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sexta-feira, 17 de junho de 2011

A Escada de Comprimento de Mínimo

Apresentarei neste post, um problema interessante em que as ferramentas do Cálculo podem ser aplicadas facilmente. o problema é o seguinte:

Qual é o comprimento mínimo de uma escada que passa por cima de um muro de altura [;h;] e que está a uma distância [;a;] de uma parede vertical?

Resolução: Vejamos dois modos de resolver este problema. Sejam [;AB = x;] e [;EF = y;]. Na figura acima, [;\triangle ABD \sim \triangle DEF;] de modo que

[;\frac{y}{a} = \frac{h}{x} \quad \Rightarrow \quad y = \frac{ah}{x} \qquad (1);]

Designando por [;l;] o comprimento da escada [;AF;] e usando o teorema de Pitágoras nos triângulos [;ABD;] e [;DEF;], temos:

[;l = \sqrt{x^2 + h^2} + \sqrt{a^2 + y^2} \qquad (2);]

Substituindo [;(1);] em [;(2);], segue que

[;l(x) = \sqrt{x^2 + h^2} + \sqrt{a^2 + \frac{a^2h^2}{x^2}} \qquad \Rightarrow;]

[;l(x) = \sqrt{x^2 + h^2} + \frac{a}{x}\cdot \sqrt{x^2 + h^2} = \sqrt{x^2 + h^2}\biggl(1 + \frac{a}{x}\biggr);]

O comprimento mínimo é obtido igualando a zero a derivada da função [;l(x);], isto é,

[;l^{\prime}(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}}\biggl(1 + \frac{a}{x}\biggr) + \sqrt{x^2 + h^2}\cdot \frac{(-a)}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow;]


[;\frac{a + x}{\sqrt{x^2 + h^2}} = \frac{a}{x^2}\cdot \sqrt{x^2 + h^2} \quad \Rightarrow \quad x^2(a + x) = a(x^2 + h^2) \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt[3]{ah^2};]

Da expressão [;(1);], podemos achar o valor de [;y;], isto é,

[;y = \frac{ah}{\sqrt[3]{ah^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^3h^3}}{\sqrt[3]{ah^2}} = \sqrt[3]{a^2h};]

Logo, o comprimento desta escada é dada por:

[;l = \sqrt{\sqrt[3]{a^2h^4} + h^2} + \sqrt{a^2 + \sqrt[3]{a^4h^2}} = \sqrt{h\sqrt[3]{a^2h} + h^2} + \sqrt{a^2 + a\sqrt[3]{ah^2}};]

Um outro modo de resolver o problema da escada é usar Trigonometria. Para isso, considere a figura abaixo:

Note que

[;l(\theta) = AF = AD + DF = hcosec \theta + a\sec \theta \qquad (3);]

Derivando esta expressão em relação a [;\theta;] e igualando a zero, temos:

[;l^{\prime}(\theta) = -hcosec \theta \cot \theta + a\sec \theta \tan \theta = 0 \quad \Rightarrow;]

[;a\sec \theta \tan \theta = h cosec \theta \cot \theta \quad \Rightarrow \quad \frac{a\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{h\cos \theta}{\sin^2 \theta} \quad \Rightarrow \quad \tan \theta = \sqrt[3]{\frac{h}{a}} \qquad (4);]

É fácil ver pelo teste da segunda derivada que este valor de [;\theta;], realmente minimiza o comprimento da escada. Além disso, a partir das expressões [;(3);] e [;(4);], podemos achar o comprimento mínimo da escada.

Gostará de ler também:
- A Dobradura de Comprimento Mínimo;
- Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso da Derivada;
- O Ângulo Ótimo de Ramificação de uma Artéria;
- Mínimos Locais Através da Desigualdade Aritmética-Geométrica.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 17.6.11
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3 comentários:

  1. Professor, seu blog é um trabalho de gigante e deve ser elogiado. Parabéns!
    Abraços,
    Ale.

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  2. concordo, parabens professor paulo

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  3. Muito obrigado ao Ale. e a eli2202 por serem seguidores do blog e pelos elogios ao meu trabalho. Creio que consegui chegar até este post, foi devido principalmente a minha grande vontade de transmitir a Matemática para todos. Votem sempre!

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