O Problema das Três Conferências

Neste problema, o autor apresenta um interessante problema de teoria de conjuntos, muito útil para desenvolver o raciocínio lógico. Vejamos então o problema e sua solução.

Trezentos estudantes participaram de um seminário, onde foram apresentadas conferências em sequência. Metade dos estudantes que assistiram a primeira conferência, não assistiu nenhuma das outras duas. Um terço dos estudantes que assistiram a segunda conferência, não assistiu nenhuma das outras duas. Um quarto dos estudantes que assistiram a terceira conferência, não assistiu nenhuma das outras duas. Sabendo-se que as conferências foram assistidas pelo mesmo número de estudantes, e que cada um dos estudantes assistiu, pelo menos, uma conferência responda:

a) Quantos estudantes assisitiram cada conferência?

b) Quantos estudantes assistiram a somente uma conferência?

c) Quantos estudantes assistiram a somente duas conferências?

d) Quantos estudantes assistiram as conferências?

Resolução:

Representando cada conferência por um círculo, podemos elaborar o diagrama abaixo, conhecido como Diagrama de Venn:

Assim, a primeira conferência foi assistida por pesssoas, a segunda por pessoas e a terceira, por pessoas.

pessoas assistiram somente a primeira conferência;
pessoas assistiram somente a segunda conferência e
pessoas assistiram somente a terceira conferência.

Além disso,
pessoas assistiram a primeira e segunda conferências,
pessoas assistiram a primeira e terceira conferências, e
pessoas assistiram a segunda e terceira conferências

Finalmente, pessoas assistiram as conferências. Como foi dito que as conferências foram assistidas pelo mesmo número de pessoas, que chamaremos de , obtemos:

Foi dito que metade dos que assistiram a primeira conferência, se retirou após o seu término. Assim,

Da mesma forma, para as outras duas conferências, temos:

Então:

De

De

De

Somando , e , temos:

Do enunciado,

Substituindo , , em , temos:

Substituindo , , em , temos:

Eliminando em e , chegamos a:

Como é um número inteiro, tem que ser divisível por . Então podemos escrever que , onde é um inteiro maior que zero. Assim,

e

Como, por , , pois , temos:

E como pelo valor de acima, é múltiplo de , concluímos que é a única solução. Daí decorre que

Com mais umas poucas operações aritméticas, obtemos , e . O diagrama final fica assim:

Respondendo às questões:

1) Quantas pessoas assistiram a cada conferência?

2) Quantas pessoas assistiram a uma só conferência?

3) Quantas pessoas assistiram a somente duas conferências?

4) Quantas pessoas assistiram as três conferências?

Artigo enviado por Paulo Bouhid, engenheiro eletricista por formação, mas desenvolveu profissionalmente na área de Análise de Sistemas. Atualmente, faz cálculos trabalhistas para advogados e em suas horas vagas, dedica-se à Matemática, resolvendo e catalogando diversos problemas interessantes.

O blog Fatos Matemáticos agradece imensamente esta contribuição enviada pelo Eng. Paulo Bouhid.

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- A Pulga e a Tira Elástica;
- Um Problema Geométrico no Triângulo Isósceles.