O volume da esfera foi calculado por Arquimedes ![[;(287-212 a.C.);]](http://thewe.net/tex/%28287-212%20a.C.%29 "(287-212 a.C.)")
através do método da alavanca (Veja o post Arquimedes e o Volume da Esfera). Vendo a potencialidade deste método, ele tratou logo de aplicá-lo a outros sólidos de revolução, expondo suas ideias no tratado "Dos Conóides e Esferóides". Este livro trata dos sólidos que hoje designamos por elipsóides, parabolóides e hiperbolóides de revolução.
Seguindo os passos do grande Arquimedes, iremos calcular o volume do parabolóide de revolução através do método da alavanca usando as ferramentas modernas da Geometria Analítica e alguns rudimentos de estática. Este procedimento, além de possuir um valor histórico, é uma forma de mostrar aos alunos que podemos calcular o volume de outros sólidos além do cilindro, cone e esfera por métodos elementares sem usar o princípio de Cavalieri.
Para aplicar o método da alavanca, considere o parabolóide de revolução de altura ![[;h;]](http://thewe.net/tex/h "h")
e raio da base igual a ![[;b;]](http://thewe.net/tex/b "b")
, gerado pela rotação da parábola
em torno de seu eixo de simetria conforme a figura abaixo.
Nesta figura, temos um cilindro de raio Nessa expressão, o termo ![[;\pi b^2;]](http://thewe.net/tex/%5Cpi%20b%5E2 "\pi b^2")
pode ser interpretado como sendo a área da seção transversal do cilindro e o termo ![[;\pi y^2;]](http://thewe.net/tex/%5Cpi%20y%5E2 "\pi y^2")
como sendo a área da seção transversal do parabolóide de revolução. Assim, se imaginarmos uma alavanca com o fulcro na origem e colocarmos a área a uma distância ![[;x\ ;]](http://thewe.net/tex/x%5C "x\")
à direita do fulcro e a área a uma distância à esquerda do fulcro, vemos que ela satisfaz a lei da alavanca conforme a figura abaixo.
Por outro lado, quando Gostará de ler também:
- Arquimedes e o Volume da Esfera;
- Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone;
- Volume do Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri;
- Grandes Matemáticos (Arquimedes de Siracusa).
Olá, Paulo!
ResponderExcluirCaramba, o cara era muito capaz! Uma vez respondendo a uma enquete, apontei o Arquimedes como: "o maior inventor de todos os tempos". Não me arrependo e tornarei a votar nele, pois... sem ter em quem se espelhar, foi capaz de criar artefatos mecânicos e métodos empíricos (esse eu não conhecia ou já não me lembrava ) como esse, para dar cabo de soluções numéricas para problemas "cabeludos"! Foi por demais... criativo, gênio incontestável!
Um abraço!!!!!
Este resultado pode facilmente ser comprovado por integral, mas o primeiro ser humano a calcular o volume do parabolóide de revolução foi Arquimedes, usando apenas sua genialidade e talento. Também sou fã deste matemático, fiz hoje uma fatocoleção para ele e pretendo publicar mais posts sobre as suas outras descobertas. Obrigado pelo comentário Valdir e volte sempre.
ResponderExcluirO velho Arquimedes não media esforços para resolver problemas, mesmo com a matemática rudimentar da época.
ResponderExcluirSeus posts, sempre excelentes, cada vez mais vão enriquecendo o acervo de matemática da internet.
Um abraço!
Olá professor, simplesmente genial este método de equilíbrio que Arquimedes usava! Confesso que já tinha lido superficialmente a respeito mas agora nos seus posts consegui compreender.
ResponderExcluirA propósito Arquimedes tinhas ideias ñ só relacionadas com o cálculo integral como também com a cálculo diferencial como é o caso das tangentes a espirais (q na verdade eu não sei como funciona, mas quem sabe um dia o Sr. aborda no seu Blog).
t+
PS: faltou a palavra "satisfaz" no fragmento "...esquerda do fulcro, vemos que ela [?] a lei da alavanca conforme a figura..."????
É Kleber, Arquimedes estava muito a frente de qualquer matemático do seu tempo.
ResponderExcluirPedro Roberto, irei sim abordar outras de suas técnicas aqui no blog, inclusive o seu estudo sobre espirais, pois existe muito pouco material explicativo na internet.
Abraços e voltem sempre!
Caro professor.
ResponderExcluirMeu nome também é Paulo e sou autor de vários livros da área de exatas, inclusive um sobre Arquimedes.
Aqui segue meu blog com todos meus livros e suas sinopses, de repente algum pode lhe ser útil.
http://amatematicanaarteenavida.blogspot.com.br/
Parabéns pelo blog.
Att
Paulo Roberto
Olá Paulo Roberto, é um prazer vê-lo visitar o meu blog. Vi que você escreveu livros de História da Matemática que aliás é uma das áreas da Matemática que eu mais gosto. Eu estou pensando em realizar a quinta promoção aqui no blog cujo o prêmio é um exemplar de algum livro de Matemática. Obrigado pela visita e volte sempre.
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