FATOS MATEMÁTICOS: Identidades Algébricas

terça-feira, 5 de abril de 2011

Identidades Algébricas

As identidades algébricas são ferramentas muito úteis no cálculo de alguns limites, na técnica de completar quadrados e na fatoração algébrica, desenvolvendo as habilidades operacionais do aluno.

Apesar de ser um assunto elementar e conhecido por todos, ele é amplamente útil no Cálculo e seu conhecimento é necessário para compreender outros tópicos da Matemática. Além disso, a demonstração dessas identidades apresentadas abaixo baseiam-se nas propriedades da soma e do produto de números reais.

Como o blog destina-se a divulgar diversos assuntos em vários níveis, vale a pena divulgar um post sobre as identidades algébricas.

Identidade 1: Se $[;a,b \in \mathbb{R};]$ , então $[;(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;]$ .

De fato,

$[;(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + 2ab + b^2;]$

usando as propriedades distributiva e comutativa do produto de números reais.

Observação 1:

$[;(a - b)^2 = [a + (-b)]^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2;]$

Identidade 2: Se $[;a,b \in \mathbb{R};]$ , então $[;(a - b)(a + b) = a^2 - b^2;]$ .

De fato,

$[;(a - b)(a + b) = a(a + b) - b(a + b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2;]$

Identidade 3: Se $[;a, b \in \mathbb{R};]$ , então $[;(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;]$ .

De fato,

$[;(a + b)^3 = (a + b)^2(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b);]$

$[;=a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;]$

Analogamente, $[;(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3;]$ .

Identidade 4: Se $[;a, b \in \mathbb{R};]$ , então $[;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2);]$ .

De fato, pela identidade 3, temos:

$[;a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a^2b - 3ab^2 = (a + b)^3 - 3ab(a + b);]$

$[;=(a + b)[(a + b)^2 - 3ab] = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2 - 3ab);]$

$[;= (a + b)(a^2 - ab + b^2);]$

Observação 2: Desta identidade segue que

$[;(a^3 - b^3) = a^3 + (-b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2);]$

Exemplo 1: Sabendo que a soma de dois números é $[;6;]$ e o seu produto é $[;8;]$ , calcule a soma dos inversos de seus quadrados.

Resolução: Sejam $[;a;]$ e $[;b;]$ tais números. Assim,

$[;\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2b^2} = \frac{(a + b)^2 - 2ab}{a^2b^2} = \biggl(\frac{a + b}{ab}\biggr)^2 - \frac{2}{ab} = \bigl( \frac{6}{8}\bigr)^2 - \frac{2}{8} = \frac{5}{16};]$

Exemplo 2: Simplifique a expressão $[;64x^6 - y^6;]$ .

Resolução: Sendo $[;64 = 2^6;]$ , segue que

$[;64x^6 - y^6 = 2^6x^6 - y^6 = (2x)^6 - y^6 = [(2x)^2]^3 - (y^2)^3;]$

$[;=[(2x)^2 - y^2][(2x)^4 + (2x)^2y^2 + y^4];]$

$[;= (2x - y)(2x + y)(16x^4 + 4x^2y^2 + y^4);]$

Exemplo 3: Ache todas as soluções reais do sistema de equações.

$[;\begin{cases}x^3 + y^3 = 7\\x + y = 1\\\end{cases};]$

Resolução: Um modo simples de resolver este sistema é transformá-lo em uma equação de uma variável. Para isso, isolamos $[;y;]$ na segunda equação e substituímos na primeira equação para obter $[;x^3 + (1 - x)^3 - 7 = 0;]$ , cujas raízes são fáceis de serem obtidas. Um outro modo é o seguinte:

$[;7 = x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^2 - xy + y^2;]$

pois $[;x + y = 1;]$ . Elevando ao quadrado a segunda equação e usando o resultado anterior obtemos o sistema equivalente.

$[;\begin{cases}x^2 - xy + y^2 = 7\\x^2 + 2xy + y^2 = 1\\\end{cases};]$

donde segue que $[;3xy = -6 \quad \Rightarrow \quad xy = -2;]$ . Assim, as soluções $[;x\;]$ e $[;y;]$ procuradas satisfazem a equação quadrática $[;u^2 - u - 2 = 0;]$ . As raízes desta equação são $[;u^{\prime} = -1;]$ e $[;u^{\prime \prime} = 2;]$ . Logo, $[;S = \{(-1,2),(2,-1)\};]$ .

Problemas Propostos:
1) Sejam $[;a,b;]$ e $[;c;]$ números reais. Prove que

$[;(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc);]$

2) Sejam $[;a;]$ , $[;b;]$ e $[;c;]$ números satisfazendo as equações $[;a + b + c = -6;]$ , $[;ab + bc + ca = 2;]$ e $[;a^3 + b^3 + c^3 = 6;]$ . Ache $[;abc;]$ .

3) Se $[;a, b, c;]$ e $[;d;]$ são números reais tal que

$[;a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = ab + bc + cd + da;]$

prove que $[;a = b = c = d;]$ .
4) Sejam $[;a;]$ , $[;b;]$ , $[;c;]$ números reais tal que $[;a + b + c = 0;]$ . Prove que

$[;\frac{a^2 + b^2}{a + b} + \frac{b^2 + c^2}{b + c} + \frac{c^2 + a^2}{c + a} = \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab};]$

Agradeço ao Prof. Kleber do Blog O Baricentro da Mente pelo envio da figura autoexplicativa do Problema 1).

Gostará de ler também:
- Blocos Algébricos no Ensino Fundamental;
- Sobre a Divisão de Polinômios;
- As Relações de Girard;
- Transformações de Radicais.

Um comentário:

Vini15 de abril de 2011 13:53
o 1 é bem simples:
(a+b+c)²=(a+b+c)(a+b+c) pela definição de expoente.
(a+b+c)(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c² pelas propriedades distributivas e comutativas da multiplicação, além da definição de potência.

a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) pelas propriedades associativas e distributivas

então (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc), pois a igualdade é transitiva.

Tô meio com pressa agora, de madrugada tento provar o resto. Abraço!
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