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terça-feira, 22 de março de 2011

A Matemática dos Foguetes de um Estágio

O estudo do movimento de um foguete é interessante do ponto de vista da Matemática, pois utiliza as ferramentas e os métodos do Cálculo Diferencial e Integral e das Equações Diferenciais.

Fisicamente, é uma aplicação direta da [;3^{\underline{a}};] lei de Newton, pois para se movimentar, o foguete expele para trás de si, pela cauda, os gases gerados pela queima de combustível, o que por sua vez, faz com que o foguete seja impulsionado para frente. Como a massa do foguete varia nesse processo, pois parte da massa é ejetada na forma de gases, temos um sistema de massa variável, e portanto, o seu estudo deve levar isso em conta.

Neste post, veremos o movimento vertical ascendente de um foguete na superfície terrestre. Neste estudo, adotaremos a seguinte hipótese simplificadora:

Hipótese : A taxa de variação instantânea da quantidade de combustível queimado em relação ao tempo [;t;] é constante, ou seja,

[;-\frac{dm}{dt} = b, \qquad b \succ 0 \qquad (1);]

Normalmente, [;b;] é dado em [;kg/s;]. Se [;m_0;] é a soma da carga útil mais o combustível incial, segue integrando [;(1);] que

[;m(t) = m_0 - bt \qquad (2);]

Nesta expressão, [;bt;] é o combustível queimado após um tempo [;t;]. Denotaremos por [;v_e;] a velocidade de ejeção dos gases expelidos para baixo resultante da queima de combustível.

Definição 1: O produto de [;b;] pela velocidade de ejeção [;v_e;] denotado por [;E;] chama-se empuxo do foguete, ou seja,

[;E = bv_e = -v_e\frac{dm}{dt} \qquad (3);]

É claro que uma aceleração grande requer um foguete com um grande empuxo [;E;], e um grande empuxo é obtido projetando um foguete com uma grande velocidade de escape e uma alta taxa de consumo de combustível.

Consideremos então um foguete lançado verticalmente da superfície terrestre com uma velocidade inicial [;v(0) = 0;], partindo da origem de um eixo [;z;] dirigido para cima. Suponha que no instante [;t;] a massa do foguete seja [;m;] (incluindo a carga útil e o combustível), sua posição é [;z(t);] e sua velocidade é [;v(t);]. No instante [;t + \Delta t;] a massa passa a ser [;m + \Delta m;] e a velocidade [;v(t) + \Delta v;], conforme a figura abaixo.

A massa de combustível queimado nesse intervalo de tempo é [;-\Delta m;], sendo [;\Delta M \prec 0;]. A velocidade dos gases expelidos pela cauda do foguete em relação a um referencial inercial é [;v - v_e;]. Assim, a variação da quantidade de movimento [;\Delta p;] é dada por

[;\Delta p = (m + \Delta m)(v + \Delta v) + (-\Delta m)(v - v_e) - mv;]

[;=m\Delta v + v\Delta m + \Delta m \Delta v - v\Delta m + v_e\Delta m;]

[; = m\Delta v + (v_e + \Delta v)\Delta m \qquad (4);]

Dividindo a expressão [;(4);] por [;\Delta t;] e aplicando o limite fazendo [;\Delta t \to 0;], segue que

[;\frac{dp}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta p}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0}\biggl[m\frac{\Delta v}{\Delta t} + (v_e + v)\frac{\Delta m}{\Delta t} \biggr];]

[;= m\frac{dv}{dt} + v_e\frac{dm}{dt} \qquad (5);]

A [;2^{\underline{a}};] lei de Newton, afirma que a taxa de variação instantânea da quantidade de movimento em relação é igual a força atuante (força peso), isto é,

[;\frac{dp}{dt} = -mg \qquad (6);]

Substituindo [;(6);] em [;(5);] e usando a expressão [;(3);], temos:

[;-mg = m\frac{dv}{dt} - E \quad \Rightarrow \quad m\frac{dv}{dt} = E - mg \qquad (7);]

Observação 1: Da expressão [;(7);], podemos dizer que na ausência da resistência do ar, um foguete é uma partícula de massa variável [;m;] submetida a duas forças de mesma direção mas de sentidos opostos: o empuxo dos gases [;E;] e o peso [;mg;].

Se levarmos em conta a resistência do ar no movimento ascendente do foguete, teremos:

[;-mg -kv = m\frac{dv}{dt} - E \qquad (8);]

[;-mg - kv^2 = m\frac{dv}{dt} - E \qquad (9);]

Como caso particular da equação [;(7);], mencionaremos que no espaço exterior o peso [;mg;] vale zero, e sobre o foguete atuaria unicamente a força de empuxo que proporciona expulsão dos gases ao queimar o combustível. Assim,

[;m\frac{dv}{dt} = E \quad \Rightarrow \quad (m_0 - bt)\frac{dv}{dt} = bv_e \quad \Rightarrow;]

[;dv = \frac{bv_edt}{m_0 - bt} \qquad (10);]

Supondo que [;v(0) = v_0;] segue da expressão [;(10);] que

[;\int_{v_0}^{v}dv = bv_e\int_{0}^{t}\frac{dt}{m_0 - bt} \quad \Rightarrow;]

[;v(t) = v_0 - v_e[\ln(m_0 - bt) - \ln m_0] \quad \Rightarrow;]

[;v(t) = v_0 - v_e\ln\biggl(1 - \frac{bt}{m_0}\biggr)\qquad (11);]

Para existir o logaritmo, devemos ter [;1 - bt/m_0 \succ 0 \qquad \Rightarrow \qquad t \prec m_0/b;]. Assim, o domínio de [;v(t);] é [;D(v) = \{t \in \mathbb{R}: 0 \leq t \prec T\};].

