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Cálculo Mental das Raízes de Algumas Equações Quadráticas

Para [;a \neq 0;], considere a equação quadrática

[;ax^2 + bx + c = 0 \qquad (1);]
e sua fórmula resolvente

[;x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta = b^2 - 4ac;]

também conhecida por fórmula de Bháskara. Ela surge em diversos problemas matemáticos, desde dos mais elementares aos mais avançados, tal como a busca do soluções de uma EDO de [;2^{\underline{a}};] ordem.

Neste post, apresentaremos algumas técnicas para encontrar rapidamente as raízes de algumas equações quadráticas.

No post "Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada", vimos que a função quadrática [;f(x) = ax^2 + bx + c;], pode ser escrita na forma

[;f(x) = a\biggl[\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\biggr];]
ou

[;f(x) = a\biggl(x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\biggr)\biggl(x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\biggr) = a(x - x_1)(x - x_2) \qquad (2);]

Desta expressão, fazendo [;f(x) = 0;], temos [;(x - x_1)(x - x_2) = 0;] ou seja,

[;x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0 \qquad (3);]

Comparando a expressão [;(3);] com [;(1);], obtemos

[;\begin{cases}S = x_1 + x_2 = -b/a\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (4)\\P = x_1x_2 = c/a\\\end{cases};]

Proposição 1: As raízes da equação quadrática [;ax^2 + bx + c = 0;] são racionais se e somente se, [;a, b;] e [;c;] são inteiros e [;\Delta;] é um quadrado perfeito.

Demonstração:

[;\Rightarrow);]Se [;x_1 = m/n;] e [;x_2 = p/q;] com [;n \neq 0;] e [;q \neq 0;], então

[;x_1 + x_2 = \frac{mq + np}{nq} \qquad \text{e} \qquad x_1x_2 = \frac{mp}{nq};]

Da expressão [;(4);] segue que [;a = knq \neq 0;], [;b = -k(mq + np);] e [;c = kmp;] são inteiros, sendo [;k \in \mathbb{Z};]. Resta mostrar que [;\Delta;] é um quadrado perfeito. De fato,

[;\Delta = b^2 - 4ac = k^2(mq + np)^2 - 4k^2nq\cdot mp;]

[;=k^2(m^2q^2 + 2mnpq + n^2p^2) - 4k^2mnpq = k^2(mq - np)^2;]

[;\Leftarrow);] Segue diretamente da fórmula de Bháskara.

Assim, para facilitar o cálculo mental das raízes da equação quadrática, suponhamos que [;a;], [;b;] e [;c;] são números inteiros com [;a \neq 0;] e [;mdc(a,b)=mdc(b,c)=1;]. Além disso, iremos admitir em todos os casos que o discriminante [;\Delta;] é um quadrado perfeito.

Temos duas técnicas para achar as raízes de algumas equações quadráticas sem o uso da fórmula de Bháskara:

1) A técnica da soma e do produto das raízes:


Esta técnica divide-se em três casos:

1.1) [;a = 1;]: Neste caso as equações são do tipo [;x^2 + bx + c = 0;] e as raízes devem satisfazer as condições: [;x_1 + x_2 = - b;] e [;x_1x_2 = c;]. Para facilitar o cálculo mental, basta analisar os fatores de [;c;] cuja soma é
[;- b\ ;].

Exemplo 1: Ache as raízes das equações quadráticas abaixo:
a) [;x^2 - x - 2 = 0;];
b)
[;x^2 - 9x + 20 = 0;]

Resolução:
a) Neste caso, temos que achar dois números inteiros cuja soma é igual a [;1;] e o produto é igual a [;-2;]. Sendo [;-2 = (-2).1 = 2.(-1);], segue que a única opção é [;x_1 = -1;] e [;x_2 = 2;].

b) Sendo [;x_1 + x_2 = 9;]e [;20 = 1.20 = 2.10 = 4.5;], segue que [;x_1 = 4;] e [;x_2 = 5;].

1.2) [;c = 1;]
: Neste caso, para achar mentalmente suas raízes usamos a proposição abaixo.

Proposição 2:
As raízes da equação quadrática
[;ax^2 + bx + 1 = 0;]
são recíprocas das raízes da equação [;y^2 + by + a = 0;].

Demonstração: Fazendo [;x = 1/y;] na equação dada segue que

[;a\bigl(\frac{1}{y}\bigr)^2 + b\frac{1}{y} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 + by + a = 0;]

Assim, as raízes [;x_1 = 1/y_1;] e [;x_2 = 1/y_2;] e as raízes [;y_1;]
e [;y_2;] podem ser achadas usando a técnica anterior, isto é, [;y_1 + y_2 = -b;] e [;y_1y_2 = a;]. Na prática, para achar [;x_1;] e [;x_2;], temos que procurar dois números inteiros tais que o produto seja igual o coeficiente do termo [;x^2;] e a soma seja igual a [;b;], e finalmente, considerar o inverso desses números.

Exemplo 2: Ache as raízes das equações quadráticas abaixo.
a)
[;6x^2 - 5x + 1 = 0;];
b)
[;20x^2 + 9x + 1 = 0;]
.

Resolução:
a) Note que [;P = 6 = 6.1=3.2;]. Como [;S = 5;], segue que [;y_1 = 2;] e [;y_2 = 3;], de modo que as raízes são [;x_1 = 1/2;] e [;x_2 = 1/3;].
b) Para achar [;y_1;] e [;y_2;] analisamos o produto [;P = 20;].

