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sexta-feira, 22 de abril de 2011

O Problema das Três Conferências

Neste problema, o autor apresenta um interessante problema de teoria de conjuntos, muito útil para desenvolver o raciocínio lógico. Vejamos então o problema e sua solução.

Trezentos
[;(300);] estudantes participaram de um seminário, onde foram apresentadas [;3;] conferências em sequência. Metade [;(1/2);] dos estudantes que assistiram a primeira conferência, não assistiu nenhuma das outras duas. Um terço [;(1/3);] dos estudantes que assistiram a segunda conferência, não assistiu nenhuma das outras duas. Um quarto [;(1/4);] dos estudantes que assistiram a terceira conferência, não assistiu nenhuma das outras duas. Sabendo-se que as [;3;] conferências foram assistidas pelo mesmo número de estudantes, e que cada um dos [;300;] estudantes assistiu, pelo menos, uma conferência responda:

a) Quantos estudantes assisitiram cada conferência?


b) Quantos estudantes assistiram a somente uma conferência?


c) Quantos estudantes assistiram a somente duas conferências?


d) Quantos estudantes assistiram as
[;3;] conferências?

Resolução:

Representando cada conferência por um círculo, podemos elaborar o diagrama abaixo, conhecido como Diagrama de Venn:

Assim, a primeira conferência foi assistida por [;(A + D + E + G);] pesssoas, a segunda por [;(B + D + F + G);] pessoas e a terceira, por [;(C + E + F + G);] pessoas.

[;(A);] pessoas assistiram somente a primeira conferência;
[;(B);] pessoas assistiram somente a segunda conferência e
[;(C);] pessoas assistiram somente a terceira conferência.

Além disso,
[;(D);] pessoas assistiram a primeira e segunda conferências,
[;(E);]
pessoas assistiram a primeira e terceira conferências, e
[;(F);] pessoas assistiram a segunda e terceira conferências

Finalmente, [;(G);] pessoas assistiram as [;3;] conferências. Como foi dito que as [;3;] conferências foram assistidas pelo mesmo número de pessoas, que chamaremos de [;(N);], obtemos:

[;N = A + D + E + G = B + D + F + G = C + E + F + G \qquad (1);]

Foi dito que metade dos que assistiram a primeira conferência, se retirou após o seu término. Assim,

[;2\times A = A + D + E + G \qquad (2);]

Da mesma forma, para as outras duas conferências, temos:

[;3\times B = B + D + F + G \qquad (3);]

[;4\times C = C + E + F + G \qquad (4);]
Então:

[;N = 2\times A = 3\times B = 4\times C \qquad (5);]

De [;(2) \quad \Rightarrow \quad A = D + E + G \qquad (6);]

De [;(3) \quad \Rightarrow \quad 2\times B = D + F + G \qquad (7);]

De [;(4) \quad \Rightarrow \quad 3\times C = E + F + G \qquad (8);]

Somando [;(6);], [;(7);] e [;(8);], temos:

[;A + 2B + 3C = 2(D + E + F) + 3G \qquad (9);]

Do enunciado,

[;A + B + C + D + E + F + G = 300 \qquad (10);]

Substituindo [;(2);], [;(3);], [;(4);] em [;(9);], temos:

[;A + \frac{4A}{3} + \frac{3A}{2} = 2\times (D + E + F) + 3G \qquad (11);]

Substituindo [;(2);], [;(3);], [;(4);] em [;(10);], temos:

[;A + \frac{2A}{3} + \frac{A}{2} + (D + E + F) + G = 300 \qquad (12);]

Eliminando [;(D + E + F);] em [;(11);] e [;(12);], chegamos a:

[;A = \frac{3600 + 6G}{49} = 73 + \frac{6G + 23}{49};]

Como [;A;] é um número inteiro, [;(6G + 23);] tem que ser divisível por [;49;]. Então podemos escrever que [;6G + 23 = 49k;], onde [;k;] é um inteiro maior que zero. Assim,

[;G = \frac{49k - 23}{6} = 8k - 4 + \frac{k+1}{6};]
e
[;A = 73 + k;]

Como, por [;(6);], [;A \succ G;], pois [;A = D + E + G;], temos:

[;73 + k \succ \frac{49k - 23}{6} \quad \Rightarrow \quad k \prec 10;]

E como pelo valor de [;G;] acima, [;k + 1;] é múltiplo de [;6;], concluímos que [;k = 5;] é a única solução. Daí decorre que

[;G = (8\times 5 - 4) + \frac{5 + 1}{6} \quad \Rightarrow \quad G = 37;]

[;A = 73 + k = 73 + 5 \quad \Rightarrow \quad A = 78;]

[;B = \frac{2\times A}{3} \quad \Rightarrow \quad B = 52;]

[;C = \frac{A}{2} \quad \Rightarrow \quad C = 39;]

Com mais umas poucas operações aritméticas, obtemos [;D = 14;], [;E = 27;] e [;F = 53;]. O diagrama final fica assim:

Respondendo às questões:

1) Quantas pessoas assistiram a cada conferência?

[;N = 2A = 2\times 78 = 156;]

2) Quantas pessoas assistiram a uma só conferência?

[;A + B + C = 78 + 52 + 39 = 169;]

3) Quantas pessoas assistiram a somente duas conferências?

[;D + E + F = 14 + 27 + 53 = 94;]

4) Quantas pessoas assistiram as três conferências?

[;G = 37;]

Artigo enviado por Paulo Bouhid, engenheiro eletricista por formação, mas desenvolveu profissionalmente na área de Análise de Sistemas. Atualmente, faz cálculos trabalhistas para advogados e em suas horas vagas, dedica-se à Matemática, resolvendo e catalogando diversos problemas interessantes.

O blog Fatos Matemáticos agradece imensamente esta contribuição enviada pelo Eng. Paulo Bouhid.

Gostará de ler também os outros artigos enviados por Paulo Bouhid:
- O Desafio de Einstein Resolvido;
- A Pulga e a Tira Elástica;
- Um Problema Geométrico no Triângulo Isósceles.

4 comentários:

  1. Caro Prof., um fato que sempre me "incomodou", e que não acredito ser coincidência, é que A, B e C são múltiplos de 13 (A=78=6x13, B=52=4x13, C=39=3x13). E mais, N=156=12x13. Pela equação (5), sabemos que N é múltiplo de 12. Se conseguíssemos provar que N também é múltiplo de 13, seu valor seria rapidamente obtido, encurtando, em muito, a solução. Abs. Paulo

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  2. Caro amigo Paulo, realmente este fato encurtaria a resolução e a única forma que eu vejo de solucionar esse mistério é colocar as frações na forma 1/a, 1/b e 1/c e analisar a situação com N participantes. Colocando N = 300 pode ser que surge uma explicação que procuramos. Agradeço pelo comentário e volte sempre!

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  3. Prof., olhando mais atentamente a transcrição, foi omitida a equação (9), logo após: "Somando (6), (7) e (8)":

    A + 2 x B + 3 x C = 2 x (D + E + F) + 3 x G (9)

    E após ela, "Do enunciado:", antes da equação (10).

    Abs.

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  4. Realmente faltou esta equação. O problema já foi corrigido. Obrigado pela leitura atenta.

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