(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t)dt = \int_{t_0 - \tau}^{t_0 + \tau} g(t)dt \qquad (2);]

é uma medida da força do termo não-homogêneo [;g(t);]. Em particular, iremos supor [;t_0 = 0;] e que [;g(t);] é dada por

[;g(t) = d_{\tau}(t) = \begin{cases}1/2\tau, \qquad -\tau \prec t \prec \tau\\0, \qquad t \leq -\tau \quad \text{ou} \quad t \geq \tau\\\end{cases} \qquad (3);]

sendo [;\tau;]uma constante positiva pequena. Note que neste caso,



independente do valor de [;\tau;], desde que ele seja diferente de zero. Se o termo não-homogêneo [;d_{\tau}(t);] agir em intervalos de tempo cada vez mais curto, isto é, se [;\tau \to 0;], segue que

[;\lim_{\tau \to 0} g(t) = \lim_{\tau \to 0} =\frac{1}{2\tau} = 0 \quad \text{se} \quad t \neq 0 \qquad (4);]
e
[;\lim_{\tau \to 0}I(\tau) = 1, \quad \text{se} \quad \tau \neq 0 \qquad (5);]

Usaremos as expressões [;(4);] e [;(5);] para definir a função impulso unitário [;\delta;] ou função [;\delta;] de Dirac.

Definição 1: A função [;\delta;] de Dirac é definida como tendo as seguintes propriedades:
i)
[;\delta(t) = 0, \quad \text{para} \quad t \neq 0;]
ii)
[;\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1;]

Observe que não existe uma função no sentido usual da palavra que satisfaça as condições i) e ii) simultâneamente. Por esta razão, o matemático francês Laurent Schwarz desenvolveu a Teoria das Distribuições em [;1950;], sendo a função [;\delta;] um exemplo de uma distribuição ou função generalizada.

A função [;\delta(t);] corresponde a um impulso unitário em [;t = 0;]. Um impulso unitário em [;t=t_0;] é dado por [;\delta(t - t_0);]. Assim, de i) e ii), temos

[;\delta(t - t_0) = 0, \quad \text{para} \quad t \neq t_0;]
e
[;\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t -t_0)dt = 1;]

Além da função [;d_{\delta}(t);], existem outras sequências de funções [;\phi_n(t);] que é muito pequena se [;t \neq t_0;] e sua integral seja igual a um, ou seja, convergem para a função [;\delta;]de Dirac quando [;n \to \infty;]. Por exemplo,

1) [;\phi_n (t) = \frac{n}{\pi(1 + n^2t^2)};];

2) [;\phi_n(t) = \frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2t^2};].

Proposição 1:
i) A função delta de Dirac é par, ou seja, [;\delta(-t) = \delta(t);];

ii)
[;\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt = f(0);]
Demonstração:
i) Segue imediatamente da definição.
ii) Esta propriedade é provada pelo teorema da média para integrais. Seja [;\epsilon \succ 0;]. Como [;\delta(t) = 0;] para [;t \neq [-\epsilon, \epsilon];], então

[;\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt = \int_{-\epsilon}^{\epsilon}f(t)\delta(t)dt;]

[;=f(\xi)\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(t)dt = f(\xi);]

sendo [;\xi \in (-\epsilon, \epsilon);]. Além disso, quando [;\epsilon \to 0;] segue que [;\xi \to 0;], pois [;f;]é uma função contínua, donde segue o resultado.

Observação 1: Note que

[;\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - t_0)dt = f(t_0);]

De fato, fazendo [;\tau = t -t_0;]na integral acima, temos:

[;\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t - t_0)dt = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau + t_0)\delta (\tau)d\tau = f(t_0);]

Definição 2: Seja [;d_{\tau}(t);] a sequência definida em [;(3);]. Então

[;\mathcal{L}\{\delta(t - t_0)\} = \lim_{\tau \to 0}\mathcal{L}\{d_{\tau}(t - t_0)\} \qquad \text{para} \qquad t \succ 0;]

Proposição 2: A transformada de Laplace da função [;\delta;] de dirac é em qualquer ponto [;t = t_0 \succ 0;] é igual a [;e^{-st_0};], isto é,

[;\mathcal{L}\{\delta(t - t_0)\} = e^{-st_0};]

Em particular, fazendo [;t_0 \to 0^{+};], temos [;\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1;].

Demonstração: Pela definição [;2;],

[;\mathcal{L}\{\delta(t - t_0)\} = \lim_{\tau \to 0}\mathcal{L}\{d_{\tau}(t - t_0)\} = \lim_{\tau \to 0}\int_{0}^{\infty}e^{-st}d_{\tau}(t - t_0)dt;]

[;=\lim_{\tau \to 0}\int_{t_0 - \tau}^{t_0 + \tau}e^{-st}d_{\tau}(t - t_0)dt;]

Fazendo [;u = t - t_0 \quad \Rightarrow \quad dt = du;], temos

[;\mathcal{L}\{\delta(t - t_0)\} = \lim_{\tau \to 0}\int_{-\tau}^{\tau}e^{-s(t_0 + u)}d_{\tau}(u)du;]



[;=e^{-st_0}\lim_{\tau \to 0}\frac{(e^{s\tau} - e^{-s\tau})}{2s\tau} = e^{-st_0}\lim_{\tau \to 0}\frac{\sinh(s\tau)}{s\tau};]

Usando a regra de L'Hospital é fácil ver

[;\lim_{\tau \to 0}\frac{\sinh(s\tau)}{s\tau} = 1;]
donde segue o resultado.

Nota: Paul A. M. Dirac [;(1902-1984);] foi um físico matemático inglês que recebeu concluiu seu doutorado em Cambridge em [;1926;] e foi professor de matemática lá até [;1969;]. Recebeu o prêmio Nobel em [;1933;] juntamente com Erwin Schrödinger por seu trabalho fundamental em mecânica quântica.

Seu resultado mais conhecido foi a equação relativística para o elétron, publicado em [;1928;]. Dessa equação ele previu a existência de uma partícula semelhante ao elétron, mas que possui carga positiva. Esta partícula recebeu o nome de "pósitron" e foi observada pela primeira vez em [;1932;]. Depois de se aposentar em Cambridge, Dirac mudou-se para os Estados Unidos e tornou-se professor pesquisador da Universidade Estadual da Flórida. Paul Dirac juntamente com Isaac Newton e James C. Maxwell são considerados os maiores físicos matemáticos de todos os tempos.

Gostará de ler também:
- Sobre as Funções Gama e Beta (Parte 1);
- As Funções de Bessel Através das Transformadas de Laplace (Parte 1);
- As Funções de Bessel Através das Transformadas de Laplace (Parte 2);

2 comentários:

  1. Eu tenho uma duvida na equação (4): O limite de "tau" tendendo a 0(zero) de "um sobre dois 'tal'" não deveria ir para o infinito ao invés de 0?

    ResponderExcluir
  2. Ele errou lá mesmo, na verdade é infinito, a definição de [;\delta;] é uma função que divirja em um certo ponto e seja nula em qualquer outro, como você bem observou para [;\tau;] indo a zero a função [;g(t);] diverge, e junto com a propriedade da integral ser unitária e [;g(t);] ser nula em qualquer outro ponto, isso para [;\tau;] tendendo a zero, logo ela é o que chamamos uma representação da função [;\delta;]

    ResponderExcluir