FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6)

quarta-feira, 2 de fevereiro de 2011

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6)

Problema $[;16;]$ : O número prateado é definido por $[;\delta = 1 + \sqrt{2};]$ . Mostre que $[;\delta^n + (-1/\delta)^n - 2;]$ é divisível por $[;4;]$ para $[;n \geq 2;]$ . Sugestão: Leia o post Algumas Propriedades da Sequência Prateada .

Problema $[;17;]$ : Determine na figura abaixo a razão entre a área do $[;\triangle EGF;]$ e a área do $[;\triangle ABC;]$ .

Problema $[;18;]$ : Use Cálculo e determine o ponto sobre o plano $[;\pi:\ 2x - y + z = 4;]$ mais próximo da origem.

Observação: A partir desta edição, o leitor também poderá participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5).

Problema $[;13;]$ : Mostre que se $[;n;]$ é um inteiro maior que $[;1;]$ , então $[;n^4 + 4^n;]$ não pode ser um número primo.

Resolução: Para $[;n;]$ par, $[;n^4 + 4^n;]$ é um inteiro par maior que $[;2;]$ , pois

$[;n = 2k \quad \Rightarrow \quad n^4 = (2k)^4 = 16k^4 \quad \Rightarrow;]$

$[;n^4 + 4^n = 16k^4 + 4^{2k} \succ 2;]$

para $[;k \geq 1;]$ . Para $[;n \succ 1;]$ ímpar, escrevemos $[;n = 2k - 1;]$ para $[;k \succ 1;]$ inteiro. Assim,

$[;n^4 + 4^n = (n^2)^2 + 2n^2\cdot 2^n + (2^n)^2 - 2n^2\cdot 2^n;]$

$[;= (n^2 + 2^n)^2 - 2^{n+1}\cdot n^2 = (n^2 + 2^n)^2 - 2^{2k}\cdot n^2;]$

$[;= (n^2 + 2^n - 2^k\cdot n)(n^2 + 2^n + 2^k\cdot n);]$

Observe que o menor fator dessa expressão pode ser escrito na forma

$[;n^2 + 2^n - 2^k\cdot n = n^2 - 2\cdot 2^{k-1}\cdot n + (2^{k-1})^2\cdot 2;]$

$[;=n^2 - 2\cdot 2^{k-1}\cdot n + (2^{k-1})^2 + 2^{2k-2};]$

$[;=(n - 2^{k-1})^2 + 2^{2k-2} \succ (3 - 2)^2 + 4 \succ 1;]$

pois $[;k \succ 1;]$ . Logo, $[;n^4 + 4^n;]$ não pode ser primo.

Problema $[;14;]$ : Sejam $[;A;]$ e $[;B;]$ dois pontos distintos sobre a parábola $[;y = x^2;]$ . Seja $[;P;]$ um ponto sobre a parábola conforme figura abaixo. Determine $[;P;]$ de modo que a área do triângulo $[;APB;]$ seja máxima.

Resolução: Sejam $[;A(a,a^2);]$ , $[;B(b,b^2);]$ e $[;P(x,x^2);]$ os pontos sobre a parábola. Note que $[;\vec{AP} = P - A = (x - a, x^2 - a^2);]$ e $[;\vec{AB} = B - A = (b - a, b^2 - a^2);]$ . Sendo

$[;\vec{AP}\times \vec{AB} =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x - a & x^2 - a^2 & 0 \\b - a & b^2 - a^2 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{vmatrix} x -a & x^2 - a^2\\ b - a & b^2 - a^2 \\ \end{bmatrix}\vec{k};]$

$[;= [(x - a)(b^2 - a^2) - (b - a)(x^2 - a^2)]\vec{k};]$

segue que a área do $[;\triangle APB;]$ é dada por

$[;S_{\triangle APB} = \frac{1}{2}|(x - a)(b^2 - a^2) - (b - a)(x^2 - a^2)|;]$

$[;=\frac{1}{2}(b - a)|(x - a)(b - x)|;]$

Como $[;x \in [a,b];]$ , então $[;f(x) = (x - a)(x - b) \geq 0;]$ e o valor de $[;f(x);]$ é máximo se $[;x\ ;]$ é o vértice dessa parábola, ou seja, $[;x = (a + b)/2;]$ de modo que a ordenada de $[;P;]$ é igual a $[;(a + b)^2/4;]$ . Também temos que

$[;S_{\triangle APBmax} = \frac{1}{2}(b - a)\biggl(\frac{a + b}{2} - a\biggr)\biggl(b - \frac{a + b}{2}\biggr) = \frac{1}{8}(b - a)^3;]$

Recebi as excelentes soluções dos leitores Hélio Carvalho e do Luiz Fernando que não envolvem vetores. Para baixá-las click nos nomes acima.

Problema $[;15;]$ : Num círculo de raio igual a $[;12\ cm;]$ está inscrito um $[;\triangle ABC;]$ cujos lados $[;AB;]$ e $[;AC;]$ medem $[;8\ cm;]$ e $[;9\ cm;]$ respectivamente. Calcule a altura relativa ao lado $[;BC;]$ .

Resolução: Prolonguemos $[;AO;]$ até o ponto $[;D;]$ . Seja $[;H;]$ o pé da perpendicular baixada do ponto $[;A;]$ . Como $[;O \in AD;]$ , então $[;\triangle ABD;]$ é retângulo em $[;B;]$ e sendo $[;A\hat{C}B = A\hat{D}B;]$ , segue que $[;\triangle ABD \sim \triangle ACH;]$ . Assim,

$[;\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{AD} \quad \Rightarrow \quad \frac{h}{9} = \frac{8}{2R} = \frac{8}{24} \quad \Rightarrow \quad h = 3;]$

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Carlos Eduardo - Todos
- Hélio Carvalho - Prob. $[;14;]$ , $[;15;]$
- Luiz Fernando - Prob. $[;14;]$
- Marcos K. - Todos

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas $[;16);]$ , $[;17);]$ e $[;18);]$ encerra no dia 28/02/2011 e podem ser enviados no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 3);
- Teoremas Interessantes Sobre Números Primos.

3 comentários:

Marcos2 de fevereiro de 2011 19:03
Creio que na solução do problema 15 haja um erro

O enunciado nada diz a respeito da medida do lado AC, enquanto na solução assume-se que este mede 9cm.
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Prof. Paulo Sérgio2 de fevereiro de 2011 19:33
Agora está explicado porque a solução de vocês não estava de acordo com a solução apresentada. Assumo completamente este erro, pois digitei BC ao invés de AC. Tomarei muito mais cuidado nos próximos problemas propostos.

Sendo assim, incluirei os nomes de todos os leitores que enviaram a solução problema modificado.
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André Luis2 de fevereiro de 2011 19:48
Desculpe perguntar mas as soluções dos problemas eu envio onde? E-mail ou aqui mesmo?
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