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segunda-feira, 11 de abril de 2011

Um Problema Geométrico no Triângulo Isósceles


É dado um triângulo isósceles [;ABC;], com ângulo [;\hat{B} = 20^{\circ};]. Do vértice [;A;], traça-se a reta [;AM;], que faz [;50^{\circ};] com [;AC;], e de [;C;] traça-se a reta [;CN;] que faz [;60^{\circ};] com [;CA;]. Em seguida unem-se os pontos [;M;]e [;N;]. Determine o valor dos ângulos [;C\hat{N}M = \alpha;] e [;A\hat{M}N = \beta;].

Solução: Existem várias formas para resolver este problema. Apresentaremos uma delas.

Inicialmente, identificamos o ponto de cruzamento das duas linhas traçadas internamente ([;E;]), traçamos o segmento [;NF;] paralelo a [;AC;], e ligamos o ponto [;F;] ao ponto [;A;]. A interseção de [;FA;] com [;CN;] identificamos como [;G;], que ligamos ao ponto [;M;]. Veja a figura abaixo:

A partir desta figura determinaremos o ângulo [;C\hat{N}M = \alpha;]. O ângulo [;\beta;] é claramente igual a [;110^{\circ} - \alpha;].

No triângulo [;ACM;], e sendo o triângulo [;ABC;] isósceles, então ângulo [;M\hat{C}A = 80^{\circ};]; portanto, o ângulo [;C\hat{M}A = 50^{\circ};]. Isto nos diz que o triângulo [;AMC;] é isósceles, com [;AC = MC;].

Os triângulos [;AFC;] e [;CNA;] são congruentes (caso lado-ângulo-ângulo). Portanto, [;N\hat{C}A = C\hat{A}F;]. E também, o ângulo [;C\hat{A}F;] é igual ao ângulo [;A\hat{F}N;] porque eles são ângulos alternos internos em duas paralelas ([;NF;] e [;AC;]) cortados pela transversal [;FA;].

Agora temos que [;A\hat{F}N = C\hat{N}F = N\hat{G}F;]. Então o triângulo [;GNF;], pois [;NG = NF = FG;]. O ângulo [;A\hat{G}C = 60^{\circ};] porque ele é igual ao ângulo [;N\hat{G}F;]. Portanto, o triângulo [;AGC;] é também equilátero.

Já sabemos que e sendo [;AC = GC;], concluímos que [;GC = MC;] de modo que o triângulo [;GMC;] é isósceles, com os ângulos da base, [;C\hat{G}M;] e [;C\hat{M}G;] medindo, cada um, [;80^{\circ};].

O ângulo [;A\hat{F}C;] é o ângulo externo, no vértice [;F;], do triângulo [;AFB;], e portanto igual ao ângulo [;B\hat{A}F + 20^{\circ};]. Sendo [;B\hat{A}F = 20^{\circ} (= 80^{\circ} - 60^{\circ});], [;A\hat{F}C = 40^{\circ};]. O ângulo [;F\hat{G}M = 100^{\circ}(=180^{\circ} - 80^{\circ});], e portanto o ângulo [;F\hat{G}M = 40^{\circ};]. Logo o triângulo [;FGM;] é isósceles, com [;FM = GM;].

Como [;FM = GM;] e [;NG = NF;], a figura [;NFMG;] é um quadrilátero especial (em inglês "kite"), suas diagonais ([;NM;] e [;GF;]) são perpendiculares entre si e, além disso, cada uma delas é bissetriz dos ângulos internos.

Portanto, o ângulo [;G\hat{N}M = 30^{\circ};] (porque já vimos que o triângulo [;GNF;] é equilátero, ângulos internos iguais a [;60^{\circ};]). Assim, [;\alpha = 30^{\circ};] e, consequentemente, [;\beta = 110^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ};].

Artigo enviado por Paulo Bouhid, engenheiro eletricista por formação, mas desenvolveu profissionalmente na área de Análise de Sistemas. Atualmente, faz cálculos trabalhistas para advogados e em suas horas vagas, dedica-se à Matemática, resolvendo e catalogando diversos problemas interessantes.

O blog Fatos Matemáticos agradece imensamente esta contribuição enviada pelo Eng. Paulo Bouhid.

Gostará de ler também:
- Várias Soluções de um Problema Geométrico;
- O Teorema da Bissetriz Interna Através da Lei dos Senos;
- O Comprimento das Bissetrizes Internas de um Triângulo.

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