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domingo, 22 de maio de 2011

O Método da Chave Para Extrair Raízes Cúbicas

Extrair a raiz cúbica de um número é decompô-lo em três fatores iguais, ou achar um número que multiplicado com o seu quadrado produz o número dado.

Para compreender o processo da extração da raiz cúbica, é necessário conhecermos o seguinte fato:

"O cubo de um número composto de unidades e dezenas é igual ao cubo das dezenas, mais três vezes o quadrado das unidades, mais três vezes as dezenas multiplicadas pelo quadrado das unidades, mais o cubo das unidades".


De fato, seja [;N = 10a + b;]. Então

[;N^3 = (10a + b)^3 = (10a)^3 + 3(10a)^2b + 3(10a)b^2 + b^3;]
[;=1000a^3 + 300a^2b + 30ab^2 + b^3;]

Também é necessário conhecer de cór o cubo dos dez primeiros naturais, ou seja:

[;1^3 = 1, \quad 2^3 =8, \quad 3^3 = 27, \quad 4^3 = 64, \quad 5^3 = 125;]
[;6^3 = 216, \quad 7^3 = 343, \quad 8^3 = 512, \quad 9^3 = 729, \quad 10^3 = 1000;]

Os passos que devem ser seguidos neste algoritmo são:

1) Dividir o número dado em classes de três algarismos, e quantos classes tiver o número, tantos algarismos terá a raiz cúbica. A última classe da esquerda pode ter um, dois ou três algarismos, mas é sempre contada como uma classe.

Por exemplo, o número [;N = 2744;], fica dividido em duas classes: [;2;] e [;744;]. Portanto, a raiz cúbica deste número terá dois algarismos.

2) Achar o maior cubo perfeito contido na primeira classe da esquerda e escrever a sua raiz ao lado direito do número em forma de divisor. Subtrai-se o cubo perfeito da primeira classe, e o resto junto com a segunda classe formará o novo dividendo. Por exemplo, para [;N = 21.952;], temos:

3) Quadra-se a raiz achada e multiplica-se por [;300;]; o produto será o primeiro divisor auxiliar. Divide-se o dividendo pelo divisor auxiliar; e o quociente será o segundo algarismo auxiliar da raiz. Multiplica-se este último algarismo achado pelo primeiro e depois por [;30;]; quadra-se ainda este último algarismo da raiz, e adicionando-se estas duas quantidades com o divisor auxiliar, a soma será o divisor completo.

Observação 1: Na divisão do dividendo pelo divisor auxilar, pode ocorrer que o quociente sejá maior que [;9;]. Neste caso, adota-se o algarismo [;9;] como candidato a algarismo da raiz cúbica.

4) Neste último passo, multiplica-se o divisor completo pelo último algarismo da raiz e o produto subtrai-se do novo dividendo, e o resto, junto com a classe seguinte, formará um novo dividendo; e assim se procede até todas as classes serem divididas.

Observação 2: Se o produto do divisor completo pelo último algarismo da raiz for maior que o novo dividendo, devemos adotar como último algarismo um número uma unidade menor e assim por diante.

Exemplo 1: Use o método da chave para obter [;\sqrt[3]{2744};].

Resolução: Analise a figura abaixo e conclua que todos os passos acima foram usados.
Logo, [;\sqrt[3]{2744} = 14;].

Exemplo 2: Use o método da chave e calcule [;\sqrt[3]{2};] com duas casas decimais exatas.

Resolução: Para cada casa decimal, adicionamos uma classe. Assim, devemos extrair a [;\sqrt[3]{2.000.000};] e deslocar a vírgula duas casas para a esquerda, pois

[;\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2\times 10^6 \times 10^{-6}} = \sqrt[3]{2.000.000}\times 10^{-2};]

Todos os passos estão detalhados na figura abaixo. Caso necessário, click na imagem para ampliá-la.
Logo, com duas casas decimais exatas é [;\sqrt[3]{2} = 1,25;].

Gostará de ler também:
- O Método da Chave Para Extrair Raízes Quadradas;
- O Método da Chave Invertida Para Achar a Solução Particular de Algumas EDO´s;
- Um Método Para Extrair Raízes Quadradas.

17 comentários:

  1. Fábio Alexandre26 de maio de 2011 19:02

    Eu sei um jeito mais fácil.

    Exemplo: raiz cúbica de 912.673

    Utilizando a primeira parte, temos que o cubo mais próximo da primeira classe é 729, que é 9 ao cubo.

    Então, o primeiro algarismo é 9.

    O segundo algarismo é determinado pelo último algarismo do cubo, ou seja, o último algarismo de 912.673 é o 3.
    O único cubo (entre 1 e 10) que termina em 3 é o do 7 (343), logo, o segundo algarismo é 7.

    logo, 912.673 = 97³

    Obrigado.

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  2. Observe que o seu método aplica-se apenas aos compreendidos entre 1 e 1.000.000 ou pode ser generalizado?. Mesmo assim, ele é muito interessante e veio com certeza enriquecer o post. Seria interessante ver uma explicação algébrica. Obrigado e volte sempre!

