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Três Fórmulas no Sistema de Amortização Constante (SAC) que não Existem em Nenhum Livro de Matemática Financeira

1. Introdução

Quando uma proposta de investimento é financiada em parte ou totalmente por capital de terceiros, é importante estudarmos as maneiras mais comuns de quitação da dívida, ou seja, calcular o serviço da dívida que é composto de amortização do principal e dos juros sobre o saldo devedor.

Como existem inúmeros livros de Matemática Financeira que ensinam como amortizar uma dívida pelo SAC, iremos apresentar no presente trabalho apenas a planilha de amortização pelo SAC, com o objetivo de deduzir, por meio dela, três fórmulas, as quais não se encontram em nenhum livro de Matemática Financeira, para calcular o valor atual, a taxa de juros e o número de prestações por meio de uma calculadora de "feirante" (maquinazinha que efetua apenas as quatro operações elementares da aritmética).

2. Sistema de Amortização Constante

Esse sistema é amplamente utilizado no setor de imóveis e no Sistema Financeiro de Habitação (SFH), nas operações de financiamento para aquisição da casa própria.

O SAC consiste num plano de amortização de um empréstimo em prestações periódicas e decrescentes em progressão aritmética (PA), dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada prestação é composto por uma parcela de juros e outra de amortização.

A parcela de amortização é obtida, dividindo-se o valor do empréstimo pelo número de prestações; enquanto o valor da parcela de juros é determinado, multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior. Por exemplo, se uma empresa contrai um empréstimo de [;R\$\ 10.000,00;] para ser resgatado por meio de [;5;] prestações mensais, com juros de [;10;]% a.m. (por hipótese), a planilha, de pagamento de empréstimo pelo SAC, é a seguinte:

Nota-se, na planilha de amortização, que no plano de pagamento do empréstimo pelo SAC, as prestações estão em progressão aritmética decrescente, com razão [;(-200);], ou em série gradiente, cujo gradiente é [;(-200);].

Exemplo 1: Um empresa contraiu um empréstimo pelo SAC para ser resgatado por meio de [;5;] prestações mensais de [;R\$ \ 3.000,00;], [;R\$ \ 2800,00;], [;R\$ \ 2600,00;], [;R\$ \ 2400,00;] e [;R\$ \ 2200,00;] com juros de [;10;]% a.m. (por hipótese). Pergunta-se: qual foi o valor do empréstimo:

Resolução:
a) Usando uma calculadora científica (sem usar as fórmulas genéricas)


Determinando o valor atual (P) de cada prestação e em seguida somando, obtém-se o valor atual de todas as prestações, ou seja, o valor do empréstimo.

[;P_1 = 3000(1+0,10)^{-1} = R\$\ 2727,27;]
[;P_2 = 2800(1 + 0,10)^{-2} = R\$ \ 2.314,05;]
[;P_3 = 2600(1 + 0,10)^{-3} = R\$ \ 1.953,42;]
[;P_4 = 2400(1 + 0,10)^{-4} = R\$ \ 1.639,23;]
[;P_5 = 2200(1 + 0,10)^{-5} = R\$ \ 1.366,03;]

[;P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 = R\$\ 10.000,00;]

Resposta: O valor do empréstimo foi de [;R\$\ 10.000,00;]

b) Usando uma calculadora científica (Usando as fórmulas genéricas)

[;P = \frac{G}{i}\biggl[n - \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}\biggr;]

(Fórmula para calcular a série em gradiente)

[;R_1 = R + nG;]

(Fórmula para calcular a série uniforme)

Nas quais:
[;R_1 =;] Valor da [;1^{\underline{a}};] prestação
[;n = 5;] Número de prestações
[;G=;] Valor do gradiente
[;R =;] Valor de cada prestação da série uniforme

Cálculo do valor da prestação da série uniforme:

DADOS:
[;R_1=R\$\ 3.000,00;] (Valor da primeira prestação)
[;n = 5;] (Número de prestações)
[;G = 200;] (Gradiente)
[;R = ?;] ? (Valor da prestação da série uniforme)

SOLUÇÃO:

[;R_1 = R + nG \quad \Rightarrow \quad 3000 = R + 5\times 200 \quad \Rightarrow \quad R = R\$ \ 2.000,00;]

Cálculo do valor atual da série uniforme:

DADOS:
[;R = R\$ \ 2.000,00;]
[;i = 10;]% a.m. [;= 0.10;]
[;n = 5;]
[;P =;]?

