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A Integral do Produto da Exponencial pela Potência Enésima de x

Todos os leitores que já estudaram Cálculo, tiveram que resolver integrais da forma

[;\int x^ne^{ax}dx, \qquad a \in \mathbb{R} \quad \text{e} \quad n \in \mathbb{N} \qquad (1);]

e obsevaram que o expoente [;n;] indica o número de vezes em que devemos usar a técnica de integração por partes. Vejamos um exemplo:

Exemplo 1: Use a técnica de integração por partes e calcule a integral

[;\int x^2e^xdx;]

Resolução:
Sejam [;u = x^2;] e [;dv = e^xdx;]. Assim,

[;\int x^2e^xdx = x^2e^x - \int 2xe^xdx = x^2e^x - 2\biggl(xe^x - \int e^xdx \biggr);]

[;= x^2 - 2xe^x + 2e^x + C;]

Mas será que não existe uma forma de calcular a expressão [;(1);], sem ter que fazer [;n;] integrações?

A resposta é sim e baseia-se no uso de uma fórmula de recorrência. Para facilitar a dedução desta fórmula, fazemos uma mudança de variáveis, fazendo [;u = ax;] em [;(1);], ou seja,

[;\int x^ne^{ax}dx = \int \biggl(\frac{u}{a}\biggr)^ne^u\frac{du}{a} = \frac{1}{a^{n+1}}\int u^ne^udu;]

e concentremos nosso estudo na integral definida por

[;I_n(x) = \int x^ne^xdx \qquad (2);]

Fazendo [;u = x^n;], [;dv = e^xdx;] e integrando por partes, temos:

[;I_n(x) = x^ne^x - n\int x^{n-1}e^xdx \quad \Rightarrow;]

[;(3) \qquad \begin{cases}I_n(x) = x^ne^x - nI_{n-1}(x), \qquad n \in \mathbb{N^{\ast}}\\I_0(x) = e^x\end{cases};]

Exemplo 2: Use a expressão [;(3);] e calcule as integrais:

a) [;\int x^3e^xdx;];

b) [;\int x^4e^xdx;].

Resolução:
a)

[;\int x^3e^xdx = I_3(x) = x^3e^x - 3I_2(x) = x^3e^x - 3(x^2e^x - 2xe^x + 2e^x);]

[;=(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C;]
b)
[;\int x^4e^xdx = I_4(x) = x^4e^x - 4I_3(x) = x^4e^x - 4(x^3 - 3x^2 + 6x - 6);]

[;=(x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24)e^x + C;]

Observação 1: Note que

[;x^3 - 3x^2 + 6x - 6 = 3!\biggl(\frac{x^3}{3!} - \frac{3x^2}{3!} + \frac{6x}{3!} - \frac{6}{3!}\biggr) = 3!\biggl(\frac{x^3}{3!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x}{1!} - 1\biggr);]

[;=3!\sum_{k=0}^{3}(-1)^k\frac{x^{3-k}}{(3-k)!}x^{3-k} = 3\sum_{k=0}^{3}(-1)^k k! {3 \choose k}x^{3-k};]

Desta observação, surge a seguinte proposição.

Proposição 1: A solução da equação de recorrência [;(3);] é dada por

[;I_n(x) = e^x\cdot \sum_{k=0}^{n}(-1)^kk!{n \choose k}x^{n-k} + C \qquad (4);]

Demonstração: Usaremos indução finita sobre [;n;]. Para [;n=0;], temos [;I_0(x) = e^x + C;]. Suponhamos que a expressão [;(4);] seja válida e provaremos sua validade para [;n+1;]. De fato,

[;I_{n+1}(x) = x^{n+1}e^x - (n+1)I_n(x) =;]

[;=x^{n+1}e^x - (n+1)e^x\sum_{k=0}^{n}(-1)^kk!{n \choose k}x^{n-k} + C;]


[;=e^x\biggl[x^{n+1} - \sum_{k=0}^{n}(-1)^k(n+1)k!{n \choose k}x^{n-k} \biggr] + C;]

Em seguida, fazemos a mudança de variável, [;k = j - 1;], no somatório acima. Assim,

[;I_{n+1} = e^x\biggl[x^{n+1} - \sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}(n+1)(j-1)!{n \choose j-1}x^{n - (j-1)}\biggr] + C;]

[;=e^x\biggl[{n+1 \choose 0}x^{n+1} + \sum_{j=1}^{n+1}(-1)^j j!{n+1 \choose j}x^{n+1-j}\biggr] + C;]

[;=e^x\cdot \sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k k!{n+1 \choose k}x^{n+1-k} + C;]

Corolário 1:

[;\int x^ne^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a^{n+1}}\cdot \sum_{k=0}^{n}(-1)^kk!{n \choose k}(ax)^{n-k} + C;]

Demonstração: Vimos acima através de uma mudança de variáveis que

[;\int x^ne^{ax}dx = \frac{1}{a^{n+1}}I_n(u) \qquad (5);]

sendo [;u = ax;]. Mas, pela Proposição anterior,

[;I_n(u) = e^u\cdot \sum_{k=0}^{n}(-1)^kk!{n \choose k}u^{n-k} + C \qquad (6);]

Substituindo [;(6);] em [;(5);] segue o resultado.

Exemplo 3: Use o Corolário 1 e calcule a integral

[;\int x^4e^{-2x}dx;]
Resolução:

[;\int x^4e^{-2x}dx = \frac{4!}{(-2)^5}\biggl[\sum_{k=0}^{4}(-1)^4\frac{(-2x)^{4-k}}{(4 - k)!} \biggr]e^{-2x} + C;]

[;=-\frac{4!}{32}\biggl[\frac{16x^4}{4!} - \frac{(-8)x^3}{3!} + \frac{4x^2}{2!} - \frac{(-2)x}{1!} + 1\biggr]e^{-2x} + C;]

[;=\frac{1}{4}(2x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 6x + 3)e^{-2x} + C;]

Gostará de ler também:
- Algumas Fórmulas de Redução no Cálculo de Integrais;
- Estratégias ao Integrar por Partes;
- A Integral da Secante;
- Uma Fórmula Recursiva para a Soma de Inteiros Positivos.

5 comentários:

  1. Respostas
    1. A integral existe apenas para n natural. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  2. Caro Matemático, faz algum tempo que estou tentando resolver esta integral, se vc souber por favor a resolva, pois ainda não encontrei a resolução, aí vai o desafio:

    INTEGRAL DUPLA COM INTERVALO NA PRIMEIRA (0,1); NA SEGUNDA COM INTERVALO (Y,1) E A FUNÇÃO expon^-3x² dx dy.

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    1. augusto g.rodrigues de angola30 de outubro de 2013 13:45

      1/6(1-exp(-3))

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  3. Este post veio a completar minha pesquisa sobre integração por partes.

    A fórmula [;(3);] e o da proposição 1 são bastantes práticas.

    Vou colocar um link no meu blog.

    Valeu.

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