Distância de um Ponto à uma Reta Através do Vetor Projeção

Vimos no post "Cálculo de Áreas Através do Vetor Projeção" a expressão dada por

que representa o quadrado da área de um paralelogramo determinado pelos vetores e .

Veremos neste post, uma consequência direta deste fato, que é cálculo da distância de um ponto a uma reta , ambos no localizados em um espaço n-dimensional. Para isto, na figura acima temos um paralelogramo determinado pelos vetores e , sendo que um ponto sobre a reta . Para deduzir a fórmula da distância, observe que a área do paralelogramo definido pelo vetor diretor da reta e pelo vetor é dada por

Fazendo , então

Por outro lado, sabemos que

De e , segue que

No caso particular em que o ponto e a reta pertencerem ao espaço tridimensional, o radical na expressão acima, reduz a .

Além disso, para calcular a distância entre duas retas paralelas e (figura abaixo), basta tomar um ponto em cada uma das retas e usar a expressão acima.

Exemplo 1: Determine a distância entre o ponto à reta definida pelo vetor diretor e que passa pela origem.

Resolução: Como passa pela origem, sua equação no espaço quadridimensional é dada por . Seja , de modo que

Assim, , e , donde segue que

Logo,

Exemplo 2: Use a expressão e mostre que a distância entre o ponto e a reta é dada por

Resolução: Sendo , então o vetor diretor de é dado por ou . Um ponto sobre a reta é obtido fazendo , ou seja, . Assim, , donde segue que

Logo,

Observação 1: Esta fórmula é apresentada nos livros textos de Geometria Analítica e existem várias maneiras de deduzí-las.

Gostará de ler também:
- Sobre o Vetor Projeção;
- A Reta no Espaço Tridimensional;
- Distância Entre Dois Pontos Sobre a Superfície Terrestre;
- Provas sem Palavras (Parte 5): Distância de Ponto à Reta.