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A Variação da Pressão Atmosférica com a Altitude


A relevância da pressão atmosférica foi estudada pelos cientistas do século XVII, Evangelista Torricelli, Blaise Pascal, culminando com a clássica experiência de Von Guerrick sobre os hemisférios de aço (Figura acima). Pascal verificou que uma coluna de mercúrio de [;76\ cm;], fica em equilíbrio com a pressão atmosférica ao nível do mar e que esta coluna fica menor a medida que aumentamos a altitude.

Neste post, investigaremos como ocorre a variação da pressão atmosférica com a altitude. Para isto, adotaremos as hipóteses simplificadoras dadas abaixo.

Hipótese 1: Adotaremos a aceleração da gravidade constante na pequena camada em que se encontra a atmosfera terrestre.

Na verdade, a atmosfera terrestre é uma camada composta de várias subcamadas estratificadas de modo que a taxa de variação da temperatura em relação a altitude não é constante.

Hipótese 2: Suponhamos também que o ar é um gás ideal, formado por um só componente, o mais abundante, o nitrogênio.

Dessas três hipóteses, deduziremos que a pressão atmosférica segue uma lei exponencialmente decrescente e para isto, considere um eixo vertical [;z;] apontado para cima e com origem na superfície terrestre. A seguir examinemos as forças sobre um pequeno elemento de volume de seção [;A;] e espessura [;\Delta z;] compreendido entre as alturas [;z;] e [;z + \Delta z;] conforme a figura abaixo.

A força efetiva [;F_z;] nesta pequena caixa é dada por

[;[P(z + \Delta z) - P(z)]A = -\Delta m g \quad \Rightarrow \quad [P(z + \Delta z) - P(z)]A = - A\Delta z \rho g \quad \Rightarrow;]

[;\frac{P(z + \Delta z) - P(z)}{\Delta z} = -\rho g \qquad (1);]

onde é a densidade do ar. Aplicando o limite e fazendo [;\Delta z \to 0;], na expressão [;(1);], segue que

[;\frac{dP}{dz} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{P(z + \Delta z) - P(z)}{\Delta z} = -\rho g \qquad \Rightarrow \qquad \frac{dP}{dz} = -\rho g \qquad (2);]

Em geral, a densidade do ar varia com a pressão e com a temperatura absoluta do ar, isto é, [;\rho = \rho(P,T);]. Para achar essa variação, usaremos a equação de Clapeyron que se verifica para os gases ideais,

[;PV = NkT \qquad (3);]

onde [;N;] é o número de moléculas do gás, [;k = 1,3805\times 10^{-23}\ J/K;] é a constante de Boltzmann e [;T;] é a temperatura absoluta dada em kelvin.

Observação 1: Muitas vezes é conveniente escrever a quantidade de gás em termos do número de moles que é definido por

[;n = \frac{N}{N_A} \qquad (4);]

onde [;N_A = 6,022\times 10^{23};] é o número de Avogadro. Substituindo [;(4);] em [;(3);], segue que

[;PV = nN_AkT = nRT \qquad (5);]

onde [;R = N_Ak = 8,314\ J/mol\cdot K;].

Por outro lado, a massa molar [;M;] de um gás corresponde à massa de um mol de moléculas desse gás. Assim,

[;1 \ mol \ \longrightarrow \ M;]
[;n\ moles \longrightarrow \ m;]

donde segue que [;n = m/M \qquad (6);]. Para o ar, a massa molar é [;M = 29\times 10^{-3}\ kg/mol;]. Substituindo [;(6);] em [;(5);], temos:

[;PV = \frac{m}{M}RT \quad \Rightarrow \quad \rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT} \qquad (7);]

Substituindo [;(7);] em [;(2);], obtemos a equação diferencial,

[;\frac{dP}{dz} = -\frac{PM}{RT}g \qquad (8);]

Para pequenas altitudes, podemos considerar que a temperatura [;T;] é constante. Assim, separando as variáveis em [;(8);] e integrando, temos:

[;\int_{P_0}^{P}\frac{dP}{P} = -\frac{Mg}{RT_0}\int_{0}^{z}dz \quad \Rightarrow;]

[;\ln \frac{P}{P_0} = -\frac{Mgz}{RT} \quad \Rightarrow \quad P(z) = P_0e^{-Mgz/RT} \qquad (9);]

ou seja, para pequenas altitudes, a pressão atmosférica decresce exponencialmente. A expressão [;(9);] também é conhecida por fórmula barométrica de Laplace.

Exemplo 1: Tomando o nível do mar como altitude zero, determine a que altura [;P(z) = 0,9P_0;] adotando [;T = 300^{\circ}\ K;] ([;27^{\circ}\ C;]).

Resolução: [;0,9P_0 = P_0e^{-Mgz/RT} \quad \Rightarrow \quad;]

[;\ln 0,9 = -\frac{Mgz}{RT} \quad \Rightarrow \quad z = -\frac{RT}{Mg}\ln 0,9 \quad \Rightarrow;]

[;z = -\frac{8,314\ (J/mol.K)\cdot 300\ K}{(29\times 10^{-3}\ kg/mol)(9,81\ N/Kg)}\cdot \ln 0,9 = 923,7\ m;]

Gostará de ler também:
- A Matemática dos Foguetes de um Estágio;
- A Velocidade Terminal de um Pára-Quedas;
- Uma Prova da Famosa Fórmula de Einstein;
- A Equação de Clapeyron (Blog O Baricentro da Mente);
- Lei dos Gases de Boyle (Blog O Baricentro da Mente).

10 comentários:

  1. poderia me dar algum exemplo , ao nível do mar, caso a temperatura ao invés de 27oC fosse 35 oC qual seria a pressão atmosférica no mesmo lugar?
    grato

    luiz

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    1. No lugar de 300 = 273 + 27, use 308 = 273 + 35 na expressão acima.

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  2. Professor, esse resultado pode ser encontrado em algum livro? Estou precisando citar no meu TCC em uma parte que preciso calcular a altitude em relação ao nível do mar. No datasheet do sensor de pressão (BMP085) tem uma equação que envolve apenas a medida do sensor. Mas acredito que considerando a temperatura o resultado seja melhor.

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    1. Este resultado foi eu desenvolvi. Então fique a vontade para cita o Fatos Matemáticos em seu TCC. Aliás, novos tempos com novas informações requer novas formas de citações. Ou será que existe algum preconceito velado em citar conteúdos de blogs?

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    2. De forma alguma, apenas presumi (erroneamente) que a referência usada nesse post foi omitida. Irei citá-lo em meu trabalho, obrigado pela grande contribuição!

      Abraço

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    3. Rai, o BMP085 já possui internamente um sensor de temperatura, para que a pressão informada já esteja corrigida (pela temperatura). Só é preciso verificar os calculos e a correta comunicação com o sensor de forma a obter a resposta corrigida.

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    4. Valeu mesmo pelos esclarecimentos Mario!

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  3. Parabéns pelo trabalho. Muito esclarecedor e ajudou bastante. Abraços.

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  4. Professor eu não entendi o que é P(z)=0,9 Po

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    1. Essa foi dada no problema, isto é, devemos achar z de modo que a pressão nesse ponto seja 0,9 da pressão inicial Po.

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