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O que Realizam os Matemáticos?

Este post é uma transcrição do famoso ensaio On the proof and Progress in Mathematics (Sobre prova e progresso em matemática) de William P. Thurston que a Revista Matemática Universitária número [;17;] de dezembro de [;1994;] traduziu e publicou e cujas ideias servem muito bem na atualidade. Vejamos então o que realizam os matemáticos.

Há muitos aspectos implícitos nesta pergunta, que tentei formular de modo a não pressupor a natureza da resposta. Não seria bom, por exemplo, começar com a pergunta

Como os matemáticos demonstram teoremas?

Esta pergunta introduz um assunto interessante, mas começar com ela seria assumir implicitamente:

(1) que existem uma teoria e uma prática uniforme, objetiva e bem estabelecida de demonstração em matemática, e

(2) que o progresso feito pelos matemáticos consiste em provar teoremas.
É importante examinar essas hipóteses, em lugar de aceitá-las como óbvias e prosseguir. A pergunta nem mesmo é

Como os matemáticos fazem o progresso em matemática?

Em vez disso, como uma forma mais explícita (e dirigida) da pergunta, eu prefiro

Como os matemáticos aumentam o entendimento humano da matemática?

Esta pergunta traz à tona algo que é fundamental e universal: o que fazemos é encontrar maneiras pelas quais as pessoas possam entender e pensar sobre matemática.

O rápido avanço dos computadores ajudou a enfatizar esse ponto, porque computadores e pessoas são muito diferentes. Por exemplo, quando Appel e Haken completaram a prova do Teorema do Mapa de Quatro Cores usando grande quantidade de cálculos difíceis executados por computador, levantou-se muita controvérsia. Interpreto esta como tendo muito pouco a ver com as dúvidas quanto à veracidade do teorema e à correção da prova. Em vez disso, ela refletiu o desejo contínuo da compreensão humana da prova, além do simples conhecimento de que o teorema é verdadeiro.

Num nível mais usual, é comum principiantes em computação fazerem longos cálculos que poderiam ser feitos à mão numa escala menor. Pode-se produzir uma lista com os [;10.000;] primeiros números primos apenas para verificar, posteriormente, que não era exatamente isso que se queria. Descobre-se com esta experiência que o que realmente se pretende não é um conjunto de "respostas" - mas sim compreensão.

Pode parecer quase circular dizer que o que os matemáticos realizam é o avanço da compreensão humana da matemática. Não tentarei resolver isso discutindo o que é a matemática, pois isso nos levaria longe demais. Os matemáticos geralmente sentem que sabem o que é a matemática, mas têm dificuldade em apresentar uma boa definição direta. É interessante tentar. Para mim, "a teoria dos modelos formais" é a que mais se aproxima, mas sua discussão nos levaria a um novo ensaio.

Poderia a dificuldade de se dar uma definição direta de matemática ser algo intrínseco, indicando que a matemática possui uma qualidade recursiva que lhe é essencial? Nessa direção poderíamos dizer que a matemática é a menor área de conhecimento que satisfaz às seguintes condições:

[;\bullet;] A matemática é o que inclui os números naturais e as geometrias plana e espacial.
[;\bullet;] A matemática é o que os matemáticos estudam.
[;\bullet;] Matemáticos são pessoas que aumentam a compreensão humana da matemática.

Em outras palavras, à medida que a matemática avança, nós a incorporamos ao nosso pensamento. À medida que este se torna mais sofisticado, geramos novos conceitos e estruturas matemáticas: os assuntos da matemática mudam para refletir a maneira como pensamos.

Se o que estamos fazendo é construir melhores maneiras de pensar, então os aspectos psicológicos e social são essenciais para um bom modelo do progresso da matemática. Estas dimensões estão ausentes da visão popular. A visão popular assegura, caricatamente, que

[;D.;] Os matemáticos partem de umas poucas estruturas matemáticas e de um conjunto de axiomas "dados" sobre estas estruturas, que

[;T.;] existem várias questões importantes a serem resolvidas sobre estas estruturas que podem ser enunciadas como proposições matemáticas formais, e

[;P.;]o objetivo do matemático é encontrar a partir dos axiomas um caminho dedutivo para as proposições ou para a negação delas.

Podemos chamar isso de modelo Definição - Teorema - Prova [;(DTP);] da matemática.