[;P = 2000\biggl[\frac{1- (1 + 0,10)^{-5}}{0,10}\biggr] = R\$ 7.582,00;]

Cálculo do valor atual da série em gradiente:

DADOS:
[;G = 200;]
[;i = 10;]% a.m. = 0,10
[;n = 5;]
[;P=;]?

SOLUÇÃO:

[;P = \frac{200}{0,10}\biggl[5 - \frac{1 - (1 + 0,10)^{-5}}{0,10} \biggr] = R\$ 2.418,00;]

Somando o valor da série uniforme com o valor atual da série em gradiente, obtém-se:

[;P = R\$ \ 7582,00 + R\$ \ 2418,00 = R\$ \ 10.000,00;]

c) Usando a calculadora financeira [;HP-12C;]

fREG
[;0 \ g \ CF_0;]
[;3000 \ g \ CF_j \ 1 \ g \ N;]
[;2800\ g \ CF_j \ 1 \ g \ N_j;][; 2600\ g \ CF_j \ 1 \ g \ N_j;]
[; 2400\ g \ CF_j \ 1 \ g \ N_j;]
[; 2200\ g \ CF_j \ 1 \ g \ N_j;] (Aparecerá no visor: 10000)

d) Usando a calculadora de "feirante".


Seja [;R_1;] a primeira prestação; como em qualquer sistema de amortização a prestação é igual a amortização [;(A);] mais o juro [;(J);], logo:

[;R_1 = A + J \qquad (1);]

Como no SAC a amortização [;(A);] é igual ao valor do empréstimo [;(P);] dividido pelo número de prestação [;(n);], e o juro [;(J);] da primeira prestação é igual ao produto do valor do empréstimo [;(P);] pela taxa [;(i);]. Logo:

[;A = \frac{P}{n} \quad \text{e} \quad J = Pi;]

Substuindo os valores de [;A;] e [;J;] na expressão [;(1);], obtém-se:

[;R_1 = \frac{P}{n} + Pi \quad \Rightarrow \quad Pi = R_1 - \frac{P}{n};]

Tirando o valor de [;P;], obtém-se: [;P = \frac{nR_1}{1 + in};]

Verificação: [;P = \frac{nR_1}{1 + in} = \frac{5\times 3000}{1 + 0,10\times 5} = \frac{15000}{1,5} = 10.000;]

Resultado que bate com os encontrados por meio das calculadoras científicas e [;HP-12C;].

Exemplo 2: Uma empresa contraiu um empréstimo de [;R\$ 10.000,00;] para ser pago pelo SAC por meio de [;5;] prestações mensais de [;R\$ 3.000,00;], [;R\$\ 2.800,00;], [;R\$ 2.600,00;], [;R\$ 2.400,00;] e [;R\$ 2.200,00;], pergunta-se: qual foi a taxa mensal de juros cobrado no empréstimo?

Resolução:
1. Usando a calculadora científica (Por tentativas e erros)

[;300(1 + i)^{-1} + 2800(1 + i)^{-2} + 2600(1 + i)^{-3} +;]

[;2400(1 + i)^{-4} + 2200(1 + i)^{-5} = 10000;]

2. Usando a calculadora científica programável [;HP 33s;]

Designando [;(1 + i)^{-1} = x;], obtém-se

[;300x + 2800x^2 + 2600x^3 + 2400x^2 + 2200x^5 - 10000 = 0;]

Encontrando a raiz do polinômio, que é única e positiva, basta substituir na expressão [;(1);] para encontrar o valor de [;i;].

3. Usando a calculadora financeira [;HP-12C;]

[;f \ REG;]
[;10000\ CHS \ g \ CF_0;]
[;3000 \ g \ CF_j \ 1 \ gN_j;]
[;2800 \ g \ CF_j \ 1 \ gN_j;]
[;2600 \ g \ CF_j \ 1 \ gN_j;]
[;2400 \ g \ CF_j \ 1 \ gN_j;]
[;2200 \ g \ CF_j \ 1 \ gN_j;]
[;f \ IRR;] (Aparecerá no visor: 10,000).

Resposta: A taxa cobrada foi de 10% a.m.

4. Usando a calculadora de "feirante"

Como

[;P = \frac{nR_1}{1 + in};]
Isolando [;i;] desta expressão, temos:


[;i = \frac{nR_1 - P}{Pn} = \frac{5\times 3000 - 10000}{10000\times 5} = 0,1;]

Multiplicando [;0,1;] por [;100;], obtém-se 10% a.m.


