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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 8)

Problema [;22);] Resolva a equação [;\sqrt[3]{14 + x} + \sqrt[3]{14 - x} = 4;].

Problema [;23);] (Prob. 3 OBM [;2^{\underline{a}};] fase [;1997;]) Sejam [;ABCD;] um quadrado, [;M;] o ponto médio de [;AD;] e [;E;] um ponto sobre o lado [;AB;]. [;P;] é a interseção de [;EC;] e [;MB;]. Mostre que a reta [;DP;] divide o segmento [;EB;] em dois segmentos de mesma medida.

Problema
[;24);] (FATEC- 78) Dado o triângulo [;ABC;] na figura abaixo, determine o comprimento da poligonal [;L = BCB_1C_1B_2C_2B_3C_3\ldots;]. (Problema enviado pelo leitor Diego Souza).

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7).

Problema [;19;]: Determine o coeficiente angular [;m;] da reta [;y = mx;] de modo que a região compreendida entre a parábola [;y = 4x - x^2;] e o eixo [;x\;] fique dividida em duas partes de áreas iguais ([;S_1 = S_2;]).

Resolução: Inicialmente, determinamos o ponto de interseção entre a reta e a parábola.

[;-x^2 + 4x = mx \quad \Rightarrow \quad x^2 + (m-4)x = 0 \quad \Rightarrow;]

[;x = 0 \quad \text{e} \quad x = 4 - m;]. É fácil ver que [;S_1 + S_2 = 32/3;]. Como [;S_1 = S_2 = 16/3;], segue que

[;\int_{0}^{4 - m}mxdx + \int_{4 - m}^{4}(4x - x^2)dx = \frac{16}{3} \quad \Rightarrow;]

[;\frac{mx^2}{2}\biggr]_{0}^{4 - m} + \biggl[2x^2 - \frac{x^3}{3} \biggr]_{4-m}^{4} = \frac{16}{3} \quad \Rightarrow;]

[;(4 - m)^2(m - 4) = -32 \quad \Rightarrow \quad m = 4 - 2\sqrt[3]{4} \simeq 0,8252;]

Solução adaptada de diversos leitores.

Problema [;20;]: O ponto [;D;] está dentro do retângulo [;ABCD;] na figura abaixo. Mostre que [;a^2 + c^2 = b^2 + d^2;].

Resolução: Considere a figura obtida da figura acima projetando o ponto [;P;] sobre os lados do retângulo.

Do triângulo retângulo de lados [;o;], [;m;] e [;a;], temos:

[;a^2 = m^2 + o^2;]

Do triângulo retângulo de lados [;p;], [;n;] e [;c;], temos:

[;c^2 = p^2 + n^2;]

de modo que [;a^2 + c^2 = m^2 + o^2 + p^2 + n^2 \qquad (1);]

Do triângulo retângulo de lados [;p;], [;m;] e [;d;], temos:


[;d^2 = m^2 + p^2;]

Do triângulo retângulo de lados [;o;], [;n;] e [;b;], temos:

[;b^2 = n^2 + o^2;]

de modo que [;b^2 + d^2 = m^2 + p^2 + n^2 + o^2 \qquad (2);]

Comparando [;(1);] e [;(2);] segue o resultado.

Solução enviada pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid.

Problema [;21;]: Sejam [;0 \leq a,b,c,d \leq 1;]. Prove que pelo menos um dos produtos [;a(1 - b);], [;b(1 - c);], [;c(1 - d);] e [;d(1 - a);] é menor ou igual a [;1/4;].

Resolução: Como [;0 \leq a,b,c,d \leq 1;], então [;1 - a \geq 0;], [;1 - b \geq 0;], [;1 - c \geq 0;] e [;1 - d \geq 0;]. Suponhamos que [;a(1 - b) \succ 1/4;], [;b(1 - c) \succ 1/4;], [;c(1 - d) \succ 1/4;] e [;d(1 - a) \succ 1/4;]. Assim,

[;\frac{1}{4} = \sqrt[4]{\frac{1}{4^4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}};]

[;\prec \sqrt[4]{a(1 - b)(b)(1 - c)c(1 - d)d(1 - a)};]


[;\leq \sqrt[4]{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}} =\sqrt[4]{\frac{1}{4^4}} = \frac{1}{4};]

Absurdo! Na demonstração acima, usamos o seguinte o lema abaixo.

Lema: Se [;0 \leq x \leq 1;], então [;x(1 - x) \leq 1/4;].

Demonstração: Note que [;1 - x \geq 0;]. Assim, pela desigualdade A.G., segue que

[;1 = 2\cdot \frac{1}{2} = 2\cdot \frac{(x + 1 - x)}{2} \geq 2\sqrt{x(1 - x)} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x(1 - x)} \leq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x(1 - x) \leq \frac{1}{4};]

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Carlos Eduardo - Prob. [;19;]
- David Carvalho - Prob. [;19;]
- Diego de Souza Rodrigues - Prob. 19
- Fernando Al - Prob. [;19;]
- Guilherme José - Prob. [;20;]
- Lucas - Prob. [;16;]

- Luiz Fernando Bossa - Prob. [;20;]
- Paulo Bouhid - Todos
- Warles - Probs. [;19;] e [;20;]

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;22);], [;23);] e [;24);] encerra no dia 30/04/2011 e podem ser enviados no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5).

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