FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 10)

quarta-feira, 1 de junho de 2011

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 10)

$[;28);]$ Sejam $[;P;]$ e $[;Q;]$ dois pontos de um círculo de centro $[;O;]$ . A seguir traça-se um segundo círculo cujo diâmetro é o segmento $[;OP;]$ e que intercepta a corda $[;PQ;]$ no ponto $[;S;]$ . Se $[;OP=73;]$ e $[;PQ = 96;]$ , calcule o valor da medida do segmento $[;OS;]$ .

$[;29);]$ Calcule os valores naturais de $[;a;]$ para os quais $[;\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \ldots}}};]$ é natural. (Problema enviado pelo leitor Rodrigo).

$[;30);]$ Sabendo que o número $[;1002004008016032;]$ possui um fator primo maior que $[;250.000;]$ , encontre-o! (Problema enviado pelo leitor Carlos Eduardo).

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 9).

Problema $[;25);]$ Tenho bois, vacas e cavalos, números primos diferentes de cada. Se eu multiplicar o números de bois pelo total de bois e vacas, o produto será $[;120;]$ unidades a mais que o número de cavalos. Quantos animais de cada eu tenho? (Problema enviado pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid).

Resolução: Sejam $[;b;]$ o número de bois, $[;c;]$ o número de cavalos e $[;v;]$ o número de vacas. Do enunciado do problema, temos a seguinte equação:

$[;b(b + v) = 120 + c;]$

Ela nos indica que $[;c;]$ não pode ser igual a $[;2;]$ , o único primo par, senão $[;b;]$ teria que ser também igual a $[;2;]$ . Mas foi dito que os $[;3;]$ primos são diferentes.

Portanto, $[;c;]$ terá que ser ímpar, e daí concluímos que $[;b;]$ ou $[;v;]$ terá que ser igual a $[;2;]$ , pois se $[;b;]$ e $[;c;]$ fossem ímpares, sua soma soma seria par e o produto $[;b(b + v);]$ também seria par, o que contradiz o fato que o segundo lado da equação é ímpar, pois $[;c;]$ é ímpar.

Claramente, $[;v;]$ terá que ser igual a $[;2;]$ , uma vez que $[;b=2;]$ faria o produto $[;b(b + v);]$ par. Reescrevendo a equação, temos:

$[;b(b + 2) = 120 + c \quad \Rightarrow \quad b^2 + 2b - 120 = c \quad \Rightarrow \quad (b +12)(b - 10) = c;]$

Note que $[;b -10;]$ deverá ser igual a unidade para que $[;c;]$ seja um número primo. Então

$[;b - 10 = 1 \quad \Rightarrow \quad b = 11 \quad \Rightarrow \quad c =23 \quad \Rightarrow \quad v = 2;]$

Problema $[;26);]$ Se $[;a + b + c = 0;]$ , calcule o valor da expressão

$[;P = \biggl(\frac{b - c}{a} + \frac{c - a}{b} + \frac{a - b}{c}\biggr)\cdot \biggl(\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c -a} + \frac{c}{a - b}\biggr);]$

(Problema enviado pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid).

Resolução: O primeiro fator é igual a

$[;\frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b} + \frac{a-b}{c} = \frac{b^2c - bc^2 + ac^2 - ac^2 + a^2b - ab^2}{abc};]$

$[;=\frac{[c^2(a-b) + ab(a - b) - (ac + bc)(a - b)]}{abc} = \frac{(a-b)(c^2 + ab -ac - bc)}{abc};]$

$[;=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc} \qquad (1);]$

Para o segundo fator, fazemos $[;a^{\prime} = b - c;]$ , $[;b^{\prime} = c - a;]$ e $[;c^{\prime} = a - b;]$ . Assim,

$[;b^{\prime} - c^{\prime} = (c - a) - (a - b) = (b + c) - 2a;]$

Da condição $[;a+b+c = 0;]$ , temos $[;b+c = -a;]$ , e então

$[;b^{\prime} - c^{\prime} = -a - 2a = -3a \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{(b^{\prime} - c^{\prime})}{3};]$

De forma análoga, obtemos:

$[;b = -\frac{c^{\prime} - a^{\prime}}{3} \quad \text{e} \quad c = -\frac{a^{\prime} - b^{\prime}}{3};]$

O segundo fator fica então

$[;\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a - b} = \frac{1}{3}\biggl[\frac{b^{\prime} - c^{\prime}}{a^{\prime}} + \frac{c^{\prime} - a^{\prime}}{b^{\prime}} + \frac{a^{\prime} - b^{\prime}}{c^{\prime}}\biggr];]$

$[;=-\frac{1}{3}\biggl[-\frac{(a^{\prime} - b^{\prime})(b^{\prime} - c^{\prime})(c^{\prime} - a^{\prime})}{a^{\prime}b^{\prime}c^{\prime}}\biggr];]$

$[;=\frac{1}{3}\cdot\frac{(-3c)(-3a)(-3b)}{(b - c)(c - a)(a - b)} = \frac{9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)} \qquad (2);]$

Multiplicando as expressões $[;(1);]$ e $[;(2);]$ , segue que $[;P = 9;]$ .

Problema $[;27);]$ Use o teorema de Rolle e mostre que a equação $[;4x^3 + 6x - 1 = 0;]$ não tem zeros no intervalo $[;(-1,0);]$ .

Resolução: Seja $[;f(x) = 4x^3 + 6x - 1;]$ . Suponhamos que existem duas raízes no intervalo $[;(-1,0);]$ , isto é, existem $[;x_1,x_2 \in (-1,0);]$ tais que $[;f(x_1) = f(x_2);]$ . Sendo $[;f;]$ um polinômio, então $[;f;]$ é contínua e derivável no intervalo dado e pelo teorema de Rolle, existe $[;\xi \in (-1,0);]$ tal que $[;f^{\prime}(\xi) = 0;]$ . Mas, $[;f^{\prime}(x) = 12x^2 + 6 \succ 0;]$ para todo $[;x \in \mathbb{R};]$ . Absurdo!

Note que $[;f(-1) = -11 \prec 0;]$ e que $[;f(0) = -1 \prec 0;]$ e sendo $[;f^{\prime}(x) = 12x^2 + 6 \succ 0;]$ para todo $[;x \in \mathbb{R};]$ , a função $[;f;]$ é crescente em $[;(-1,0);]$ . Portanto, a função dada também não admite um zero real neste intervalo.

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Carlos Eduardo - Probs. $[;25;]$ e $[;27;]$
- David Carvalho - Prob. $[;27;]$
- Rodrigo - Prob. $[;25;]$
- Warles - Prob. $[;25;]$

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas $[;28);]$ , $[;29);]$ e $[;30);]$ encerra no dia 30/06/2011 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 8);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6).