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Arquimedes e o Volume do Parabolóide de Revolução

O volume da esfera foi calculado por Arquimedes [;(287-212 a.C.);] através do método da alavanca (Veja o post Arquimedes e o Volume da Esfera). Vendo a potencialidade deste método, ele tratou logo de aplicá-lo a outros sólidos de revolução, expondo suas ideias no tratado "Dos Conóides e Esferóides". Este livro trata dos sólidos que hoje designamos por elipsóides, parabolóides e hiperbolóides de revolução.

Seguindo os passos do grande Arquimedes, iremos calcular o volume do parabolóide de revolução através do método da alavanca usando as ferramentas modernas da Geometria Analítica e alguns rudimentos de estática. Este procedimento, além de possuir um valor histórico, é uma forma de mostrar aos alunos que podemos calcular o volume de outros sólidos além do cilindro, cone e esfera por métodos elementares sem usar o princípio de Cavalieri.

Para aplicar o método da alavanca, considere o parabolóide de revolução de altura [;h;] e raio da base igual a [;b;], gerado pela rotação da parábola

[;x = \frac{h}{b^2}y^2 \qquad (1);]

em torno de seu eixo de simetria conforme a figura abaixo.

Nesta figura, temos um cilindro de raio [;b;] e altura [;h;]circunscrito ao parabolóide e cujo eixo coincide com o eixo de simetria da parábola. Multiplicando a expressão [;(1);] por [;\pi;], temos:

[;\pi b^2 x = \pi y^2h \qquad (2);]

Nessa expressão, o termo [;\pi b^2;] pode ser interpretado como sendo a área da seção transversal do cilindro e o termo [;\pi y^2;] como sendo a área da seção transversal do parabolóide de revolução. Assim, se imaginarmos uma alavanca com o fulcro na origem e colocarmos a área [;\pi b^2;] a uma distância [;x\ ;] à direita do fulcro e a área [;\pi y^2;] a uma distância [;h;] à esquerda do fulcro, vemos que ela satisfaz a lei da alavanca conforme a figura abaixo.

Por outro lado, quando [;x\ ;] varia de [;0;] a [;h;] as duas seções transversais varrem seus respectivos sólidos e os preenchem. Como as duas seções transversais por [;(2);] ficam em equilíbrio nesse processo, os próprios sólidos também estão em equilíbrio; o parabolóide a uma distância [;h;] e o cilindro a uma distância [;h/2;] (centro de gravidade) do fulcro. Assim, se [;V;] é o volume do parabolóide então

[;V\cdot h = \pi b^2h\cdot \frac{h}{2} \quad \Rightarrow \quad V = \frac{\pi b^2h}{2};]

Gostará de ler também:
- Arquimedes e o Volume da Esfera;
- Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone;
- Volume do Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri;
- Grandes Matemáticos (Arquimedes de Siracusa).

7 comentários:

  1. Olá, Paulo!
    Caramba, o cara era muito capaz! Uma vez respondendo a uma enquete, apontei o Arquimedes como: "o maior inventor de todos os tempos". Não me arrependo e tornarei a votar nele, pois... sem ter em quem se espelhar, foi capaz de criar artefatos mecânicos e métodos empíricos (esse eu não conhecia ou já não me lembrava ) como esse, para dar cabo de soluções numéricas para problemas "cabeludos"! Foi por demais... criativo, gênio incontestável!
    Um abraço!!!!!

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  2. Este resultado pode facilmente ser comprovado por integral, mas o primeiro ser humano a calcular o volume do parabolóide de revolução foi Arquimedes, usando apenas sua genialidade e talento. Também sou fã deste matemático, fiz hoje uma fatocoleção para ele e pretendo publicar mais posts sobre as suas outras descobertas. Obrigado pelo comentário Valdir e volte sempre.

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  3. O velho Arquimedes não media esforços para resolver problemas, mesmo com a matemática rudimentar da época.
    Seus posts, sempre excelentes, cada vez mais vão enriquecendo o acervo de matemática da internet.
    Um abraço!

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  4. Olá professor, simplesmente genial este método de equilíbrio que Arquimedes usava! Confesso que já tinha lido superficialmente a respeito mas agora nos seus posts consegui compreender.

    A propósito Arquimedes tinhas ideias ñ só relacionadas com o cálculo integral como também com a cálculo diferencial como é o caso das tangentes a espirais (q na verdade eu não sei como funciona, mas quem sabe um dia o Sr. aborda no seu Blog).

    t+

    PS: faltou a palavra "satisfaz" no fragmento "...esquerda do fulcro, vemos que ela [?] a lei da alavanca conforme a figura..."????

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  5. É Kleber, Arquimedes estava muito a frente de qualquer matemático do seu tempo.

    Pedro Roberto, irei sim abordar outras de suas técnicas aqui no blog, inclusive o seu estudo sobre espirais, pois existe muito pouco material explicativo na internet.

    Abraços e voltem sempre!

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  6. Caro professor.

    Meu nome também é Paulo e sou autor de vários livros da área de exatas, inclusive um sobre Arquimedes.
    Aqui segue meu blog com todos meus livros e suas sinopses, de repente algum pode lhe ser útil.
    http://amatematicanaarteenavida.blogspot.com.br/
    Parabéns pelo blog.

    Att

    Paulo Roberto

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    1. Olá Paulo Roberto, é um prazer vê-lo visitar o meu blog. Vi que você escreveu livros de História da Matemática que aliás é uma das áreas da Matemática que eu mais gosto. Eu estou pensando em realizar a quinta promoção aqui no blog cujo o prêmio é um exemplar de algum livro de Matemática. Obrigado pela visita e volte sempre.

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