Exemplo 3: Uma empresa contraiu um empréstimo de [;R\$\ 10.000,00;] para ser pago pelo SAC por meio de [;n;] prestações mensais; sabendo-se que a taxa cobrada no empréstimo é de 10% a.m. e a primeira prestação é de [;R\$\ 3.000,00;], pergunta-se: qual o número de prestações?

Resolução:


[;3000(1 + 0,10)^{-1} + R_2(1 + 0,10)^{-2}+\ldots + R_n(1 + 0,10)^{-n} = 10000;]

Como é dado somente o valor da primeira prestação, logo, usando qualquer tipo de calculadora não é possível encontrar o valor de [;n;].

Usando a calculadora de "feirante". Como


[;P = \frac{nR_1}{1 + in};]

Logo, tirando o valor de [;n;], obtém-se:


[;n = \frac{P}{R_1 - Pi} \quad \Rightarrow \quad n = \frac{10000}{3000 - 10000\times 0,10} = 5;]

Conclusão

Já que no presente trabalho, o empréstimo foi contraído para ser pago em [;5;] prestações mensais, não foi tão trabalhoso determinar o valor atual ou a taxa por meio de três calculadoras. Mas quando um empréstimo for contraído para ser resgatado, não em [;5;], mas em [;12,18,24;], etc. prestaçõpes, torna-se muito trabalhoso e até cansativo, digitar os dados do problema, para determinar o valor atual ou a taxa de juros, usando uma das calculadoras: científica, calculadora HP-12C ou calculadora científica programável HP 33s.

Já com as fórmulas deduzidas, leva-se menos tempo para calcular o valor de [;P;] ou [;i;], do que usando um dos três tipos de calculadoras. E à medida que o número de prestações aumenta, o tempo, para calcular o valor de [;P;] ou [;i;] com um dos três tipos de calculadoras, também aumenta.

Por outro lado, com as fórmulas deduzidas, o tempo é o mesmo, tanto para calcular [;P;] ou [;i;], haja visto que qualquer que seja o número de prestações, só se usa no cálculo de [;P;] ou [;i;], a primeira prestação. Uma outra vantagem é a fórmula para calcular o número de prestações, dando apenas o valor da primeira, cálculo que não pode ser realizado por meio de nenhuma das três calculadoras.
Para baixar uma versão no formato doc deste artigo (click aqui).

Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br

Além disso, o professor Sebá é autor do livro


MATEMÁTICA FINANCEIRA AO ALCANCE DE TODOS...

Neste livro, é tratado as séries de pagamentos ou recebimentos, taxa interna de retorno, sistemas de amortização e inflação. Para conhecer o prefácio desta obra (click aqui).

O blog Fatos Matemáticos agradece imensamente o autor pelo envio deste artigo, que será útil a diversas pessoas que são fascinadas por matemática financeira.

Gostará de ler também:
- EDO´s e Juros Continuamente Compostos.

6 comentários:

  1. Ai meu Deus, era só o que faltava, concurseiro já sofre por ter que entender sistemas de amortização, que já não é fácil, e me vêm com esse papinho de Gradiente, ah, isso é coisa de gente pedante que quer aparecer, que mundinho é esse, pra complicar coisas que podem ser simplificadas...

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    1. Encaminharei o seu comentário para o Sebá, o autor do post. Ele é muito competente e de forma alguma ele escreveu este post para aparecer. Pelo contrário, o objetivo dele foi compartilhar o seu conhecimento com todos nós.

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  2. Deixei um comentário aqui há alguns dias e tenho entrado aqui para ver a resposta.
    Eis que me surpreendi, pois meu comentário foi apagado.
    Tratava-se de uma questão que considero um tanto controversa com relação a sistemática de cálculos aplicada no âmbito judicial x matemática financeira e econômica.
    Não mereço resposta?

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    1. Olá Carla, lembro sim de sua questão. Este post foi cordialmente cedido pelo professor Sebá, perito em Matemática Financeira, o qual poderá ser o único a responder a sua pergunta, pelo qual não é minha especialidade. Sendo assim, peço que entre em contato com ele através do e-mail se.ba@uol.com.br

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  3. existe alguma formula para calcular o Custo Efetivo Total num financiamento com TAC, IOF e outras cobranças no sistema SAC?

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  4. Parabéns pelo tópico, acredito ser de extrema utilidadae, e fico triste pelos comentários negativos que foram recebidos aqui, sem quaisquer justificativas, pois não entendem nada.

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