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O que é uma Prova?

Neste post, continuo a transcrição do famoso ensaio On the proof and Progress in Mathematics (Sobre prova e progresso em matemática) de William P. Thurston que a Revista Matemática Universitária número [;17;] de dezembro de [;1994;] traduziu e publicou e cujas ideias servem muito bem na atualidade. Vejamos então segundo o autor "O que é uma prova?".

Quando iniciei meu curso de pós-graduação em Berkeley, tive dificuldades em imaginar como poderia "provar" um teorema matemático novo e interessante. De fato, eu não compreendia o que era uma "prova".

Participando de seminários, lendo artigos, e conversando com outros alunos de pós-graduação, comecei gradualmente a dominar o assunto. Em qualquer área, existem certos teoremas e certas técnicas que são comumente conhecidas e comumente aceitas. Quando você escreve um artigo, refere-se a eles sem prova. Você lê outros artigos da área, e vê quais fatos são admitidos sem demonstração, e os que citam em suas bibliografias. Você aprende de outras pessoas algumas ideias das provas. Aí você está livre para usar os mesmos teoremas e fazer as mesmas citações. Você não tem que ler todos os artigos e livros que estão em sua bibliografia.

Muito das coisas comumente conhecidas são coisas para as quais podem não existir fontes escritas conhecidas. Enquanto os especialistas da área confiarem que a ideia funciona, não é necessário haver uma referência escrita. Inicialmente, eu estava bastante desconfiado desse processo. Tinha dúvidas sobre quando uma ideia estava realmente estabelecida. Mas descobri que poderia perguntar às pessoas, e elas poderiam fornecer-me explicações e provas, ou indicar-me outras pessoas ou fontes escritas que me dariam explicações e provas. Existiam teoremas publicados que eram reconhecidamente falsos, ou cujas provas eram reconhecidamente incompletas.

"O conhecimento e a compreensão da matemática estão mergulhados nas mentes e no tecido social daqueles que pensam sobre um tópico específico. Este conhecimento está apoiado em documentos escritos, mas estes não são realmente indispensáveis".

Penso que esse modelo varia bastante de uma área para outra. Eu estava interessado em áreas geométricas da matemática, onde é difícil aparecer um trabalho que reflita bem o modo como as pessoas pensam. Em áreas mais algébricas ou simbólicas, não é necessariamente assim, e tenho a impressão que em algumas áreas os documentos estão muito próximos de trazerem consigo a vida do assunto. Mas em qualquer área, existe um forte padrão social de validade e de verdade. A prova de Andrew Wiles para o Último Teorema de Fermat é uma boa ilustração disso, numa área que é muito algébrica.

Os especialistas começam a acreditar que a prova está basicamente com base em idéias de alto nível, muito antes dos detalhes terem sido checados. Esta demonstração passará por maior verificação e escrutínio se comparada com a maioria das provas matemáticas; mas independente de como o processo de verificação ocorra, ele ajuda a ilustrar como a matemática evolui por processos psicológicos e sociais basicamente orgânicos. Quando se faz matemática, o fluxo de ideias e o padrão social de validade são muito mais confiáveis que documentos formais.

"As pessoas não são usualmente muito boas para checar a correção formal das provas, mas o são para detectar pontos fracos e falhas potenciais em uma prova".

Para evitar más interpretações, gostaria de enfatizar duas coisas que não estou dizendo. Primeiro, não estou advogando qualquer relaxamento do modelo de provas de nossa comunidade; estou tentando descrever como o processo funciona na realidade. Demonstrações cuidadosas que sobrevivem ao escrutínio são muito importantes. Penso que o processo da prova com um todo funciona muito bem na comunidade matemática.

"A natureza da mudança que eu advogaria é que os matemáticos tenham cuidado em suas provas, tornando-se realmente tão claras e simples quanto possível, de modo que se elas tiverem alguma falha, esta seja facilmente detectada".

Em segundo lugar, não estou criticando o estudo matemático das provas formais, nem criticando os que gastam suas energias tornando argumentos matemáticos mais explícitos e formais. Ambas são atividades úteis que trazem novas descobertas para a matemática.

