FATOS MATEMÁTICOS: Um Problema Geométrico no Triângulo Isósceles

segunda-feira, 11 de abril de 2011

Um Problema Geométrico no Triângulo Isósceles

É dado um triângulo isósceles $[;ABC;]$ , com ângulo $[;\hat{B} = 20^{\circ};]$ . Do vértice $[;A;]$ , traça-se a reta $[;AM;]$ , que faz $[;50^{\circ};]$ com $[;AC;]$ , e de $[;C;]$ traça-se a reta $[;CN;]$ que faz $[;60^{\circ};]$ com $[;CA;]$ . Em seguida unem-se os pontos $[;M;]$ e $[;N;]$ . Determine o valor dos ângulos $[;C\hat{N}M = \alpha;]$ e $[;A\hat{M}N = \beta;]$ .

Solução: Existem várias formas para resolver este problema. Apresentaremos uma delas.

Inicialmente, identificamos o ponto de cruzamento das duas linhas traçadas internamente ( $[;E;]$ ), traçamos o segmento $[;NF;]$ paralelo a $[;AC;]$ , e ligamos o ponto $[;F;]$ ao ponto $[;A;]$ . A interseção de $[;FA;]$ com $[;CN;]$ identificamos como $[;G;]$ , que ligamos ao ponto $[;M;]$ . Veja a figura abaixo:

A partir desta figura determinaremos o ângulo $[;C\hat{N}M = \alpha;]$ . O ângulo $[;\beta;]$ é claramente igual a $[;110^{\circ} - \alpha;]$ .

No triângulo $[;ACM;]$ , e sendo o triângulo $[;ABC;]$ isósceles, então ângulo $[;M\hat{C}A = 80^{\circ};]$ ; portanto, o ângulo $[;C\hat{M}A = 50^{\circ};]$ . Isto nos diz que o triângulo $[;AMC;]$ é isósceles, com $[;AC = MC;]$ .

Os triângulos $[;AFC;]$ e $[;CNA;]$ são congruentes (caso lado-ângulo-ângulo). Portanto, $[;N\hat{C}A = C\hat{A}F;]$ . E também, o ângulo $[;C\hat{A}F;]$ é igual ao ângulo $[;A\hat{F}N;]$ porque eles são ângulos alternos internos em duas paralelas ( $[;NF;]$ e $[;AC;]$ ) cortados pela transversal $[;FA;]$ .

Agora temos que $[;A\hat{F}N = C\hat{N}F = N\hat{G}F;]$ . Então o triângulo $[;GNF;]$ , pois $[;NG = NF = FG;]$ . O ângulo $[;A\hat{G}C = 60^{\circ};]$ porque ele é igual ao ângulo $[;N\hat{G}F;]$ . Portanto, o triângulo $[;AGC;]$ é também equilátero.

Já sabemos que

e sendo $[;AC = GC;]$ , concluímos que $[;GC = MC;]$ de modo que o triângulo $[;GMC;]$ é isósceles, com os ângulos da base, $[;C\hat{G}M;]$ e $[;C\hat{M}G;]$ medindo, cada um, $[;80^{\circ};]$ .

O ângulo $[;A\hat{F}C;]$ é o ângulo externo, no vértice $[;F;]$ , do triângulo $[;AFB;]$ , e portanto igual ao ângulo $[;B\hat{A}F + 20^{\circ};]$ . Sendo $[;B\hat{A}F = 20^{\circ} (= 80^{\circ} - 60^{\circ});]$ , $[;A\hat{F}C = 40^{\circ};]$ . O ângulo $[;F\hat{G}M = 100^{\circ}(=180^{\circ} - 80^{\circ});]$ , e portanto o ângulo $[;F\hat{G}M = 40^{\circ};]$ . Logo o triângulo $[;FGM;]$ é isósceles, com $[;FM = GM;]$ .

Como $[;FM = GM;]$ e $[;NG = NF;]$ , a figura $[;NFMG;]$ é um quadrilátero especial (em inglês "kite"), suas diagonais ( $[;NM;]$ e $[;GF;]$ ) são perpendiculares entre si e, além disso, cada uma delas é bissetriz dos ângulos internos.

Portanto, o ângulo $[;G\hat{N}M = 30^{\circ};]$ (porque já vimos que o triângulo $[;GNF;]$ é equilátero, ângulos internos iguais a $[;60^{\circ};]$ ). Assim, $[;\alpha = 30^{\circ};]$ e, consequentemente, $[;\beta = 110^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ};]$ .

Artigo enviado por Paulo Bouhid, engenheiro eletricista por formação, mas desenvolveu profissionalmente na área de Análise de Sistemas. Atualmente, faz cálculos trabalhistas para advogados e em suas horas vagas, dedica-se à Matemática, resolvendo e catalogando diversos problemas interessantes.

O blog Fatos Matemáticos agradece imensamente esta contribuição enviada pelo Eng. Paulo Bouhid.

Gostará de ler também:
- Várias Soluções de um Problema Geométrico;
- O Teorema da Bissetriz Interna Através da Lei dos Senos;
- O Comprimento das Bissetrizes Internas de um Triângulo.