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Como a Compreensão Matemática é Transmitida?

Neste post, continuo a transcrição do famoso ensaio On the proof and Progress in Mathematics (Sobre prova e progresso em matemática) de William P. Thurston que a Revista Matemática Universitária número [;17;] de dezembro de [;1994;] traduziu e publicou e cujas ideias servem muito bem na atualidade. Vejamos então o que o autor explica "Como a Compreensão Matemática é Transmitida?".

A transferência da compreensão de uma pessoa para outra não é automática. É difícil e intrincada. Portanto, para analisar a compreensão humana da matemática, é importante considerar quem compreende o que, e quando.

Os matemáticos têm desenvolvido hábitos de comunicação que são frequentemente contraproducentes. Em toda parte, organizadores de conferências para audiências não especializadas estimulam os conferencistas a explicarem as coisas em termos elementares. Apesar disso, a maioria da audiência pouco aproveita numa palestra típica desta natureza. Às vezes ficam perdidos após os [;5;] primeiros minutos, e no entanto permanecem presentes e silenciosos ao longo dos [;55;] minutos restantes. Ou então perdem o interesse rapidamente porque o conferencista mergulha em detalhes técnicos sem apresentar qualquer razão para investigá-los. Ao final da conferência, uns poucos matemáticos de área próxima à do conferencista fazem uma ou duas perguntas para evitar constrangimentos.

Este padrão é semelhante ao que frequentemente ocorre nas salas de aula, onde dizemos mecanicamente aos estudantes o que achamos que ele "devem" aprender, enquanto eles estão tentando resolver questões mais fundamentais como aprender nossa linguagem e adivinhar nossos modelos mentais. Livros evitam este problema trazendo exemplos resolvidos para todos os tipos de problemas que serão pedidos nos trabalhos escolares. Professores fazem o mesmo dando exercícios e testes muito mais fáceis que o material "coberto" na disciplina e atribuindo notas e conceitos numa escala que requer pouca compreensão. Supomos que o problema é com os estudantes e não com a comunicação: que estudantes não estão aptos a entender o assunto, ou que simplesmente não se interessam. Leigos ficam assombrados com esse fenômeno, mas dentro da comunidade matemática, nós o menosprezamos com um encolher de ombros.

"Professores fazem o mesmo dando exercícios e testes muito mais fáceis que o material "coberto" na disciplina e atribuindo notas e conceitos numa escala que requer pouca compreensão."

Muito da dificuldade tem a ver com a linguagem e a cultura da matemática , que é dividida em áreas. Conceitos básicos usados com frequência em uma área muitas vezes são desconhecidos em outra. Os matemáticos desistem de tentar entender conceitos básicos mesmo de uma área próxima, a não ser que sejam iniciados neles quando estudantes de pós-graduação. Por outro lado, a comunicação entre matemáticos da mesma área funciona muito bem. Dentro de uma área, desenvolve-se um corpo de conhecimentos comuns e de técnicas conhecidas. Em contatos informais, uns aprendem a compreender e imitar a maneira de pensar dos outros, de modo que as ideias podem ser explicadas clara e facilmente.

O conhecimento matemático pode ser transmitido com velocidade espantosa dentro de uma área. Quando um teorema significativo é provado, frequentemente (mas não sempre) ocorre que a solução pode ser transmitida em questão de minutos de uma pessoa para outra dentro da área. A mesma prova seria transmitida e geralmente compreendida em uma palestra de uma hora para membros da área. Seria assunto de um artigo de [;15;] a [;20;] páginas, que poderia ser lido e compreendido em poucas horas ou talvez dias por membros da área.

Por que uma expansão tão grande da discussão informal para a conferência e da conferência para o artigo? Face a face, usam-se amplos canais de comunicação que vão muito além da linguagem matemática formal. Usam-se gestos, figuras e diagramas, sons e linguagem corporal. A comunicação provavelmente tem mão dupla, de modo que as pessoas podem se concentrar no que necessita maior atenção. Com esses canais de comunicação, fica-se numa posição muito melhor para transmitir ideias, não apenas em seus aspectos lógicos e linguísticos, mas também em seus outros aspectos mentais.

Em conferências, as pessoas são mais inibidas e mais formais. As audiências matemáticas em geral não são muito boas para fazer as perguntas que estão nas mentes da maioria dos presentes, e os conferencistas em geral possuem um esquema irreal preestabelecido, que os inibe de tratar perguntas mesmo quando elas lhes são dirigidas.

Nos artigos, as pessoas são ainda mais formais. Escritores traduzem suas idéias em símbolos e lógica, e leitores tentam traduzir de volta. Porque existe tamanha discrepância entre comunicação dentro de uma área e comunicação fora da área, para não mencionar comunicação fora da matemática?

