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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 10)


[;28);] Sejam [;P;] e [;Q;] dois pontos de um círculo de centro [;O;]. A seguir traça-se um segundo círculo cujo diâmetro é o segmento [;OP;] e que intercepta a corda [;PQ;] no ponto [;S;]. Se [;OP=73;] e [;PQ = 96;], calcule o valor da medida do segmento [;OS;].

[;29);] Calcule os valores naturais de [;a;] para os quais [;\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \ldots}}};] é natural. (Problema enviado pelo leitor Rodrigo).

[;30);] Sabendo que o número [;1002004008016032;]possui um fator primo maior que [;250.000;], encontre-o! (Problema enviado pelo leitor Carlos Eduardo).

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 9).

Problema [;25);] Tenho bois, vacas e cavalos, números primos diferentes de cada. Se eu multiplicar o números de bois pelo total de bois e vacas, o produto será [;120;] unidades a mais que o número de cavalos. Quantos animais de cada eu tenho? (Problema enviado pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid).

Resolução: Sejam [;b;] o número de bois, [;c;] o número de cavalos e [;v;] o número de vacas. Do enunciado do problema, temos a seguinte equação:

[;b(b + v) = 120 + c;]

Ela nos indica que [;c;] não pode ser igual a [;2;], o único primo par, senão [;b;] teria que ser também igual a [;2;]. Mas foi dito que os [;3;] primos são diferentes.

Portanto, [;c;] terá que ser ímpar, e daí concluímos que [;b;] ou [;v;] terá que ser igual a [;2;], pois se [;b;] e [;c;] fossem ímpares, sua soma soma seria par e o produto [;b(b + v);] também seria par, o que contradiz o fato que o segundo lado da equação é ímpar, pois [;c;] é ímpar.

Claramente, [;v;] terá que ser igual a [;2;], uma vez que [;b=2;] faria o produto [;b(b + v);] par. Reescrevendo a equação, temos:

[;b(b + 2) = 120 + c \quad \Rightarrow \quad b^2 + 2b - 120 = c \quad \Rightarrow \quad (b +12)(b - 10) = c;]

Note que [;b -10;] deverá ser igual a unidade para que [;c;] seja um número primo. Então

[;b - 10 = 1 \quad \Rightarrow \quad b = 11 \quad \Rightarrow \quad c =23 \quad \Rightarrow \quad v = 2;]

Problema [;26);] Se [;a + b + c = 0;], calcule o valor da expressão

[;P = \biggl(\frac{b - c}{a} + \frac{c - a}{b} + \frac{a - b}{c}\biggr)\cdot \biggl(\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c -a} + \frac{c}{a - b}\biggr);]

(Problema enviado pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid).

Resolução: O primeiro fator é igual a

[;\frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b} + \frac{a-b}{c} = \frac{b^2c - bc^2 + ac^2 - ac^2 + a^2b - ab^2}{abc};]

[;=\frac{[c^2(a-b) + ab(a - b) - (ac + bc)(a - b)]}{abc} = \frac{(a-b)(c^2 + ab -ac - bc)}{abc};]

[;=-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{abc} \qquad (1);]

Para o segundo fator, fazemos [;a^{\prime} = b - c;], [;b^{\prime} = c - a;] e [;c^{\prime} = a - b;]. Assim,

[;b^{\prime} - c^{\prime} = (c - a) - (a - b) = (b + c) - 2a;]

Da condição [;a+b+c = 0;], temos [;b+c = -a;], e então

[;b^{\prime} - c^{\prime} = -a - 2a = -3a \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{(b^{\prime} - c^{\prime})}{3};]

De forma análoga, obtemos:

[;b = -\frac{c^{\prime} - a^{\prime}}{3} \quad \text{e} \quad c = -\frac{a^{\prime} - b^{\prime}}{3};]
O segundo fator fica então

[;\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a - b} = \frac{1}{3}\biggl[\frac{b^{\prime} - c^{\prime}}{a^{\prime}} + \frac{c^{\prime} - a^{\prime}}{b^{\prime}} + \frac{a^{\prime} - b^{\prime}}{c^{\prime}}\biggr];]

[;=-\frac{1}{3}\biggl[-\frac{(a^{\prime} - b^{\prime})(b^{\prime} - c^{\prime})(c^{\prime} - a^{\prime})}{a^{\prime}b^{\prime}c^{\prime}}\biggr];]

[;=\frac{1}{3}\cdot\frac{(-3c)(-3a)(-3b)}{(b - c)(c - a)(a - b)} = \frac{9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)} \qquad (2);]

Multiplicando as expressões [;(1);] e [;(2);], segue que [;P = 9;].

Problema [;27);] Use o teorema de Rolle e mostre que a equação [;4x^3 + 6x - 1 = 0;] não tem zeros no intervalo [;(-1,0);].

Resolução: Seja [;f(x) = 4x^3 + 6x - 1;]. Suponhamos que existem duas raízes no intervalo [;(-1,0);], isto é, existem [;x_1,x_2 \in (-1,0);] tais que [;f(x_1) = f(x_2);]. Sendo [;f;] um polinômio, então [;f;]é contínua e derivável no intervalo dado e pelo teorema de Rolle, existe [;\xi \in (-1,0);] tal que [;f^{\prime}(\xi) = 0;]. Mas, [;f^{\prime}(x) = 12x^2 + 6 \succ 0;] para todo [;x \in \mathbb{R};]. Absurdo!

Note que [;f(-1) = -11 \prec 0;] e que [;f(0) = -1 \prec 0;] e sendo [;f^{\prime}(x) = 12x^2 + 6 \succ 0;] para todo [;x \in \mathbb{R};], a função [;f;] é crescente em [;(-1,0);]. Portanto, a função dada também não admite um zero real neste intervalo.

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Carlos Eduardo - Probs. [;25;] e [;27;]
- David Carvalho - Prob.[;27;]

- Rodrigo - Prob. [;25;]
- Warles - Prob. [;25;]

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;28);], [;29);] e [;30);] encerra no dia 30/06/2011 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 8);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 6).

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