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terça-feira, 3 de maio de 2011

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 9)

Problema [;25);] Tenho bois, vacas e cavalos, números primos diferentes de cada. Se eu multiplicar o números de bois pelo total de bois e vacas, o produto será [;120;] unidades a mais que o número de cavalos. Quantos animais de cada eu tenho? (Problema enviado pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid).

Problema [;26);] Se [;a + b + c = 0;], calcule o valor da expressão

[;P = \biggl(\frac{b - c}{a} + \frac{c - a}{b} + \frac{a - b}{c}\biggr)\cdot \biggl(\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c -a} + \frac{c}{a - b}\biggr);]

(Problema enviado pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid).

Problema [;27);] Use o teorema de Rolle e mostre que a equação [;4x^3 + 6x - 1 = 0;] não tem zeros no intervalo [;(-1,0);].

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 8).

Problema [;22);] Resolva a equação [;\sqrt[3]{14 + x} + \sqrt[3]{14 - x} = 4;].

Resolução: Elevando ao cubo ambos os lados da equação dada, temos:

[;(\sqrt[3]{14 + x} + \sqrt[3]{14 - x})^3 = 4^3 \quad \Rightarrow;]

[;14 + x + 3\sqrt[3]{(14 + x)^2(14 - x)} + 3\sqrt[3]{(14 + x)(14 - x)^2} + 14 - x = 64 \quad \Rightarrow;]

[;28 + 3\sqrt[3]{(14 + x)(14 - x)}(\sqrt[3]{14 + x} + \sqrt[3]{14 - x}) = 64 \quad \Rightarrow;]

[;12\sqrt[3]{196 - x^2} = 36 \quad \Rightarrow \quad \sqrt[3]{196 - x^2} = 3 \quad \Rightarrow;]

[;196 - x^2 = 27 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 169 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 13;]

Solução enviada pelo leitor Alexandre que generalizou o problema deduzindo que as raízes da equação

[;\sqrt[2n+1]{r + x} + \sqrt[2n + 1]{r - x} = y;]

são dadas por [;x = \pm \sqrt{r^2 + p^{2n + 1}};], onde [;p;] é raiz da equação

[;\sum_{k=0}^{n}[\lambda_ky^{2n+1-2k}p^k] - 2r = 0;]

Problema [;23);] (Prob. 3 OBM [;2^{\underline{a}};] fase [;1997;]) Sejam [;ABCD;] um quadrado, [;M;] o ponto médio de [;AD;] e [;E;] um ponto sobre o lado [;AB;]. [;P;] é a interseção de [;EC;] e [;MB;]. Mostre que a reta [;DP;] divide o segmento [;EB;] em dois segmentos de mesma medida.

Resolução: Prolongue [;BM;]até encontrar prolongamento do lado [;CD;] no ponto [;N;], conforme a figura abaixo.

Claramente, [;\triangle AMB \equiv \triangle DMN;], donde segue que [;AB = DN;]. Portanto, [;D;] é o ponto médio de [;CN;]. O resultado segue observando que os triângulos [;CPN;] e [;EPB;] são semelhantes, e como [;PD;] é a mediana do triângulo [;CPN;]conclui-se que o prolongamento de [;DP;] encontra [;EB;] em seu ponto médio.

Solução enviada pelo leitor Warles Ribeiro Neto.

Problema [;24);] (FATEC- 78) Dado o triângulo [;ABC;] na figura abaixo, determine o comprimento da poligonal [;L = BCB_1C_1B_2C_2B_3C_3\ldots;]. (Problema enviado pelo leitor Diego Souza).

Resolução: Sendo [;a_1;], [;a_2;], [;a_3, \ldots;] os lados dos triângulos equiláteros e projetandos os dois lados de cada triângulo sobre [;c;], temos:



Sendo [;\cos 60^{\circ} = 1/2;], segue que

[;L = 2a + 2a_1 + 2a_2 + 2a_3 + \ldots = 2c;]

Solução enviada pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid.

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Alexandre - Prob. [;22;]
- Hélio - Prob. [;22;]
- Paolo - Prob. [;22;]
- Paulo Bouhid - Probs. [;22;] e [;24;]
- Vinícius - Prob. [;22;]
- Warles - Todos

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;25);], [;26);] e [;27);] encerra no dia 31/05/2011 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 5).
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 3.5.11
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4 comentários:

  1. Prof, na solução do problema 23, quando se diz triângulo AMD, quis-se dizer triângulo AMB, certo?

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  2. Tem razão Prof. Rodrigo, houve um erro de digitação. Obrigado pela leitura atenta e volte sempre!

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  3. Quanto ao problema 22, acho que existe uma solução mais rápida. Veja que sqr(14+x) + sqr(14-x)- 4 =0 , temos uma fatoração conhecida que nos dá que:
    a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc), Logo se a+b+c=0 ->a³+b³+c³ = 3abc. Com isso,
    [sqr(14+x)]³ + [sqr(14-x)]³- [4]³ = 3[sqr(14+x)]*[sqr(14-x)]*[-4] -->
    28-64 = -12(sqr(14²-x²). Aí é só elevar ao quadrado e resolver uma eq. do segundo grau =D

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  4. Ops, me desculpem que eu cometi um pequeno erro de digitação, mas enfim... Denote sqr por raíz cúbica que tá tudo certo =D. Aí você vai ter que
    27 = 196 - x² --> x = +ou-13.

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