FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7)

terça-feira, 1 de março de 2011

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7)

Problema $[;19;]$ : Determine o coeficiente angular $[;m;]$ da reta $[;y = mx;]$ de modo que a região compreendida entre a parábola $[;y = 4x - x^2;]$ e o eixo $[;x\;]$ fique dividida em duas partes de áreas iguais ( $[;S_1 = S_2;]$ ).

Problema $[;20;]$ : O ponto $[;D;]$ está dentro do retângulo $[;ABCD;]$ na figura abaixo. Mostre que $[;a^2 + c^2 = b^2 + d^2;]$ .

Problema $[;21;]$ : Sejam $[;0 \leq a,b,c,d \leq 1;]$ . Prove que pelo menos um dos produtos $[;a(1 - b);]$ , $[;b(1 - c);]$ , $[;c(1 - d);]$ e $[;d(1 - a);]$ é menor ou igual a $[;1/4;]$ .

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6).

Problema $[;16;]$ : O número prateado é definido por $[;\delta = 1 + \sqrt{2};]$ . Mostre que $[;\delta^n + (-1/\delta)^n - 2;]$ é divisível por $[;4;]$ para $[;n \geq 2;]$ .

Resolução: Sendo $[;\delta \bar{\delta} = -1;]$ , segue que

$[;\delta^n + (-\frac{1}{\delta})^n - 2 = \delta^n + \bar{\delta}^n - 2;]$

Pela Prop. 1, temos

$[;\delta^n = P_n\delta + P_{n-1} \qquad \text{e} \qquad (\bar{\delta})^n = P_n\bar{\delta}+ P_{n-1};]$

donde segue que

$[;\delta^n + (\bar{\delta})^n - 2 = P_n(\delta + \bar{\delta}) + 2P_{n-1} - 2;]$

Como $[;\delta = 1 + \sqrt{2};]$ e $[;\bar{\delta} = 1 - \sqrt{\delta};]$ , temos $[;\delta + \bar{\delta} = 2;]$ , então

$[;\delta^n + (\bar{\delta})^n - 2 = 2P_n + 2P_{n-1} - 2 = 2(P_n + P_{n-1} - 1);]$

Mas pela Proposição 2, $[;P_n + P_{n-1} - 1 = 2S_n;]$ . Assim,

$[;\delta^n + (\bar{\delta})^n - 2 = 4S_n;]$

donde segue o resultado.

Solução adaptada da solução enviada pelo leitor Carlos Alberto.

Problema $[;17;]$ : Determine na figura abaixo a razão entre a área do $[;\triangle EGF;]$ e a área do $[;\triangle ABC;]$ .

Resolução: Para facilitar a notação, $[;[XYZ];]$ denotará a área do $[;\triangle XYZ;]$ . Usaremos também o fato que a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança entre dois elementos lineares correspondentes.

Pelo caso lado-ângulo-lado, os triângulos $[;AEF;]$ e $[;ABC;]$ são semelhantes, com razão de semelhança $[;1/2;]$ . Por essa semelhança, obtemos

$[;EF = BC/2 \quad \Rightarrow \quad EF = CD \qquad (1);]$

Sendo $[;h;]$ a altura do $[;\triangle ABC;]$ com relação ao lado $[;BC;]$ , e sendo $[;h^{\prime};]$ a altura do $[;\triangle AEF;]$ com relação ao lado $[;EF;]$ , então pela semelhança, também obtemos $[;h = 2h^{\prime};]$ . Como $[;EF \ \mid \mid \ BC;]$ , então a distância entre $[;EF;]$ e $[;BC;]$ é igual a $[;h^{\prime};]$ , pois essa distância somada com a altura $[;h^{\prime};]$ é igual a $[;h;]$ .