A matemática, em certo sentido, tem uma linguagem comum: a dos símbolos, definições técnicas, cálculos e lógica. Esta linguagem transmite eficientemente alguns, mas não todos, os tipos de pensamento matemático. Os matemáticos aprendem a traduzir certas coisas quase que inconscientemente de um modo de pensar para outro, de modo que algumas afirmações se tornam rapidamente claras. Diferentes matemáticos estudam artigos de maneiras distintas, mas quando leio um artigo de maneiras distintas, mas quando leio um artigo de matemática de uma área que me é familiar, concentro-me nos argumentos que estão nas entrelinhas. Examino vários parágrafos e sequências de equações e penso comigo mesmo "Ah sim, eles estão arrumando as coisas para desenvolver tal e tal ideia". Quando a ideia é clara o suporte formal é usualmente desnecessário e reduntante - frequentemente acho que seria mais fácil eu reescrever o artigo do que descobrir o que os autores de fato escreveram. É como uma nova torradeira que vem com um manual de 16 páginas. Se você já conhece torradeiras e se a nova é parecida com alguma coisa que você usou, você pode imediatamente ligá-la e ver se funciona, ao invés de ler primeiro todos os detalhes no manual.

Pessoas familiarizadas com os métodos de um certa área reconhecem vários padrões de fórmulas e afirmações como expressões idiomáticas ou paráfrases para certos conceitos ou imagens mentais. Mas, para quem ainda não está familiarizado com o que se passa, os mesmos padrões não são muito esclarecedores, e muitas vezes nada significam. A linguagem só é viva para aqueles que a usam.

Gostaria de fazer uma observação importante aqui: existem alguns matemáticos que estão familiarizados com as maneiras de pensar demais que uma área, algumas vezes de várias áreas. Alguns aprendem o jargão de várias áreas como alunos de pós-graduação, outros são muito rápidos em aprender a linguagem e cultura matemática de outras áreas. Pessoas que se sentem confortáveis em mais de uma área podem ter frequentemente uma influência muito positiva, servindo de ponte, e ajudando diferentes grupos de matemáticos a aprender uns com os outros. Mas podem também ter um efeito negativo, intimidando outros, e ajudando a manter um sistema de comunicação pobre em geral. Por exemplo, frequentemente ocorre em conferências de um colóquio, que uma ou duas pessoas de amplo conhecimento matemático sentadas na primeira fila sejam tomadas pelo conferencista como indicativo da platéia.

Há outro fato causado pelas grandes diferenças entre como pensamos sobre matemática e como a escrevemos. Um grupo de matemáticos interagindo uns com os outros podem manter viva uma coleção de ideias por um período de anos, apesar da versão escrita de seus trabalhos diferir do que de fato pensam, dando ênfase muito maior à linguagem, ao simbolismo, à lógica e ao formalismo. Mas quando novos grupos de matemáticos aprendem o assunto, eles tendem a interpretar o que lêem e ouvem mais literalmente, de modo que o formalismo e a maquinaria, que são facilmente gravados, tendem gradualmente a se sobrepor a outras formas de pensamento.

Existem dois antídotos para essa tendência dos matemáticos se atolarem inteiramente no formalismo. Primeiro, as novas gerações de matemáticos estão continuamente descobrindo e redescobrindo ideias por si mesmas, e assim reintroduzindo diferentes formas de pensamentos na matemática.

Em segundo lugar, os matemáticos às vezes inventam nomes e descobrem definições unificadoras que substituem floreios técnicos e criam boas chances para melhor percepção da ideias. Nomes como "grupo" em lugar de "um sistema de substituições satisfazendo..." e assim por diante.

Nós matemáticos, precisamos fazer um esforço muito maior no sentido de comunicar ideias matemáticas. Para isso, precisamos dar muito mais atenção à comunicação não apenas de definições, teoremas e provas, mas também de nossos modos de pensar. Precisamos levar em conta o valor das diferentes maneiras de ver uma mesma estrutura matemática.

Precisamos concentrar muito mais energia na compreensão e na explicação da infra-estrutura mental básica da matemática - e consequentemente menos para os resultados mais recentes. Isso implica o desenvolvimento de linguagem matemática efetiva para o objetivo radical de familiarizar as pessoas com ideias que elas ainda não conhecem.

Parte desta comunicação é através das provas, que veremos no próximo post.

Gostará de ler também:
- Como se Compreende a Matemática?;
- O que Realizam os Matemáticos?;
- Como Estudar Matemática?;
- O Método Para Bem Conduzir a Razão de Descartes.

4 comentários:

  1. Realmente, o que mais precisamos para aprender matemática é ter a compreensão da matemática. Temos que aprender as várias maneiras de pensar sobre um determinado assunto.
    Belo post, aguardo o próximo.

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  2. Também aguardo a continuação Professor.

    Muito bom ler estes textos...

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  3. Este artigo do William P. Thurston escrito há quase 20 anos possui ideias extremamente importante para a compreensão da Matemática. Obrigado a todos pelo comentário. Em breve publicarei a outra parte.

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  4. Adorei esse Post, o Blog quase que inteiramente, e concordo com o comentário do O VARIADO, precisamos primordialmente aprender a compreender as diferentes maneiras de pensar sobre um determinado assunto matemático.
    odiarioeducacional.blogspot.com

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