FATOS MATEMÁTICOS: Sobre os Espaços Vetoriais

terça-feira, 17 de maio de 2011

Sobre os Espaços Vetoriais

Um modelo bastante simples de espaço vetorial é o $[;\mathbb{R}^2;]$ , o conjunto de todos os pares ordenados $[;(x, y);]$ , equipado com uma operação de adição de dois elementos e uma operação de multiplicação de um elemento por um número real $[;\alpha;]$ , isto é, se $[;\vec{u} = (x_1,y_1);]$ e $[;\vec{v} = (x_2,y_2);]$ são dois vetores do $[;\mathbb{R}^2;]$ , temos

$[;\begin{cases}\vec{u} + \vec{v} = (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\\ \alpha \vec{u} = \alpha (x_1,y_1) = (\alpha x_1,\alpha y_1)\end{cases};]$

De modo geral, temos

Definição 1: Um espaço vetorial $[;V;]$ consiste de

i) Um conjunto $[;V;]$ cujos elementos são chamados de vetores;

ii) Um corpo $[;K;]$ , onde os elementos são chamados de escalares. Adotaremos $[;K = \mathbb{R};]$ ;

iii) Uma operação chamada de adicão de vetores em que cada par de vetores $[;\vec{u};]$ , $[;\vec{v} \in V;]$ é associado ao vetor $[;\vec{u} + \vec{v} \in V;]$ , chamado de soma de $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v};]$ , satisfazendo os seguintes axiomas:

$[;S1:;]$ $[;\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}, \qquad \forall \ \vec{u}, \vec{v} \in V;]$ ;

$[;S2:;]$ $[;(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}), \qquad\forall \ \vec{u}, \vec{v} \ \text{e} \ \vec{w} \in V;]$ ;

$[;S_3:;]$ Existe um elemento $[;\vec{0} \in V;]$ tal que $[;\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}, \qquad \forall \ \vec{u} \in V;]$ ;

$[;S4:;]$ Para cada $[;\vec{u} \in V;]$ , existe um elemento $[;-\vec{u} \in V;]$ tal que $[;\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0};]$ ;

$[;P1:;]$ $[;\alpha (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \vec{u} + \alpha \vec{v}; \qquad \forall \ \alpha, \beta \in \mathbb{R};]$ e $[;\forall \ \vec{u}, \vec{v} \in V;]$ ;

$[;P2:;]$ $[;(\alpha + \beta)\vec{v} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{u},\qquad \forall \ \vec{u} \in V;]$ ;

$[;P3:;]$ $[;(\alpha \beta)\vec{u} = \alpha(\beta \vec{u}), \qquad \forall \ \alpha,\beta \in \mathbb{R};]$ e $[;\forall \vec{u} \in V;]$ ;

$[;P4:;]$ $[;1 \vec{u} = \vec{u}, \qquad \forall \ \vec{u} \in V;]$ .

Exemplo 1: Seja $[;V;]$ o conjunto dos pares ordenados de números reais com as seguintes operações:

$[;(x_1,y_1)\oplus(x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2) \quad \text{e} \quad \alpha(x_1,y_1)=(\alpha x_1,0);]$

Determine se $[;V;]$ é um espaço vetorial.

Resolução: Sejam $[;\vec{u} = (x_1,y_1);]$ e $[;\vec{v} = (x_2,y_2);]$ . Assim,

$[;S_1:;]$

$[;\vec{u} \oplus \vec{v} = (x_1,y_1)\oplus (x_2,y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2);]$

$[; = (x_2 + x_1, y_2 + y_1) = \vec{v} \oplus \vec{u};]$

$[;S_2:;]$ Essa propriedade é análoga a anterior e deixada para o leitor.

É fácil ver que o elemento neutro deste espaço vetorial é $[;\vec{0} = (0,0);]$ e o elemento oposto de $[;\vec{u} = (x_1,y_1);]$ é $[;-\vec{u} = (-x_1,-y_1);]$ . Assim, as propriedades $[;S_3;]$ e $[;S_4;]$ estão satisfeitas.

$[;P_1:;]$ Sejam $[;\alpha \in \mathbb{R};]$ . Note que

$[;\alpha (\vec{u}\oplus \vec{v}) = \alpha [(x_1,y_1)\oplus (x_2,y_2)] = \alpha (x_1 + x_2,y_1 + y_2);]$

$[;= (\alpha (x_1 + x_2),0) = (\alpha x_1 + \alpha x_2, 0) \qquad (1);]$

$[;\alpha \vec{u} \oplus \alpha \vec{v} = \alpha (x_1,y_1) \oplus \alpha (x_2,y_2);]$

$[;= (\alpha x_1, 0) \oplus (\alpha x_2,0) = (\alpha x_1 + \alpha x_2, 0) \qquad (2);]$

De $[;(1);]$ e $[;(2);]$ , segue $[;P_1;]$ .

$[;P_2:;]$ Sejam $[;\alpha;]$ e $[;\beta;]$ reais. Note que

$[;(\alpha + \beta)\vec{u} = (\alpha + \beta)(x_1,y_1) = ((\alpha + \beta)x_1,0) = (\alpha x_1 + \beta x_1, 0) \qquad (3);]$

$[;\alpha \vec{u} + \beta \vec{u} = \alpha (x_1,y_1) \oplus \beta (x_2,y_2) = (\alpha x_1,0)\oplus (\beta x_2, 0) = (\alpha x_1 + \beta x_2, 0) \qquad (4);]$

De $[;(3);]$ e $[;(4);]$ , segue a propriedade $[;P_2;]$ .