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  3. Fábio Alexandre28 de maio de 2011 14:25

    KKKKKK
    Obrigado Paulo Sérgio.
    Eu acho que funciona com todos, mas não podemos trabalhar com "achismos".
    Vou trabalhar nessa pesquisa.
    Eu tenho 15 anos e vou prestar vestibular esse ano para Bacharelado em Matemática.
    Por favor, vamos manter contato por e-mail. Gosto de conversar sobre matemáticas.
    fabioalexandre75@hotmail.com
    Obrigado.

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  4. se no lugar de raiz cúbica fosse raiz sétima de um numero alto como esse: 1172544, como calcular?

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    1. Acima de raízes cúbicas, métodos semelhantes ao exposto acima ficam inviáveis e é preferível usar métodos aproximativos tais como o método de Newton, bisseção, etc. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  5. se fosse supondo , raiz cubica de 5 elevado ao quadrado ?

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    1. Você iria extrair a raiz cúbica de 25. Se quiser duas casas decimais exatas, coloque 6 zeros na frente do 25. Veja os exemplos acima.

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  6. qual o valor de x, sabendo que a raiz cubica de x+2=2

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    1. Se rc(x + 2) = 2, elevando ao cubo ambos os lados, então x + 2 = 2^3 => x + 2 = 8 => x = 6.

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  7. Bom dia.
    Como extrair a raíz cúbica de 1,9420?Qual é o resultado e como calcular?
    Obrigado

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    1. Para extrair a raiz cúbica através do procedimento acima com duas casas decimais exatas, multiplicamos 1,9420 por 1.000.000 = 10^6 e dividimos por 10^(-6). Veja o exemplo 2 acima, onde extraiu a raiz cúbica de 2. Assim, aplica-se o método para 1.942.000 e depois desloca-se a vírgula duas casas para a esquerda.

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  8. Como calcular a raiz cúbica de 54?

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    1. Primeiro você tem que estabelecer o número de casas decimais que deseja. Se for com uma calculamos a raiz cúbica de 54000 pelo método exposto acima e depois dividimos o resultado por 10.

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  9. Implementei esse algoritmo para quaisquer raízes no Excel.

    Quem quiser testar deixo o código abaixo:

    Public Function Radiciacao(ByVal Radicando As Double, Indice As Double, Optional ByRef resto As Double = 0) As Double
    Dim radicandoAux As String, tamanho As Double, aux As Double, aux1 As Double, aux2 As Double, digito As Double, radicandoParcial As Double
    radicandoAux = CStr(Radicando)
    tamanho = Len(radicandoAux) Mod Indice
    If tamanho = 0 Then
    tamanho = Indice
    End If
    resto = 0
    Radiciacao = 0
    Do While radicandoAux <> ""
    radicandoParcial = Left(radicandoAux, tamanho)
    radicandoAux = Mid(radicandoAux, tamanho + 1)
    tamanho = Indice
    aux = (Radiciacao & "0") ^ Indice
    aux2 = (resto & String(Indice, "0")) + radicandoParcial
    For digito = 9 To 0 Step -1
    aux1 = (Radiciacao & digito) ^ Indice - aux
    If aux1 <= aux2 Then
    Exit For
    End If
    Next
    Radiciacao = Radiciacao & digito
    resto = aux2 - aux1
    Loop
    End Function

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    1. Olá Lebregue. Sou péssimo em programação, mas ficou muito feliz que você deu um passo a diante neste assunto. Parabéns!

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    2. Caro professor:

      Na verdade, esse método que codifiquei em forma de função em VBA no EXCEL é simples.

      Dada uma raiz qualquer de um número qualquer, por exemplo, raiz quinta de 1234567, procedemos da seguinte forma:

      1) Separamos o radicando em grupos de 5 algarismos da direita para a esquerda (se fosse raiz sexta seria de 6 algarismos, se fosse raiz sétima seria de 7 algarismos e assim por diante).
      Exemplo: 12.34567

      2) Determinamos a raiz quinta do primeiro grupo da esquerda para a direita.
      Exemplo: raiz quinta de 12 = 1.

      3) Em seguida, concatenamos o próximo grupo com este primeiro grupo já calculado e procuramos concatenar um algarismo à raiz 1 já encontrada, de tal forma que elevando à quinta potência a raiz assim formada, resulte no radicando formado pelos grupos concatenados.
      Exemplo: 12.34567 => 16 ^ 5 = 1.048.576

      Se quisermos continuar a operação basta adicionarmos grupos de 5 zeros ao radicando e calcular o próximo algarismo que concatenado à raiz já calculada e elevado á quinta potência resulte menor ou igual ao radicando 12.34567.00000.

      Como vê é um método simples e funciona para quaisquer raízes: quinta, sexta, décima, centésima, milésima, etc...

      Esse método eu deduzi à partir de alguns exemplos resolvidos do Método Geral da Radiciação que um blogueiro disponibilizou na Internet há alguns anos atrás. No momento não me lembro o nome dele.

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  10. Bom dia professor Paulo... retomei alguns exercicios e estou muito confusa em relaçao a raiz cubica. Por exemplo o valor da rc de 1milhao dividida por raiz sexta de 1 milhao?

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