[;P = 20 = 20.1 = 10.2 = 5.4 = (-20).(-1) = (-10).(-2) = (-5).(-4);]

Como [;S = -9;] , segue que [;y_1 = -4;] e [;y_2 = -5;]. Logo, [;x_1 = -1/4;] e [;x_2 = -1/5;].

1.3)
[;c = -1;]: Este caso é semelhante ao anterior, pois após a mudança de variável[;x = 1/y;], a equação [;ax^2 + bx - 1 = 0;], transforma na equação [;y^2 - by - a = 0;], de modo que [;S = b;] e [;P=-a;].

Exemplo 3: Ache as raízes da equação [;8x^2 + 2x - 1 = 0;].

Resolução: Sendo [;P = -8 = (-8).1 = (-4).2 = (-2).4 = (-1).8;] e [;S=2;], segue que [;y_1=4;] e [;y_2=-2;]. Logo, [;x_1=1/4;] e [;x_2=-1/2;].

Resumimos esta técnica no quadro acima.

2) A técnica da transformação da equação:

Outro modo de resolver mentalmente a equação quadrática [;ax^2+bx+c = 0;], cujo discriminante é um quadrado perfeito é transformá-la em uma equação semelhante onde o coeficiente do termo quadrático é igual a [;1;] e usar o primeiro item da técnica anterior.

Novamente, iremos considerar [;a;], [;b;] e [;c;] números inteiros, com [;a \neq 0;] e o discriminante [;\Delta;] da equação é um quadrado perfeito. Sendo, as raízes da equação quadrática [;(1);] dadas por

[;x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a};]
Seja [;y = 2ax;] em [;(1);]. Assim,

[;a\bigl(\frac{y}{2a}\bigr)^2 + b\cdot \frac{y}{2a} + c = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 2by + 4ac = 0 \qquad (5);]

é uma equação quadrática cujas raízes são os números inteiros [;y_1 = -b - \sqrt{\Delta};] e [;y_2 = -b + \sqrt{\Delta};]. Note também que [;y_1 + y_2 = -2b;], [;y_1y_2 = 4ac;] e que [;x_1 = y_1/2a;] e [;x_2 = y_2/2a;].

Exemplo 4:
Ache as raízes das equações quadráticas abaixo:
a)
[;3x^2 - x - 2 = 0;];
b)
[;2x^2 + x - 3 = 0;];
c)
[;4x^2 + 4x + 1 = 0;].

Resolução:
a) Neste caso, [;y^2 - 2y - 24 = 0;] de modo que [;S = 2;] e [;P = -24 = (-24).1 = (-12).1 = (-6).4 = (-3).8;]. Assim, [;y_1 = 6;] e [;y_2 = -4;], donde segue que [;x_1 = 6/2.3 = 1;] e [;x_2 = -4/2.3 = -2/3;].

b) Este caso é análogo ao anterior, sendo [;S = -2;] e [;P = 4.2.(-3) = -24;], donde segue que [;y_1 = -6;] e [;y_2 = 4;]. Logo, [;x_1 = -6/2.2 = -3/2;] e [;x_2 = 4/2.2 = 1;]. Observe que essas raízes são recíprocas das anteriores.

c) Neste caso, [;S = -8;] e [;P = 4.4.1 = 16 = (-16).(-1) = (-8).(-2) = (-4).(-4);], de modo que [;y_1 = y_2 = -4;] e [;x_1 = x_2 = -4/2.4 = -1/2;].

Gostará de ler também:
- Outro Modo de Deduzir a Fórmula de Bháskara;
- Cálculo Mental (Parte 1);
- Cálculo Mental (Parte 2);
- Cálculo Mental (Parte 3);
- Cálculo Mental (Parte 4);
- Cálculo Mental (Parte 5);

5 comentários:

  1. Olá Professor.
    Falando em resolver quadráticas de cabeça, vale lembrar que se a+b+c=0 então 1 é raiz e que se a+c=b então -1 é raiz. Este fato aliado à técnica da soma e do produto pode ser bastante útil pra equações que possuem 1 ou -1 como raíz (como nos exemplos 1a, 4a e 4b).
    abrç

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  2. Realmente é uma observação muito importante. Pois se 1 é raiz, então c/a é a outra raiz e se -1 é raiz, então -c/a é a outra raiz. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  3. Olá, professor!

    Acredito que também seja útil lembrar que se um complexo é raíz de um polinômio de coeficientes reais, então seu conjugado também o é.

    Exemplo 1: Se 1+i é raíz de P(x), então 1-i é raíz.

    Além disso, se o polinômio possuir coeficientes racionais, é válido que se a + sqrt(b) for raíz, então seu conjugado a - sqrt(b) também será.

    Exemplo 2: Se 2+sqrt(3) é raíz de P(x), então 2-sqrt(3) também é.

    Essas proposições podem ser facilmente obsevadas aplicando-se as Relações de Girard.

    Bom post, como sempre.

    Abraços!

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  4. Gostaria de Parabenizar o Blog que estar me dando uma grande força. Fiz meu ensino médio supletivo e estou fazendo matemática na UFAC em Rio Branco Acre. Mais eu estou indo muito bem graças a esse site. abraço. Estou estudando matemática básica. Função Quadrática, Gemetria plana, e Algebra linear e vamos entrar em determinantes.

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    1. Obrigado Emilson pelos elogios e sucesso em seus estudos. Buscarei publicar mais assuntos de matemática básica.

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