Cálculo Mental das Raízes de Algumas Equações Quadráticas

Para , considere a equação quadrática

e sua fórmula resolvente

também conhecida por fórmula de Bháskara. Ela surge em diversos problemas matemáticos, desde dos mais elementares aos mais avançados, tal como a busca do soluções de uma EDO de ordem.

Neste post, apresentaremos algumas técnicas para encontrar rapidamente as raízes de algumas equações quadráticas.

No post "Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada", vimos que a função quadrática , pode ser escrita na forma

ou

Desta expressão, fazendo , temos ou seja,

Comparando a expressão com , obtemos

Proposição 1: As raízes da equação quadrática são racionais se e somente se, e são inteiros e é um quadrado perfeito.

Demonstração:

Se e com e , então

Da expressão segue que , e são inteiros, sendo . Resta mostrar que é um quadrado perfeito. De fato,





Segue diretamente da fórmula de Bháskara.

Assim, para facilitar o cálculo mental das raízes da equação quadrática, suponhamos que , e são números inteiros com e . Além disso, iremos admitir em todos os casos que o discriminante é um quadrado perfeito.

Temos duas técnicas para achar as raízes de algumas equações quadráticas sem o uso da fórmula de Bháskara:

1) A técnica da soma e do produto das raízes:

Esta técnica divide-se em três casos:

1.1) : Neste caso as equações são do tipo e as raízes devem satisfazer as condições: e . Para facilitar o cálculo mental, basta analisar os fatores de cuja soma é .

Exemplo 1: Ache as raízes das equações quadráticas abaixo:
a) ;
b)

Resolução:
a) Neste caso, temos que achar dois números inteiros cuja soma é igual a e o produto é igual a . Sendo , segue que a única opção é e .

b) Sendo e , segue que e .

1.2) : Neste caso, para achar mentalmente suas raízes usamos a proposição abaixo.

Proposição 2: As raízes da equação quadrática são recíprocas das raízes da equação .

Demonstração: Fazendo na equação dada segue que

Assim, as raízes e e as raízes e podem ser achadas usando a técnica anterior, isto é, e . Na prática, para achar e , temos que procurar dois números inteiros tais que o produto seja igual o coeficiente do termo e a soma seja igual a , e finalmente, considerar o inverso desses números.

Exemplo 2: Ache as raízes das equações quadráticas abaixo.
a) ;
b) .

Resolução:
a) Note que . Como , segue que e , de modo que as raízes são e .
b) Para achar e analisamos o produto .

Como , segue que e . Logo, e .

1.3) : Este caso é semelhante ao anterior, pois após a mudança de variável, a equação , transforma na equação , de modo que e .

Exemplo 3: Ache as raízes da equação .

Resolução: Sendo e , segue que e . Logo, e .

Resumimos esta técnica no quadro acima.

2) A técnica da transformação da equação:

Outro modo de resolver mentalmente a equação quadrática , cujo discriminante é um quadrado perfeito é transformá-la em uma equação semelhante onde o coeficiente do termo quadrático é igual a e usar o primeiro item da técnica anterior.

Novamente, iremos considerar , e números inteiros, com e o discriminante da equação é um quadrado perfeito. Sendo, as raízes da equação quadrática dadas por

Seja em . Assim,

é uma equação quadrática cujas raízes são os números inteiros e . Note também que , e que e .

Exemplo 4: Ache as raízes das equações quadráticas abaixo:
a) ;
b) ;
c) .

Resolução:
a) Neste caso, de modo que e . Assim, e , donde segue que e .

b) Este caso é análogo ao anterior, sendo e , donde segue que e . Logo, e . Observe que essas raízes são recíprocas das anteriores.

c) Neste caso, e , de modo que e .

Gostará de ler também:
- Outro Modo de Deduzir a Fórmula de Bháskara;
- Cálculo Mental (Parte 1);
- Cálculo Mental (Parte 2);
- Cálculo Mental (Parte 3);
- Cálculo Mental (Parte 4);
- Cálculo Mental (Parte 5);