FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 8)

sábado, 2 de abril de 2011

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 8)

Problema $[;22);]$ Resolva a equação $[;\sqrt[3]{14 + x} + \sqrt[3]{14 - x} = 4;]$ .

Problema $[;23);]$ (Prob. 3 OBM $[;2^{\underline{a}};]$ fase $[;1997;]$ ) Sejam $[;ABCD;]$ um quadrado, $[;M;]$ o ponto médio de $[;AD;]$ e $[;E;]$ um ponto sobre o lado $[;AB;]$ . $[;P;]$ é a interseção de $[;EC;]$ e $[;MB;]$ . Mostre que a reta $[;DP;]$ divide o segmento $[;EB;]$ em dois segmentos de mesma medida.

Problema $[;24);]$ (FATEC- 78) Dado o triângulo $[;ABC;]$ na figura abaixo, determine o comprimento da poligonal $[;L = BCB_1C_1B_2C_2B_3C_3\ldots;]$ . (Problema enviado pelo leitor Diego Souza).

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7).

Problema $[;19;]$ : Determine o coeficiente angular $[;m;]$ da reta $[;y = mx;]$ de modo que a região compreendida entre a parábola $[;y = 4x - x^2;]$ e o eixo $[;x\;]$ fique dividida em duas partes de áreas iguais ( $[;S_1 = S_2;]$ ).

Resolução: Inicialmente, determinamos o ponto de interseção entre a reta e a parábola.

$[;-x^2 + 4x = mx \quad \Rightarrow \quad x^2 + (m-4)x = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;x = 0 \quad \text{e} \quad x = 4 - m;]$ . É fácil ver que $[;S_1 + S_2 = 32/3;]$ . Como $[;S_1 = S_2 = 16/3;]$ , segue que

$[;\int_{0}^{4 - m}mxdx + \int_{4 - m}^{4}(4x - x^2)dx = \frac{16}{3} \quad \Rightarrow;]$

$[;\frac{mx^2}{2}\biggr]_{0}^{4 - m} + \biggl[2x^2 - \frac{x^3}{3} \biggr]_{4-m}^{4} = \frac{16}{3} \quad \Rightarrow;]$

$[;(4 - m)^2(m - 4) = -32 \quad \Rightarrow \quad m = 4 - 2\sqrt[3]{4} \simeq 0,8252;]$

Solução adaptada de diversos leitores.

Problema $[;20;]$ : O ponto $[;D;]$ está dentro do retângulo $[;ABCD;]$ na figura abaixo. Mostre que $[;a^2 + c^2 = b^2 + d^2;]$ .

Resolução: Considere a figura obtida da figura acima projetando o ponto $[;P;]$ sobre os lados do retângulo.

Do triângulo retângulo de lados $[;o;]$ , $[;m;]$ e $[;a;]$ , temos:

$[;a^2 = m^2 + o^2;]$

Do triângulo retângulo de lados $[;p;]$ , $[;n;]$ e $[;c;]$ , temos:

$[;c^2 = p^2 + n^2;]$

de modo que $[;a^2 + c^2 = m^2 + o^2 + p^2 + n^2 \qquad (1);]$

Do triângulo retângulo de lados $[;p;]$ , $[;m;]$ e $[;d;]$ , temos:

$[;d^2 = m^2 + p^2;]$

Do triângulo retângulo de lados $[;o;]$ , $[;n;]$ e $[;b;]$ , temos:

$[;b^2 = n^2 + o^2;]$

de modo que $[;b^2 + d^2 = m^2 + p^2 + n^2 + o^2 \qquad (2);]$

Comparando $[;(1);]$ e $[;(2);]$ segue o resultado.

Solução enviada pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid.

Problema $[;21;]$ : Sejam $[;0 \leq a,b,c,d \leq 1;]$ . Prove que pelo menos um dos produtos $[;a(1 - b);]$ , $[;b(1 - c);]$ , $[;c(1 - d);]$ e $[;d(1 - a);]$ é menor ou igual a $[;1/4;]$ .

Resolução: Como $[;0 \leq a,b,c,d \leq 1;]$ , então $[;1 - a \geq 0;]$ , $[;1 - b \geq 0;]$ , $[;1 - c \geq 0;]$ e $[;1 - d \geq 0;]$ . Suponhamos que $[;a(1 - b) \succ 1/4;]$ , $[;b(1 - c) \succ 1/4;]$ , $[;c(1 - d) \succ 1/4;]$ e $[;d(1 - a) \succ 1/4;]$ . Assim,

$[;\frac{1}{4} = \sqrt[4]{\frac{1}{4^4}} = \sqrt[4]{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}};]$

$[;\prec \sqrt[4]{a(1 - b)(b)(1 - c)c(1 - d)d(1 - a)};]$

$[;\leq \sqrt[4]{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}} =\sqrt[4]{\frac{1}{4^4}} = \frac{1}{4};]$

Absurdo! Na demonstração acima, usamos o seguinte o lema abaixo.

Lema: Se $[;0 \leq x \leq 1;]$ , então $[;x(1 - x) \leq 1/4;]$ .

Demonstração: Note que $[;1 - x \geq 0;]$ . Assim, pela desigualdade A.G., segue que

$[;1 = 2\cdot \frac{1}{2} = 2\cdot \frac{(x + 1 - x)}{2} \geq 2\sqrt{x(1 - x)} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x(1 - x)} \leq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x(1 - x) \leq \frac{1}{4};]$

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Carlos Eduardo - Prob. $[;19;]$
- David Carvalho - Prob. $[;19;]$
- Diego de Souza Rodrigues - Prob. 19
- Fernando Al - Prob. $[;19;]$
- Guilherme José - Prob. $[;20;]$
- Lucas - Prob. $[;16;]$
- Luiz Fernando Bossa - Prob. $[;20;]$
- Paulo Bouhid - Todos
- Warles - Probs. $[;19;]$ e $[;20;]$

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas $[;22);]$ , $[;23);]$ e $[;24);]$ encerra no dia 30/04/2011 e podem ser enviados no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5).