Pelo que foi exposto acima, podemos concluir que

$[;[AEF] = [FCD] \qquad (2);]$

já que esses triângulos possuem bases e alturas congruentes. Agora, usando o fato que $[;EF \ \mid \mid \ BC;]$ , então vale $[;G\hat{F}E = G\hat{D}B;]$ . Pelo caso, ângulo-ângulo-ângulo, podemos concluir que os triângulos $[;EGF;]$ e $[;GDB;]$ são semelhantes. Também note que

$[;BC = 2CD \quad \Rightarrow \quad BD = BC + CD = 3CD;]$

e por $[;(1);]$ , $[;BD = 3EF;]$ . Isto quer dizer que a razão de semelhante entre $[;\triangle EGF;]$ e $[;\triangle GDB;]$ é $[;1/3;]$ . Logo,

$[;\frac{[EGF]}{[GDB]} = \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^2 \quad \Rightarrow \quad [GDB] = 9[EGF] \qquad (3);]$

Assim, usando a relação $[;(2);]$ , temos

$[;[ABC] = [AEF] + [EFCB] \quad \Rightarrow;]$

$[;[ABC] = [FDC] + [EFCB] \qquad (4);]$

Para o $[;\triangle GDB;]$ , também temos

$[;[GDB] = [EGF] + [EFCB] + [FCD] \qquad (5);]$

Substituindo $[;(3);]$ em $[;(5);]$ , segue que

$9[EGF] = [EGF] + [EFCB] + [FDC] \quad \Rightarrow$

$[;8[EGF] = [EFCB] + [FDC] \qquad (6);]$

A conclusão é obtida substituindo $[;(4);]$ em $[;(6);]$ , isto é,

$[;8[EGF] = [ABC] \quad \Rightarrow \quad \frac{[EGF]}{[ABC]} = \frac{1}{8};]$

Solução enviada pelo leitor Luis Fernando.

Problema $[;18;]$ : Use Cálculo e determine o ponto sobre o plano $[;\pi:\ 2x - y + z = 4;]$ mais próximo da origem.

Resolução: Seja $[;P(x,y,z);]$ um ponto sobre o plano $[;\pi;]$ . Assim, $[;z = 4 - 2x + y;]$ . A distância de $[;P;]$ à origem é dada por

$[;d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + (4 - 2x + y)^2};]$

Note que se o quadrado da distância é mínimo, então $[;d;]$ também atingirá o mínimo. Deste modo considere a função

$[;f(x,y) = x^2 + y^2 + (4 - 2x + y)^2;]$

Aplicando as derivadas parciais de primeira ordem e igualando a zero, temos:

$[;\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2(4 - 2x + y)(-2) = 0;]$

$[;\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2(4 - 2x + y) = 0;]$

Dessas equações, obtemos o sistema linear

$[;\begin{cases}5x - 2y = 8\\x - y = 2\\\end{cases};]$

cuja solução é $[;x = 4/3;]$ e $[;y = -2/3;]$ . Usando a expressão acima, segue que $[;z = 2/3;]$ .

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Carlos Alberto - Prob. $[;16;]$
- Jean Lucas - Prob. $[;16;]$
- Lucas - Prob. $[;16;]$
- Luiz Fernando - Prob. $[;17;]$
- Warles - Probs. $[;16;]$ e $[;17;]$

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas $[;19);]$ , $[;20);]$ e $[;21);]$ encerra no dia 31/03/2011 e podem ser enviados no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4).

5 comentários:

Warles e Divina3 de março de 2011 12:14
Legal, professor Paulo Sérgio, ficou contente de ter encontrado o meu nome da lista dos leitores que participaram da seção "Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7)".
Até a próxima.
Warles R. Neto.
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Prof. Paulo Sérgio3 de março de 2011 16:28
Eu que agradeço pela sua participação. Obrigado e volte sempre.
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Duwaiti23 de março de 2011 19:23
o problema 16 tem um erro crasso. n>=2 então a equação

delta^n + (-1/delta)^(-n) - 2 = delta^n + (-1)^n delta^(-n) - 2.

Agora, (-1)^n pode ser positivo se n é par (2, 4, 6, etc) e ou ímpar se n é ímpar (3, 5, 7, etc).

Favor corrigir esse erro! De repente o restante da solução está errada.
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Douglas24 de março de 2011 15:57
Paulo,

o problema está na escrita. Sugiro que coloque o delta, bem como o delta conjugado, entre parenteses. Está causando certa confusão. De cara pensa-se que é (delta)^(-n). Mas não é. Agora, se o sinal estiver trocado a expressão ficaria (delta)^n - (delta barra)^(-n) = 2sqrt{2} P_n. Então, de primeira vista esta barra está gerando certa imprecisão porque não fica claro se é delta barra ou (delta)^(-n).
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Prof. Paulo Sérgio24 de março de 2011 16:44
Já adicionei os parênteses para evitar a ambiguidade. Obrigada pela sugestão e volte sempre!
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