Exemplo 1: Um pequeno foguete viaja espaço sideral transportando uma carga útil de [;300\ kg;] com velocidade inicial de [;200\ m/s;]. A massa de combustível nos tanques é [;500\ kg;] o qual é queimado a uma taxa de [;0,5\ kg/s;]. Se a velocidade de ejeção dos gases é igual a [;2000\ m/s;], determine a velocidade máxima alcançada pelo foguete.

Resolução: A massa total do foguete [;m_0;] é igual a carga útil adicionada com a massa de combustível, ou seja, [;m_0 = 300 + 500 = 800\ kg;]. Do enunciado temos, [;b = 0,5\ kg/s;] e [;v_e = 200\ m/s;]. O combustível queima durante

[;T = \frac{m_c}{b} = \frac{500\ kg}{0,5\ kg/s} = 1000\ s;]

onde [;m_c;] é a massa de combustível. Da expressão [;(11);],

[;v_{max} = v(T) = 200 - 2000\ln\biggl(1 - \frac{0,5}{800}\cdot 1000\biggr);]

[;= 200 - 2000\ln(1 - 5/8) \simeq 2161,66\ m/s;]

Vejamos agora, a expressão para a velocidade de um foguete lançado verticalmente para cima sem levar em conta a resistência do ar. Da expressão [;(7);], segue que

[;\frac{dv}{dt} = \frac{bv_e}{m} - g \quad \Rightarrow \quad dv = \biggl(\frac{bv_e}{m_0 - bt} - g\biggr)dt;]

Sendo [;v(0) = 0;], então



[;v(t) = -gt - v_e\ln(m_0 - bt) \biggr ]_{0}^{t} \quad \Rightarrow;]

[;v(t) = -gt - v_e\ln\biggl(1 - \frac{b}{m_0}t\biggr), \qquad 0 \leq t \prec \frac{b}{m_0} \qquad (12);]

Sendo [;v = dy/dt;] e [;y(0) = 0;], integrando novamente temos:

[;y(t) = -\frac{gt^2}{2} - v_e\cdot \int_{1}^{1- bt/m_0}\ln u \cdot(\frac{-m_0}{b})du \qquad \Rightarrow;]

[;y(t) = -\frac{gt^2}{2} + \frac{m_0v}{b}\biggl[u\ln u - u \biggr]_{1}^{1 - bt/m_0} \qquad \Rightarrow;]

[;y(t) = -\frac{gt^2}{2} - v_e\biggl(1 - \frac{m_0}{b}\biggr)\ln\biggl(1 - \frac{bt}{m_0}\biggr) + v_et \quad \text{para} \quad 0 \leq t \prec \frac{m_0}{b} \qquad (13);]

Das expressões [;(12);] e [;(13);], podemos tirar as seguintes conclusões:

i) Podemos determinar a velocidade e a posição do foguete no final da ignição.

ii) Existe a possibilidade do foguete escapar do campo gravitacional e isso ocorre se [;v_{max};] maior que a velocidade de escape da Terra.

Gostará de ler também:
- Velocidade de Escape;
- Velocidade Terminal de um Pára-Quedas;
- Lançado Bombas;
- Interação Gravitacional de Sólidos com Simetria Radial.

6 comentários:

  1. Olá, Paulo!
    Gostei de mais do post! Aqui vc ensinou o assunto dando explicação da forma... "saiba como é" e também... "se vc quiser saber mais um pouco", beleza de abordagem! Acredito que: gregos e troianos ficarão satisfeitos e parabéns!
    Um abraço!!!!!

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  2. Muito obrigado Francisco pelos elogios. Não quis estender muito o assunto, mas percebe-se que podemos criar novos posts considerando a resistência do ar e também adicionando mais um estágio. Farei isso futuramente ou alguém fique a vontade para fazer antes de mim. Abraços e volte sempre!

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  3. Mt bacana, Paulo. Seria maravilhoso trabalhar na Nasa fazendo esse tipo de cálculo. Hueheuheuehue...

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  4. Obrigado amigo Hun. A matemática dos foguetes é um tema muito interessante para ser abordado com os alunos. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  5. Professor, estou tentando fazer considerando o atrito do ar mas não consigo fechar as contas matematicas. Sera que teria como me ajuda?!

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    1. Atualmente estou muito ocupado com muitas atividades e por isso ficarei devendo esta ajuda. Em breve, publicarei mais post sobre este assunto.

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