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segunda-feira, 13 de junho de 2011

A Integral da Secante

Um dos modos mais convenientes de se navegar a longas distâncias consiste em seguir uma linha que faça um ângulo fixo com os meridianos, isto é, com a direção norte-sul. Uma tal linha é chamada linha de rumo ou loxodromia. O navegador utiliza a bússola para marcar seu curso de navegação e se mantém nesse curso.

Gerhard Kremer [;(1512-1594);] foi um geógrafo e cartógrafo natural de uma região de Flandres, que atualmente faz parte da Bélgica. Ele ficou conhecido pelo seu nome latinizado Gerardus Mercator. Quando trabalhava com o mapa de Ptolomeu, surgiu a ideia de aplicar o conceito da curva loxodrômica também descoberta pelo matemático português Pedro Nunes.

A descoberta da loxodromia possibilitou representar o percurso de entre dois pontos no globo terrestre através de uma reta em um mapa. Foi a partir daí que nasceu as famosas cartas de latitudes de Mercator. Assim, era possível planejar com antecipação as viagens marítimas dos navios que se deslocava na superfície esférica do globo terrestre.

Seu famoso mapa data de [;1569;] e em sua confecção, Mercator teve que enfretar e resolver um grande problema matemático que era calcular comprimentos de arcos ao longo de um meridiano e ele procedeu efetuando a árdua tarefa de calcular somatórios da forma [;R\sec \theta \Delta \theta;]. Décadas ainda se passariam para que tudo ficasse bem esclarecido em termos de conceito de integral. Para saber mais sobre esse assunto recomendo que leia o artigo do Geraldo Ávila citado abaixo.

Assim, futuros matemáticos mostraria confecção de um mapa de Mercator envolve o cálculo da integral da função secante. Neste post, mostraremos como podemos obter o resultado abaixo através de dois modos diferentes.

[;\int \sec x dx = \ln (\sec x + \tan x) + C \qquad (1);]

O primeiro modo é multiplicar e dividir o integrando pelo fator [;\sec x + \tan x;] e fazer uma mudança de variáveis, isto é,

[;\int \sec x dx = \int \frac{\sec x(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x}dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x}dx;]

Fazemos agora [;u = \sec x + \tan x;], de modo que [;du = (\sec x \tan x + \sec^2 x)dx;]. Assim,

[;\int \sec x dx = \int \frac{du}{u} = \ln u = \ln (\sec x + \tan x) + C;]

O segundo modo de obter o resultado [;(1);] é através da técnica de integração por frações parciais, isto é,

[;\int \sec x dx = \int \frac{1}{\cos x}dx = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x}dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x}dx;]

Fazemos agora [;u = \sin x;], de modo que [;du = \cos x dx;]. Assim,

[;\int \sec x dx = \int \frac{du}{1 - u^2} = \int \frac{du}{(1 - u)(1 + u)} \qquad (2);]
Mas,

[;\frac{1}{(1 - u)(1 + u)} = \frac{A}{1 - u} + \frac{B}{1 + u};]

donde segue que [;A = 1/2;] e [;B = 1/2;]. Substituindo em [;(2);], temos

[;\int \sec x dx = \frac{1}{2}\int \biggl[\frac{1}{1 + u} + \frac{1}{1-u} \biggr]du = \frac{1}{2}\ln(1 + u) - \frac{1}{2}\ln(1 - u);]

[; = \frac{1}{2}\ln \biggl[\frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} \biggr] = \frac{1}{2}\ln \biggl[\frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x} \biggr] = \ln \biggl( \frac{1 + \sin x}{cos x}\biggr) = \ln (\sec x + \tan x) + C;]

Referência Bibliográfica:
- Ávila, Geraldo. A Matemática e a Cartografia. RPM 65, p. 4-11.

Gostará de ler também:
- Isaac Barrow e a Integral da Secante;
- Algumas Fórmulas de Redução no Cálculo de Integrais;
- Distância Entre Dois Pontos na Superfície Terrestre.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 13.6.11
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7 comentários:

  1. Acho que esse tipo de contexto histórico deveria ser explorado nos cursos fundamentais. Sempre ficamos "presos" a datas e fatos, tornando a hitória um pouco massante. Talvez assim as aulas ficassem um pouco mais interessante para os alunos.

    Eu particularmente desconhecia a luxodromia. Mas vejam como os antigos eram inteligentes, resolvendo seus problemas de moneiras alternativas. Claro que com a descoberta do cálculo muita coisa mudou.

    Um abraço.

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  2. Realmente Kleber, muitos professores ensinam o Cálculo de uma estéril, pois em geral foi a forma que foi ensinada para eles. Essas ligações entre Ciência e Matemática deve ser sempre enfatizada e colocada diante dos alunos. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  3. Professor Sérgio, há um erro no cálculo das frações parciais A e B. os valores de A e B são 1/2, portanto A não é -1/2 . A prova disso é que o senhor disse que - 1/1 - u = - ln (1 - u) quando na verdade é ln (1-u ) pois a derivada de 1 - u é -1, e o sinal de fora inverte a operação dos ln para uma soma. os sistemas lineares do precesso do calculo das frações parciais são
    A + B = 1
    A - B = 0

    implicando que ambos sejam 1/2. Espero ter ajudado. Abraço

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  4. Obrigado pela leitura atenta e pelas correções. Volte sempre!

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  5. De nada professor. Seu artigo foi muito importante para minha compreensão. Bom trabalho

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  6. se no final é uma soma entre os ln's implicando um produto pelas propriedade, não entendo como conseguir o mesmo resultado usando o produto no lugar da divisão que foi feita na demonstração!

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  7. As contas são equivalentes desde que os valores colocados dentro do logaritmo estejam de fato no domínio de definição desta função. Lembre-se que não existem logaritmos de números negativos se o contexto é apenas números reais.

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