Tenho feito bastante esforço em parte da minha carreira explorando questões matemáticas por computador. Devido a esta experiência, fiquei espantado com a afirmação de Jaffe e Quinn de que a matemática é extremamente lenta e árdua, e que é reconhecidamente a mais disciplinada de todas as atividades humanas. O padrão de correção e completitude necessários para obter-se um programa de computador que funcione é um par de ordens de grandeza mais alto que o padrão da validade de provas da comunidade matemática. Entretanto, extensos programas de computador, mesmo quando muito cuidadosamente escritos e testados, sempre parecem ter defeitos.

"Acho que a matemática é uma das atividades humanas mais gratificantes intelectualmente. Como temos um critério elevado para o raciocínio claro e convincente e valorizamos muito ouvir e tentar entender uns aos outros, não nos envolvemos em argumentos intermináveis e num refazer sem fim de nossa matemática".

Estamos preparados para sermos convencidos pelos outros. Intectualmente, a matemática avança muito rapidamente. Contextos matemáticos inteiros mudam e mudam novamente de maneiras surpreendentes no período de uma única vida profissional.

Quando se considera a dificuldade de escrever um programa de computador que chegue pelo menos perto do alcance intelectual de um bom artigo de matemática, e quão maior é o tempo e o esforço necessário para torná-lo "quase" formalmente correto, é absurdo dizer-se que a matemática como é feita está próxima de ser formalmente correta.

A matemática como a fazemos é formalmente muito mais completa e precisa que qualquer outra ciência, mas é muito menos completa e precisa na sua essência do que programas de computador. A diferença não é apenas o volume de esforço: o tipo de esforço é qualitativamente diferente. Em programas de computador extensos, uma enorme parte do esforço deve ser dedicada a um sem número de questões de compatibilidade: assegurando que todas as definições sejam consistentes, desenvolvendo "boas" estruturas de dados que tenham generalidade útil mas não atrapalhem, decidindo a generalidade "correta" para as funções, etc. A proporção de energia dedicada à implementação de um programa extenso, diferentemente da parte de elaboração, é surpreendemente pequena. Com as definições "corretas" mudam com o aumento de generalidade e funcionalidade, os programas de computador necessitam ser reescritos frequentemente, muitas vezes a partir do nada, por causa de questões de compatibilidade que quase invevitavelmente aumentam sem limite.

Um esforço de natureza muito semelhante teria que ser implementado na matemática para torná-la formalmente correta e completa. Não que a correção formal seja proibitivamente difícil em pequena escala - é que existem muitas escolhas possíveis de formalização em pequena escala que implicam em enorme quantidade de escolhas interdependentes em grande escala... É também muito difícil realizar boas escolhas técnicas para definições formais que venham a ser válidas na variedade de situações em que os matemáticos desejam usá-las, e que venham prever futuras extensões da matemática. Se fôssemos continuar a trabalhar em conjunto, muito de nosso tempo seria dedicado a comissões internacionais de padronização para estabelecer definições uniformes e resolver controvérsias.

Quando motivados ou exigidos, os matemáticos podem completar provas, corrigir erros ou fornecer mais detalhes. Nosso sistema é muito bom na produção de teoremas confiáveis que podem ser solidamente justificados. O fato é que esta confiabilidade não provém do raciocínio cuidadoso e crítico sobre ideias matemáticas...

Especialistas em teoria dos conjuntos construíram muitos "universos matemáticos" alternativos e mutuamente contraditórios, tais que se um é consistente os outros também são. Isso deixa muito pouca certeza de que um ou outro é a escolha correta e natural. O teorema da incompletude de Göedel implica que não existe um sistema formal que seja consistente, e ao mesmo tempo abrangente o suficiente para servir de base para toda a matemática que fazemos.

Em contraste com os seres humanos, os computadores executam processos formais muito bem. Há pessoas trabalhando tenazmente no projeto de formalização efetiva de partes da matemática por computador, já com deduções formais formalmente corretas. Penso que este é um projeto muito grande mas importante, e estou confiante que aprenderemos muito com ele. O processo ajudará a simplificar e a clarificar a matemática. Daqui a pouco ano, presumo que teremos programas de computadores interativos que permitam compilar partes significativas de matemática formalmente completas e corretas (baseados em algumas hipóteses, talvez inseguras porém explícitas), e que eles virão a ser parte integrante do ambiente de trabalho usual dos matemáticos.

