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Como se Compreende a Matemática?

Neste post, continuo a transcrição do famoso ensaio On the proof and Progress in Mathematics (Sobre prova e progresso em matemática) de William P. Thurston que a Revista Matemática Universitária número [;17;] de dezembro de [;1994;] traduziu e publicou e cujas ideias servem muito bem na atualidade. Vejamos então o que o autor explica "Como se Compreende Matemática?".

A compreensão é um processo individual e interno, do qual nos damos conta com dificuldade; é difícil entendê-la e frequentemente difícil transmiti-la. Podemos apenas tratá-la superficialmente.

Existem diferentes maneiras de compreender partes específicas da matemática. Para ilustrar isso, é melhor tomar um exemplo de um conceito que os matemáticos compreendem de várias maneiras, mas que oferece grandes dificuldades aos nossos estudantes: a derivada de uma função. Esta pode ser vista como:

(1) Infinitesimal: a razão da variação infinitesimal do valor da função para uma variação infinitesimal da variável.

(2) Simbólica: a derivada de [;x^n;] é [;nx^{n-1};], a derivada de [;\sin(x);] é [;\cos(x);], a derivada de [;f\circ g;] é [;f^{\prime}\circ g\times g^{\prime};], etc.

(3) Lógica: [;f^{\prime}(x) = d;] se e somente se para cada [;\epsilon;] existe um [;\delta;] tal que quando [;0 \prec \mid \Delta x \mid \prec \delta;], .

(4) Geométrica: a derivada é o coeficiente angular da tangente ao gráfico da função, isto se o gráfico tem uma tangente.

(5) Taxa: a velocidade instantânea de [;f(t);] quando [;t;] é o tempo.

(6) Aproximação: A derivada de uma função é a melhor aproximação linear para a função próximo a um ponto.

(7) Microscópia: A derivada de uma função é o limite que se obtém olhando-a com microscópios cada vez mais poderosos.

Esta é uma relação de modos diferentes de pensar sobre ou de conceber a derivada, em lugar de uma lista de definições lógicas diferentes. A não ser que se faça um grande esforço para se manter o tom e o sabor da intuição humana, as diferenças começam a desaparecer tão logo se traduzem conceitos mentais em definições formais, explícitas, e precisas.

Posso lembrar-me absorvendo cada um desses conceitos como algo novo e interessante, gastando muito tempo de raciocínio e esforço, digerindo e exercitando cada um deles, relacionando-o com os outros. Lembro-me também retornando a esses diferentes conceitos, adicionando-lhes significado e compreensão.

A lista continua; não há razão para que ela termine. Uma amostra de um item que ocorre bem abaixo na lista pode servir como ilustração. Podemos achar que sabemos tudo o que se pode dizer sobre certo assunto, mas novas percepções estão logo ali. Além disso, uma imagem mental clara para um pessoa é intimidação para outra. Por exemplo,

"A derivada de uma função real [;f;] num domínio [;D;] é a secção Lagrangeana do fibrado cotangente [;T^{\ast}(D);] que dá a forma de conexão para a única conexão plana do fibrado real trivial [;D\times R;] para a qual o gráfico de [;f;]é paralelo".

Essas diferenças não são apenas curiosidades. O pensamento e a compreensão humanas não funcionam numa via única, como num computador com uma única central de processamento. Nossos cérebros e mentes parecem ser organizados em uma grande variedade de estruturas separadas e poderosas. Essas estruturas trabalham em conjunto e independentemente, comunicando-se entre si em altos níveis de organização ao invés de em níveis inferiores. Vejamos então algumas das divisões principais que são importantes para o pensamento matemático.

(1) Linguagem humana. Nós possuímos estruturas eficientes e especializadas destinadas à fala e compreensão da linguagem humana, que se conectam também com a escrita e leitura. Nossa leitura linguística é um instrumento importante para o raciocínio, e não apenas para comunicação. Um exemplo simples é a fórmula das raízes de uma equação do segundo grau que as pessoas decoram com uma ladainha "x igual a menos bê mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos quatro ac sobre dois á". A linguagem simbólica da matemática está fortemente ligada à nossa estrutura de linguagem.

(2) Visão, percepção espacial, percepção cinética. As pessoas possuem estruturas muito poderosas pra adquirir informações visualmente ou cineticamente, e para raciocinar através de sua percepção espacial. Por outro lado, não há uma estrutura bem montada para a visão inversa, isto é, transformar uma compreensão espacial interna em uma imagem bidimensional. Consequentemente, os matemáticos têm em geral figuras mais pobres e em quantidade menor em seus livros e artigos que em suas mentes.

(3) Lógica e dedução. Associado ao modo com que fazemos deduções lógicas, temos algumas maneiras programadas de raciocinar e agrupar idéias: causa e efeito (relacionada com implicação), contradição ou negação, etc. Em geral, parece que os matemáticos não se apóiam em regras formais de dedução quando estão pensando. Em vez disso, eles guardam apenas parte razoável da estrutura lógica de uma prova em suas mentes, quebrando provas em resultados intermediários, de modo a não lidar com muita lógica de uma só vez. De fato, é comum excelentes matemáticos não conhecerem nem mesmo as regras básicas dos quantificadores (para todo e existe), no entanto todos os matemáticos certamente executam o raciocínio que eles codificam.

(4) Intuição, associação, metáfora. As pessoas têm uma capacidade surpreendente para perceber alguma coisa sem conhecer de onde ela vem (intuição); para perceber que um fenômeno, uma situação ou um objeto é parecido com algum outro (associação); e para construir e testar conexões e comparações, mantendo em mente duas coisas ao mesmo tempo (metáfora). Essas capacidades são muito importantes para os matemáticos. Pessoalmente, faço um grande esforço para "ouvir" minhas intuições e associações, e construir a partir delas metáforas e conexões. Isso envolve um tipo de quietude e concentração simultâneas de minha mente. Palavras, lógica e figuras detalhadas agitando-se em volta podem inibir intuições e associações.

(5) Estímulo - resposta. Isso é sempre enfatizado nas escolas; por exemplo, se você vê [;3927\times 253;], escreve um número sobre o outro e traça uma linha por baixo, etc. Isso é também importante para a pesquisa matemática: vendo o diagrama de um nó, posso escrever uma apresentação para o grupo fundamental de seu complementar por uma reação semelhante àquela causada pelo algoritmo da multiplicação.

(6) Processo e tempo. Nós possuímos uma habilidade para pensar sobre processos ou sequências de ações que pode efetivamente ajudar no raciocínio matemático. Um modo de ver uma função é como uma ação, um processo, que leva o domínio no contradomínio. Isso é particularmente útil quando compomos funções. Um outro uso dessa estrutura é na recordação de provas: as pessoas frequentemente relembram uma prova como um processo consistindo de várias etapas. Em topologia, a noção de homotopia é pensada frequentemente como um processo temporal. Matematicamente não se distingue o tempo de uma dimensão espacial a mais; no entanto, ele é psicologicamente muito diferente pois interagimos com ele de um modo muito especial.

No próximo post veremos o que William P. Thurston tem a dizer sobre "Como a compreensão matemática é transmitida?"

Gostará de ler também:
- O que Realizam os Matemáticos?;
- Como Estudar Matemática;
- Matemáticos Refletindo Sobre a Matemática.

2 comentários:

  1. Professor, interessantíssimos textos nesta sequência de posts... aguardo a continuação!!

    abrç

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  2. A ideia de colocar os posts em gotas homeopáticas tem como objetivo instigar os leitores a reflexão e também de não correr o risco de tornar cansativo, caso o artigo fosse apresentado de um só vez. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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