$[;P_3:;]$ $[;(\alpha \beta )\vec{u} = \alpha \beta (x_1,y_1) = (\alpha \beta x_1, 0);]$ e

$[;\alpha (\beta \vec{u}) = \alpha (\beta (x_1,y_1)) = \alpha (\beta x_1,0) = (\alpha \beta x_1,0);]$

de modo que a propriedade $[;P_3;]$ é válida. Como

$[;1\cdot \vec{u} = 1\cdot (x_1,y_1) = (1x_1,0) = (x_1,0) \neq (x_1,y_1) = \vec{u};]$

a propriedade $[;P_4;]$ não é satisfeita. Portanto, esse conjunto com a soma e produto definidos acima, não é um espaço vetorial.

Exemplo 2: Seja $[;\mathcal{F}(\mathbb{R});]$ o conjunto formado pelas funções $[;f:\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};]$ . Definimos:

A soma de duas funções $[;f;]$ e $[;g;]$ de $[;\mathcal{F}(\mathbb{R});]$ como sendo a função $[;f + g \in \mathcal{F}(\mathbb{R});]$ , dada por

$[;(f + g)(x) = f(x) + g(x);]$

e o produto de $[;f;]$ pelo escalar $[;\alpha;]$ como sendo a função $[;\alpha f \in \mathcal{F(\mathbb{R})};]$ dada por

$[;(\alpha f)(x) = \alpha f(x);]$

é fácil ver que $[;\mathcal{F}(\mathbb{R});]$ é um espaço vetorial.

Exemplo 3: O conjunto das matrizes quadradas de ordem $[;n;]$ com entradas reais, denotado por $[;M_n(\mathbb{R});]$ , e soma e produto por escalar definidos de forma usual, também é um espaço vetorial.

Um outro exemplo de espaço vetorial, além dos dois apresentados acima, é conjunto dos vetores como apresentados em Geometria Analítica munido com a adição e multiplicação por escalar usual. Dessa forma, o adjetivo vetorial usado na definição acima deve ser entendida de uma forma bem mais ampla, sendo uma referência aos elementos de $[;V;]$ independentemente de serem vetores ou não.

Talvez o exemplo mais simples de espaço vetorial seja o conjunto dos números reais com a adição e multiplicação usuais. A prova deste fato, segue direto das propriedades destas operações. Em geral, para cada $[;n \in \mathbb{N};]$ , podemos transformar o conjunto das $[;n;]$ -uplas ordenadas de números reais, $[;\mathbb{R}^n;]$ em um espaço vetorial definindo a adição de duas $[;n;]$ -uplas ordenadas $[;x = (x_1,\ldots, x_n);]$ e $[;y=(y_1,\ldots,y_n);]$ , adicionando-se coordenada a coordenada, isto é,

$[;x + y = (x_1 + y_1,\ldots, x_n + y_n);]$

e o produto de uma $[;n;]$ -upla $[;x = (x_1,\ldots, x_n);]$ por um escalar $[;\alpha \in \mathbb{R};]$ por

$[;\alpha x = (\alpha x_1, \ldots, \alpha x_n);]$

É fácil verificar que desse modo, o espaço $[;\mathbb{R}^n;]$ é um espaço vetorial.

5 comentários:

Quantum 5217 de maio de 2011 22:49
Outro exemplo (talvez um dos mais utéis) seja definir um Espaço Vectorial V_R[x]_{<= n} ou seja, um espaço vectorial constitutido pelo conjunto de todos os polinómios com coeficientes reais com grau não superior a n.
Desta observação nascem muitos dos processos de resolução de Equações Diferenciais.
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Rafael Santos17 de maio de 2011 22:51
Professor os esclarecimentos das propriedades básicas e das as operações e consequentemente para a definição de espaço vetorial que o senhor trouxe será de ajuda para muitos estudantes. Não sei se as outras pessoas pensam igual a mim, mas ter uma formação consistente das principais ideias envolvidas na geometria analítica pode ajudar muito no aprendizado de álgebra linear.
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Prof. Paulo Sérgio18 de maio de 2011 09:33
É verdade Quantum, temos também este importante exemplo de espaço vetorial muito útil em equações diferenciais.

Rafael, este assunto é o pontapé inicial para o estudo de Álgebra Linear e também permite ver a Geometria Analítica com um enfoque geral.
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Quantum 5219 de maio de 2011 19:46
Eu deveria dizer (não sei se se vê no perfil) mas eu sou o David Carvalho professor :)

E álgebra linear só é o interessante que é porque lança as bases para Álgebra Abstracta que por conseguinte trata de Teoria de Grupos!
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Prof. Paulo Sérgio20 de maio de 2011 00:12
Pelo seu perfil, não foi possível, mas seja bem-vindo ao blog professor. Caso tenha interesse, pode me enviar pequenos artigos, principalmente de Álgebra Linear, não precisa ser inédito, mas tem que ser bem escrito para ser publicado no blog. O e-mail de contato é
linnux2001@gmail.com

Obrigado pelo comentário e volte sempre!
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