Uma dificuldade óbvia do modelo [;DTP;] é que ele não esclarece a origem das questões. Jaffe e Quinn discutem a especulação (que rotulam inadequadamente de "matemática teórica" como um ingrediente adicional importante. Especulação consiste em fazer conjecturas, propor problemas e dar palpites inteligentes e argumentos heurísticos sobre o que provavelmente é verdadeiro.

O modelo [;DETP;] de Jaffe e Quinn também deixa de lado algumas questões básicas. Não estamos tentando satisfazer alguma cota abstrata de produção de definições, teoremas e provas. A medida do nosso sucesso é se o que fazemos possibilita as pessoas compreender mais clara e efetivamente sobre matemática.

Portanto, necessitamos de perguntar-nos:

Como se compreende matemática?

Aguardem a resposta no próximo post.

Gostará de ler tambem:
- Como Estudar Matemática?;
- Motivação na Matemática;
- Matemáticos Refletindo Sobre a Matemática;
- Não Matemáticos Refletindo Sobre a Matemática;
- A Matemática é o Problema;
- Aprendendo a Aprender Matemática.

5 comentários:

  1. Sem duvidas brilhante o post, ontem eu e um físico discutíamos sobre matemática,nada contra os físicos, mas eu percebo que muitos se encontram encaixados até mesmo numa visão matemática de senso comum, como dito, nem os matemáticos sabem ao certo qual a definição da mesma, a matemática é sem duvidas a mais complexa e maravilhosa de todas as ciências, alem de ser a mãe de todas as áreas exatas, e quando ouço que matemáticos não servem pra mais nada a não ser ficar presos em um mundo subjetivo, eu fico muito triste, o que seria do homem sem a matemática?Uma pena até mesmo pessoas que possuem um certo grau de formação não entenderem a necessidade da mesma, deixei meu desabafo aqui, ótimo post professor, muito bom o blog como sempre!!

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  2. Muito bom o post.
    Quanto essa questão de o que é a Matemática, para mim nada mais é que a Filosofia. Do grego Matemática é ciência do conhecimento, se não estou enganado. Porém, hoje em dia a Filosofia parece ser tratada como um grande bobagem onde ficam se descutindo mais e mais bobagens na faculdade, como por exemplo matar é certo ou é errado.
    Eu acho que houve essa separação entre a Filosofia e a Matemática para que os Filósofos não entendessem as coisas afundo e ficarem no achismo, e para que os Matemáticos entendessem as coisas a fundo, mas não saber a importância do seu conhecimento. É mais ou menos que nem a Torre de Babel.

    Quanto a Matemática ser um ciência exata há muito o que discutir. 1) Se você entende exata como um ciência precisa, a frase está correnta; 2) mas, se você entende exata como o contrário de humanas, está produndamente enganado. A Matemática começou nada mais nada menos, até onde eu sei, no Direito. Para que pudesse se fazer justiça (ou pelo menos a ideia de parecer mais justo) a Matemática foi criada. O próprio código de Hamurabi trás algumas ideias, por exemplo, que quando pessoas de mesma classe social cometiam crimes elas deveriam pagar da mesma forma. Mas, o problema era em pessoas de classes sociais diferentes. Dai começam a dar alguns chutes com o dobro, ou o triplo. E assim ela vai se desenvolvendo até dar origem a questão do re-cálculo das terras quando tinha as altas e baixas do Nilo.

    Para concluir, eu acho que o grande problema da Matemática é ela ter se especializado muito e se afastado das demais ciências. Eu, como polimata, vejo várias aplicações da Matemática em todas as demais ciências, às quais poderia ficar dias e dias citando.

    Um grande abraço.

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  3. Muito obrigado Joelson e João Felipe pelos comentários enriquecedores. No próximo post, o autor irá falar sobre a compreensão da Matemática. Aguardem!

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  4. Concordo quando o nosso colega Joelson diz: "o que seria do homem se matemática?" Hoje nós temos a matemática pronta, enlatada, para ser distribuída em escolas. Mas basta olhar par atrás e ver inúmeros matemáticos que dedicaram suas vidas para defender seus pontos de vista, afim de encontrar modelos matemáticos par aexplicarem a vida.

    Ótimo post Paulo, ótimo post!

    Um abraço!

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  5. É meio intrigante e talvez redundante dizer que a Matemática é o que os matemáticos estudam, mas ao mesmo tempo é interessante. Realmente Kleber, temos atualmente uma boa notação, teorias prontas e mesmo assim muitos queixam que a Matemática é indecifrável. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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