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Distância de um Ponto à uma Reta Através do Vetor Projeção

Vimos no post "Cálculo de Áreas Através do Vetor Projeção" a expressão [;D(\vec{u},\vec{v});] dada por

[;D(\vec{u},\vec{v}) = \mid \vec{u} \mid^2\mid \vec{v} \mid^2 - (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 = \begin{vmatrix}\vec{u}\cdot \vec{u} & \vec{u}\cdot \vec{v}\\\vec{u}\cdot \vec{v} & \vec{v}\cdot \vec{v}\\\end{vmatrix};]

que representa o quadrado da área de um paralelogramo determinado pelos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};].

Veremos neste post, uma consequência direta deste fato, que é cálculo da distância de um ponto [;P_0;] a uma reta [;r;], ambos no localizados em um espaço n-dimensional. Para isto, na figura acima temos um paralelogramo determinado pelos vetores [;\vec{v};] e [;\vec{P_1P_0};], sendo que [;P_1;] um ponto sobre a reta [;r;]. Para deduzir a fórmula da distância, observe que a área do paralelogramo definido pelo vetor diretor [;\vec{v};] da reta [;r;] e pelo vetor [;\vec{P_1P_0};] é dada por

[;S = \sqrt{D(\vec{v},\vec{P_1P_0})} \qquad (1);]
Fazendo [;\vec{w} = \vec{P_1P_0};], então

[;D(\vec{v},\vec{w}) = \begin{vmatrix}\vec{v}\cdot \vec{v} & \vec{v}\cdot \vec{w}\\ \vec{v}\cdot \vec{w} & \vec{w}\cdot \vec{w}\\\end{vmatrix};]

Por outro lado, sabemos que

[;S = \mid \vec{v} \mid \cdot h \qquad (2);]
De [;(1);] e [;(2);], segue que

[;d_{P_0,r} = h = \frac{\sqrt{D(\vec{v},\vec{P_1P_0})}}{\mid \vec{v} \mid} \qquad (2);]

No caso particular em que o ponto [;P_0;] e a reta [;r;] pertencerem ao espaço tridimensional, o radical na expressão acima, reduz a [;\mid \vec{v}\times \vec{P_1P_0}\mid;].

Além disso, para calcular a distância entre duas retas paralelas [;r;] e [;s;] (figura abaixo), basta tomar um ponto em cada uma das retas e usar a expressão [;(2);] acima.

Exemplo 1: Determine a distância entre o ponto [;P_0(-1,1,0,2);] à reta [;r;] definida pelo vetor diretor [;\vec{v} = (1,2,1,-1);] e que passa pela origem.

Resolução: Como [;r;] passa pela origem, sua equação no espaço quadridimensional é dada por [;r: \quad P(t) = (t,2t,t,-t);]. Seja [;P_1 = O(0,0,0,0);], de modo que

[;\vec{P_1P_0}=P_0 - P_1 = (-1,1,0,2);]

Assim, [;\vec{v}\cdot \vec{v} = 1 + 4 + 1 + 1 = 7;], [;\vec{P_1P_0}\cdot \vec{v} = -1 + 2 + 0 - 2 = - 1;] e [;\vec{P_1P_0}\cdot \vec{P_1P_0} = 1 + 1 + 0 + 4 = 6;], donde segue que

[;D(\vec{P_0P_1},\vec{v}) = 7.6 - (-1).(-1) = 41;]
Logo,
[;d(P_0,r) = \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{7}};]

Exemplo 2: Use a expressão [;(2);] e mostre que a distância entre o ponto [;P_0(x_0,y_0);] e a reta [;r:\ ax + by + c = 0;] é dada por

[;d_{P_0,r} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}};]

Resolução: Sendo [;m = -a/b;], então o vetor diretor de [;r;] é dado por [;\vec{v} = (1,-a/b);] ou [;\vec{v} = (b,-a);]. Um ponto [;P_1;] sobre a reta é obtido fazendo [;x = 0;], ou seja, [;P_1(0,-c/b);]. Assim, [;\vec{w} = \vec{P_1P_0} = (x_0,y_0 + c/b);], donde segue que

[;D(\vec{v},\vec{w}) = \begin{vmatrix}\vec{v}\cdot \vec{v} & \vec{v}\cdot \vec{w}\\ \vec{v}\cdot \vec{w} & \vec{w}\cdot \vec{w}\\\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}x_{0}^2 + (y_0 + c/b)^2\qquad & bx_0 - ay_0 - ac/b\\ bx_0 - ay_0 - ac/b \qquad & a^2 + b^2\end{vmatrix};]

[;D(\vec{v},\vec{w}) = \biggl[x_{0}^2 + \biggl(y_0 + \frac{c}{b}\biggr) ^2\biggr](a^2 + b^2) - \biggl(bx_0 - ay_0 - \frac{ac}{b}\biggr)^2;]

[;= (ax_0 + by_0 + c)^2;]
Logo,

[;d(P_0,r) = \frac{\sqrt{D(\vec{v},\vec{w})}}{|\vec{v}|} = \frac{\sqrt{(ax_0 + by_0 + c)^2}}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}};]


Observação 1: Esta fórmula é apresentada nos livros textos de Geometria Analítica e existem várias maneiras de deduzí-las.

Gostará de ler também:
- Sobre o Vetor Projeção;
- A Reta no Espaço Tridimensional;
- Distância Entre Dois Pontos Sobre a Superfície Terrestre;
- Provas sem Palavras (Parte 5): Distância de Ponto à Reta.

2 comentários:

  1. Parabéns , prof. !

    Mais uum belo post ! Seu blog tem contribuido muito para os meus estudos.

    Abraços

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  2. Obrigado leitor pelos elogios e volte sempre!

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