Entretanto, devemos reconhecer que as provas humanamente compreensíveis e verificáveis que realmente fazemos constituem o mais importante para nós, e que elas são muito diferentes das provas formais.

No presente, as provas formais estão fora de alcance e são em sua maioria irrelevantes: temos um bom processo humano para verificar a validade matemática.

No último post desta série, veremos "o que motiva as pessoas a fazerem matemática". Aguardem!

Gostará de ler também:
- O que Realizam os Matemáticos?;
- Como se Compreende a Matemática?;
- Como a Compreensão Matemática é Transmitida?;
- Como Estudar Matemática?.

14 comentários:

  1. "Primeiro, não estou advogando ... estou tentando descrever como o PROFESSOR funciona na realidade. "

    Me desculpa se estiver enganado, mas pelo contexto me parece que deveria ter sido escrito "processo" em vez de "professor".
    Outra coisa, tem como eu ter acesso à essa revista de 1994?
    Muito obrigado

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  2. Você tem razão, o correto é processo ao invés de professor. O problema já foi corrigido. Quanto ao acesso a revista, posso digitalizar somente este artigo e colocar a disposição para os leitores no último post desta série. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Olá Professor, faz um tempo já que não comento, mas sempre que posso acompanho os posts excelentes do blog, gostaria de dizer que no começo do post tem uma frase assim:
    "Quando iniciei meu curso de pós-graduação me Berkeley" , no caso seria "em Berkeley, fora isso o post está excelente como sempre, apesar de ser um físico da matéria condensada eu amo muito a matemática por si só e os seus posts são maravilhosos, parabéns professor!!!

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  4. Essa maneira de ver as provas pra mim é algo totalmente novo. Aguardo ansiosamente a continuação.

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  5. Olá! É a primeira vez que visito o seu site e deixe-me dizer que o acho muito bom. Especialmente o seu trabalho de tradução.

    Agora a nível estético acho que as coisas poderiam estar um pouco melhor. Não sei qual é o script que usa para colocar as equações no seu blog mas o aspecto final não é o melhor. Se for a esta página vai ver que consegue um script que é muito mais poderoso e tem um output muito mais próximo ao de LateX propriamente dito: http://watchmath.com/vlog/?p=438

    Desculpe por fazer um comentário tão tangencial ao conteúdo do seu post mas não deu mesmo para resistir.

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  6. Agradeço a dica, mas em todo o blog são centenas de fórmulas que terei que modificar troncando [; por [\ para este editor compilar. Vejo realmente que as expressões matemáticas entre os textos fica um pouco levantada, mas muitos leitores assim como eu, ja acostumaram com isso.

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  7. Grande Paulo!
    Quanto tempo!
    Lembra de mim, sou o Maurício, lá da UFRGS!
    Encontrei teu blog e gostei muito dele! Estás de parabéns pela criação!
    Eu o "linkei" para a minha página, inclusive para os meus alunos terem acesso!
    Um abraço e felicidades!
    ______________________

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  8. Obrigado Maurício. Claro que lembro, aliás gostei do seu artigo sobre as casas decimais da razão áurea publicado na RPM. Agradeço muito pelo link. Caso tenha interesse, eu posso publicar o seu artigo aqui no blog. Abraços!

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  9. Outra bela matéria!!! Uma outra maneira de ver a prova...Muito bom!!!

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  10. Como demonstrar a propriedade comutativa nos anéis ( a + b) = ( b + a) com a e b quaisquer números reais ou mesmo complexos!
    introduz - se um número n | a + n = b
    Então a = b - n , que substituindo a e b por suas expressões equivalente, temos: a + b = ( b-n + a + n ) pos a = b -n e b = a +n , então: b-n + a +n = b + a -n + n = b +a + 0 = b + a
    -a + a é aceito como simétricos na teoria dos grupos , então a + b = b + a ( C.Q.D)

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    1. Essa propriedade é considerada como axioma da operação soma. A "demonstração" apresentada está errada.

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  11. Prof. Paulo Sérgio!! como achar o número pi com pelo menos 12 decimais após o 3, ( eu consegui por Newton-Rhapson , com 9 decimais na segunda iteração!!

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