FATOS MATEMÁTICOS: A Integral do Produto da Exponencial pela Potência Enésima de x

quarta-feira, 22 de junho de 2011

A Integral do Produto da Exponencial pela Potência Enésima de x

Todos os leitores que já estudaram Cálculo, tiveram que resolver integrais da forma

$[;\int x^ne^{ax}dx, \qquad a \in \mathbb{R} \quad \text{e} \quad n \in \mathbb{N} \qquad (1);]$

e obsevaram que o expoente $[;n;]$ indica o número de vezes em que devemos usar a técnica de integração por partes. Vejamos um exemplo:

Exemplo 1: Use a técnica de integração por partes e calcule a integral

$[;\int x^2e^xdx;]$

Resolução: Sejam $[;u = x^2;]$ e $[;dv = e^xdx;]$ . Assim,

$[;\int x^2e^xdx = x^2e^x - \int 2xe^xdx = x^2e^x - 2\biggl(xe^x - \int e^xdx \biggr);]$

$[;= x^2 - 2xe^x + 2e^x + C;]$

Mas será que não existe uma forma de calcular a expressão $[;(1);]$ , sem ter que fazer $[;n;]$ integrações?

A resposta é sim e baseia-se no uso de uma fórmula de recorrência. Para facilitar a dedução desta fórmula, fazemos uma mudança de variáveis, fazendo $[;u = ax;]$ em $[;(1);]$ , ou seja,

$[;\int x^ne^{ax}dx = \int \biggl(\frac{u}{a}\biggr)^ne^u\frac{du}{a} = \frac{1}{a^{n+1}}\int u^ne^udu;]$

e concentremos nosso estudo na integral definida por

$[;I_n(x) = \int x^ne^xdx \qquad (2);]$

Fazendo $[;u = x^n;]$ , $[;dv = e^xdx;]$ e integrando por partes, temos:

$[;I_n(x) = x^ne^x - n\int x^{n-1}e^xdx \quad \Rightarrow;]$

$[;(3) \qquad \begin{cases}I_n(x) = x^ne^x - nI_{n-1}(x), \qquad n \in \mathbb{N^{\ast}}\\I_0(x) = e^x\end{cases};]$

Exemplo 2: Use a expressão $[;(3);]$ e calcule as integrais:

a) $[;\int x^3e^xdx;]$ ;

b) $[;\int x^4e^xdx;]$ .

Resolução:
a)

$[;\int x^3e^xdx = I_3(x) = x^3e^x - 3I_2(x) = x^3e^x - 3(x^2e^x - 2xe^x + 2e^x);]$

$[;=(x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C;]$

$[;\int x^4e^xdx = I_4(x) = x^4e^x - 4I_3(x) = x^4e^x - 4(x^3 - 3x^2 + 6x - 6);]$

$[;=(x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24)e^x + C;]$

Observação 1: Note que

$[;x^3 - 3x^2 + 6x - 6 = 3!\biggl(\frac{x^3}{3!} - \frac{3x^2}{3!} + \frac{6x}{3!} - \frac{6}{3!}\biggr) = 3!\biggl(\frac{x^3}{3!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x}{1!} - 1\biggr);]$

$[;=3!\sum_{k=0}^{3}(-1)^k\frac{x^{3-k}}{(3-k)!}x^{3-k} = 3\sum_{k=0}^{3}(-1)^k k! {3 \choose k}x^{3-k};]$

Desta observação, surge a seguinte proposição.

Proposição 1: A solução da equação de recorrência $[;(3);]$ é dada por

$[;I_n(x) = e^x\cdot \sum_{k=0}^{n}(-1)^kk!{n \choose k}x^{n-k} + C \qquad (4);]$

Demonstração: Usaremos indução finita sobre $[;n;]$ . Para $[;n=0;]$ , temos $[;I_0(x) = e^x + C;]$ . Suponhamos que a expressão $[;(4);]$ seja válida e provaremos sua validade para $[;n+1;]$ . De fato,

$[;I_{n+1}(x) = x^{n+1}e^x - (n+1)I_n(x) =;]$

$[;=x^{n+1}e^x - (n+1)e^x\sum_{k=0}^{n}(-1)^kk!{n \choose k}x^{n-k} + C;]$

$[;=e^x\biggl[x^{n+1} - \sum_{k=0}^{n}(-1)^k(n+1)k!{n \choose k}x^{n-k} \biggr] + C;]$

Em seguida, fazemos a mudança de variável, $[;k = j - 1;]$ , no somatório acima. Assim,

$[;I_{n+1} = e^x\biggl[x^{n+1} - \sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}(n+1)(j-1)!{n \choose j-1}x^{n - (j-1)}\biggr] + C;]$

$[;=e^x\biggl[{n+1 \choose 0}x^{n+1} + \sum_{j=1}^{n+1}(-1)^j j!{n+1 \choose j}x^{n+1-j}\biggr] + C;]$

$[;=e^x\cdot \sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k k!{n+1 \choose k}x^{n+1-k} + C;]$

Corolário 1:

$[;\int x^ne^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a^{n+1}}\cdot \sum_{k=0}^{n}(-1)^kk!{n \choose k}(ax)^{n-k} + C;]$

Demonstração: Vimos acima através de uma mudança de variáveis que

$[;\int x^ne^{ax}dx = \frac{1}{a^{n+1}}I_n(u) \qquad (5);]$

sendo $[;u = ax;]$ . Mas, pela Proposição anterior,

$[;I_n(u) = e^u\cdot \sum_{k=0}^{n}(-1)^kk!{n \choose k}u^{n-k} + C \qquad (6);]$

Substituindo $[;(6);]$ em $[;(5);]$ segue o resultado.

Exemplo 3: Use o Corolário 1 e calcule a integral

$[;\int x^4e^{-2x}dx;]$

Resolução:

$[;\int x^4e^{-2x}dx = \frac{4!}{(-2)^5}\biggl[\sum_{k=0}^{4}(-1)^4\frac{(-2x)^{4-k}}{(4 - k)!} \biggr]e^{-2x} + C;]$

$[;=-\frac{4!}{32}\biggl[\frac{16x^4}{4!} - \frac{(-8)x^3}{3!} + \frac{4x^2}{2!} - \frac{(-2)x}{1!} + 1\biggr]e^{-2x} + C;]$

$[;=\frac{1}{4}(2x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 6x + 3)e^{-2x} + C;]$

Gostará de ler também:
- Algumas Fórmulas de Redução no Cálculo de Integrais;
- Estratégias ao Integrar por Partes;
- A Integral da Secante;
- Uma Fórmula Recursiva para a Soma de Inteiros Positivos.

4 comentários:

James Crawford11 de dezembro de 2012 14:55
E com n=-1 existe essa integral?
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Respostas
Anônimo12 de dezembro de 2012 14:38
Caro Matemático, faz algum tempo que estou tentando resolver esta integral, se vc souber por favor a resolva, pois ainda não encontrei a resolução, aí vai o desafio:

INTEGRAL DUPLA COM INTERVALO NA PRIMEIRA (0,1); NA SEGUNDA COM INTERVALO (Y,1) E A FUNÇÃO expon^-3x² dx dy.
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Aloisio Teixeira7 de janeiro de 2013 09:30
Este post veio a completar minha pesquisa sobre integração por partes.

A fórmula [;(3);] e o da proposição 1 são bastantes práticas.

Vou colocar um link no meu blog.

Valeu.
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