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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7)


Problema [;19;]: Determine o coeficiente angular [;m;] da reta [;y = mx;] de modo que a região compreendida entre a parábola [;y = 4x - x^2;] e o eixo [;x\;] fique dividida em duas partes de áreas iguais ([;S_1 = S_2;]).


Problema [;20;]: O ponto [;D;] está dentro do retângulo [;ABCD;] na figura abaixo. Mostre que [;a^2 + c^2 = b^2 + d^2;].

Problema [;21;]: Sejam [;0 \leq a,b,c,d \leq 1;]. Prove que pelo menos um dos produtos [;a(1 - b);], [;b(1 - c);], [;c(1 - d);] e [;d(1 - a);] é menor ou igual a [;1/4;].

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6).

Problema [;16;]: O número prateado é definido por [;\delta = 1 + \sqrt{2};]. Mostre que [;\delta^n + (-1/\delta)^n - 2;] é divisível por [;4;] para [;n \geq 2;].

Resolução: Sendo [;\delta \bar{\delta} = -1;], segue que

[;\delta^n + (-\frac{1}{\delta})^n - 2 = \delta^n + \bar{\delta}^n - 2;]
Pela Prop. 1, temos

[;\delta^n = P_n\delta + P_{n-1} \qquad \text{e} \qquad (\bar{\delta})^n = P_n\bar{\delta}+ P_{n-1};]
donde segue que
[;\delta^n + (\bar{\delta})^n - 2 = P_n(\delta + \bar{\delta}) + 2P_{n-1} - 2;]

Como [;\delta = 1 + \sqrt{2};] e [;\bar{\delta} = 1 - \sqrt{\delta};], temos [;\delta + \bar{\delta} = 2;], então

[;\delta^n + (\bar{\delta})^n - 2 = 2P_n + 2P_{n-1} - 2 = 2(P_n + P_{n-1} - 1);]

Mas pela Proposição 2, [;P_n + P_{n-1} - 1 = 2S_n;]. Assim,

[;\delta^n + (\bar{\delta})^n - 2 = 4S_n;]
donde segue o resultado.

Solução adaptada da solução enviada pelo leitor Carlos Alberto.

Problema
[;17;]:
Determine na figura abaixo a razão entre a área do [;\triangle EGF;] e a área do [;\triangle ABC;].

Resolução: Para facilitar a notação, [;[XYZ];] denotará a área do [;\triangle XYZ;]. Usaremos também o fato que a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança entre dois elementos lineares correspondentes.

Pelo caso lado-ângulo-lado, os triângulos [;AEF;] e [;ABC;] são semelhantes, com razão de semelhança [;1/2;]. Por essa semelhança, obtemos

[;EF = BC/2 \quad \Rightarrow \quad EF = CD \qquad (1);]

Sendo [;h;] a altura do [;\triangle ABC;] com relação ao lado [;BC;], e sendo [;h^{\prime};] a altura do [;\triangle AEF;] com relação ao lado [;EF;], então pela semelhança, também obtemos [;h = 2h^{\prime};]. Como [;EF \ \mid \mid \ BC;], então a distância entre [;EF;] e [;BC;] é igual a [;h^{\prime};], pois essa distância somada com a altura [;h^{\prime};] é igual a [;h;].

Pelo que foi exposto acima, podemos concluir que

[;[AEF] = [FCD] \qquad (2);]

já que esses triângulos possuem bases e alturas congruentes. Agora, usando o fato que [;EF \ \mid \mid \ BC;], então vale [;G\hat{F}E = G\hat{D}B;]. Pelo caso, ângulo-ângulo-ângulo, podemos concluir que os triângulos [;EGF;] e [;GDB;] são semelhantes. Também note que

[;BC = 2CD \quad \Rightarrow \quad BD = BC + CD = 3CD;]

e por [;(1);], [;BD = 3EF;]. Isto quer dizer que a razão de semelhante entre [;\triangle EGF;]e [;\triangle GDB;] é [;1/3;]. Logo,

[;\frac{[EGF]}{[GDB]} = \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^2 \quad \Rightarrow \quad [GDB] = 9[EGF] \qquad (3);]

Assim, usando a relação [;(2);], temos

[;[ABC] = [AEF] + [EFCB] \quad \Rightarrow;]

[;[ABC] = [FDC] + [EFCB] \qquad (4);]

Para o [;\triangle GDB;], também temos

[;[GDB] = [EGF] + [EFCB] + [FCD] \qquad (5);]

Substituindo [;(3);] em [;(5);], segue que



[;8[EGF] = [EFCB] + [FDC] \qquad (6);]


A conclusão é obtida substituindo [;(4);] em [;(6);], isto é,

[;8[EGF] = [ABC] \quad \Rightarrow \quad \frac{[EGF]}{[ABC]} = \frac{1}{8};]

Solução enviada pelo leitor Luis Fernando.

Problema [;18;]: Use Cálculo e determine o ponto sobre o plano [;\pi:\ 2x - y + z = 4;] mais próximo da origem.

Resolução: Seja [;P(x,y,z);] um ponto sobre o plano [;\pi;]. Assim, [;z = 4 - 2x + y;]. A distância de [;P;] à origem é dada por

[;d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + y^2 + (4 - 2x + y)^2};]

Note que se o quadrado da distância é mínimo, então [;d;] também atingirá o mínimo. Deste modo considere a função

[;f(x,y) = x^2 + y^2 + (4 - 2x + y)^2;]

Aplicando as derivadas parciais de primeira ordem e igualando a zero, temos:

[;\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2(4 - 2x + y)(-2) = 0;]
e
[;\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2(4 - 2x + y) = 0;]

Dessas equações, obtemos o sistema linear

[;\begin{cases}5x - 2y = 8\\x - y = 2\\\end{cases};]

cuja solução é [;x = 4/3;] e [;y = -2/3;]. Usando a expressão acima, segue que [;z = 2/3;].

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Carlos Alberto - Prob. [;16;]
- Jean Lucas - Prob. [;16;]
- Lucas - Prob. [;16;]

- Luiz Fernando - Prob. [;17;]
- Warles - Probs. [;16;] e [;17;]

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;19);], [;20);] e [;21);] encerra no dia 31/03/2011 e podem ser enviados no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4).

5 comentários:

  1. Legal, professor Paulo Sérgio, ficou contente de ter encontrado o meu nome da lista dos leitores que participaram da seção "Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7)".
    Até a próxima.
    Warles R. Neto.

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  2. Eu que agradeço pela sua participação. Obrigado e volte sempre.

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  3. o problema 16 tem um erro crasso. n>=2 então a equação

    delta^n + (-1/delta)^(-n) - 2 = delta^n + (-1)^n delta^(-n) - 2.

    Agora, (-1)^n pode ser positivo se n é par (2, 4, 6, etc) e ou ímpar se n é ímpar (3, 5, 7, etc).

    Favor corrigir esse erro! De repente o restante da solução está errada.

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  4. Paulo,

    o problema está na escrita. Sugiro que coloque o delta, bem como o delta conjugado, entre parenteses. Está causando certa confusão. De cara pensa-se que é (delta)^(-n). Mas não é. Agora, se o sinal estiver trocado a expressão ficaria (delta)^n - (delta barra)^(-n) = 2sqrt{2} P_n. Então, de primeira vista esta barra está gerando certa imprecisão porque não fica claro se é delta barra ou (delta)^(-n).

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  5. Já adicionei os parênteses para evitar a ambiguidade. Obrigada pela sugestão e volte sempre!

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