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A Translação de Eixos no Plano


Ocorre algumas vezes que a escolha dos eixos feita no início da resolução de um problema não conduz à forma mais simples da equação. Uma equação pode se simplificada por uma transformação adequada de eixos. Isso pode ser feito em duas etapas: uma chamada de translação de eixos; outra chamada rotação de eixos. Veremos neste post, como podemos fazer a translação de eixos.

Sejam [;Ox;] e [;Oy;] os eixos primitivos e [;O^{\prime}x^{\prime};] e [;O^{\prime}y^{\prime};] os novos eixos transladados para o ponto [;(h,k);]. Da figura acima, temos:

[;\begin{cases}x = x^{\prime} + h\\y = y^{\prime} + k\end{cases};]

ou de forma equivalente, [;x^{\prime} = x - h;] e [;y^{\prime} = y - k;]. Vejamos alguns exemplos em que a translação de eixos facilita a identificação de uma curva e seus elementos.

Exemplo 1: Determine o foco e vértice da parábola [;y = ax^2 + bx + c;], sendo [;a \neq 0;].

Resolução: Completando quadrados (Click aqui), temos

[;f(x) = a\biggl(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\biggr) =a \biggl [\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\biggr] \quad \Rightarrow ;]

[;f(x) + \frac{\triangle}{4a}= a\biggl(x + \frac{b}{2a}\biggr)^2;]

Sejam [;y^{\prime} = y + \Delta/4a;] e [;x^{\prime} = x + b/2a;], temos [;y^{\prime} = a(x^{\prime})^2 ;]. Comparando esta expressão com a equação da parábola de vértice na origem do sistema de coordenadas [;(x^{\prime})^{2} = 2py^{\prime};], segue que [;p = 1/2a;].

Além disso, sendo [;h = b/2a;] e [;k = \Delta/4a;], então o vértice da parábola dada é igual a [;V(h,k) = V(b/2a,\Delta/4a);], de
modo que [;F(b/2a, \Delta/4a + 1/a);]. A diretriz é a reta [;y = \Delta/4a - 1/a;].

Exemplo 2: Identifique a curva
[;25x^2 + 16y^2 - 100x - 64y - 236 = 0;].

Resolução: Devemos completar quadrados e realizar uma translação de eixos.

[;25x^2 + 16y^2 - 100x - 64y - 236 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;25(x^2 - 4x) + 16(y^2 - 4y) = 236 \quad \Rightarrow;]

[;25(x^2 - 4x + 4) + 16(y^2 - 4y + 4) = 236 + 100 + 64 = 400\quad \Rightarrow;]

[;\frac{25}{400}(x-2)^2 + \frac{16}{400}(y-2)^2 = 1;]
ou
[;\frac{(x^{\prime})^2}{16} + \frac{(y^{\prime})^2}{25} = 1;]

sendo [;x^{\prime} = x - 2;] e [;y^{\prime} = y - 2;]. Portanto, esta curva é uma elipse centrada no ponto [;(2,2);] com eixo maior paralelo ao eixo [;y;]e igual a [;2a = 10;] e eixo menor igual a [;2b = 8;]. Além disso, sendo [;a^2 = b^2 + c^2;], segue que [;c = 3;].

Exemplo 3: Determinar a equação da curva [;2x^2 - 3y^2 - 8x + 6y = 7;], depois que a origem foi transferida para o ponto [;(2,1);].

Resolução: Fazendo [;x = x^{\prime} + h;] e [;y = y^{\prime} + k;], temos:

[;2(x^{\prime} + h)^2 - 3(y^{\prime} +k)^2 - 8(x^{\prime} + h) + 6(y^{\prime} + k) = 7 \quad \Rightarrow;]

[;2(x^{\prime})^2 + 4x^{\prime}h +2h^2 - 3(y^{\prime})^2 - 6y^{\prime}k - 3k^2 - 8x^{\prime} - 8h + 6y^{\prime} + 6k = 7 \quad \Rightarrow;]

[;2(x^{\prime})^2 - 3(y^{\prime})^2 + (4h - 8)x^{\prime} + (6 - 6k)y^{\prime} + 2h^2 - 3k^2 - 8h + 6k - 7 = 0 \qquad (1);]

Escolhemos [;h;] e [;k;] de modo que [;4h - 8 = 0;] e [;6 - 6k = 0;], ou seja, [;h = 2;] e [;k = 1;]. Substituindo esses valores em [;(1);], segue que

[;2(x^{\prime})^2 - 3(y^{\prime})^2 + 8 - 3 - 16 + 6 - 7 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;2(x^{\prime})^2 - 3(y^{\prime})^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad \frac{(x^{\prime})^2}{6} - \frac{(y^{\prime})^2}{4} = 1 \qquad (2);]

Assim, a expressão [;(2);] trata-se de uma hipérbole centrada no ponto [;(2,1);] conforme a figura abaixo.

Exercícios Propostos:

1) Determine a translação de eixos que transforme a equação [;3x^2 + 4y^2 + 6x + 24y = 135;], numa outra, cujos coeficientes dos termos de primeiro grau sejam nulos.

2) Por intermédio de uma translação de eixos, reduza a equação
[;y^2 - 6y - 4x + 5 = 0;] numa forma típica mais simples e identifique a natureza do lugar geométrico. R: [;(y^{\prime})^2 = 4x^{\prime};].

3) Transforme a equação cúbica [;x^3 + 9x^2 - 4x + 2 = 0;] numa equação equivalente sem o termo quadrático.


Gostará de ler também:
- Coordenadas Racionais na Circunferência de Raio Unitário;
- A Parábola e as Funções Quadráticas.

Um comentário:

  1. Professor Paulo Sergio, boa noite! Estas duas postagens são excelentes, pois ajudará bastante aos alunos que estão cursando Geometria Analítica como também aos alunos que estão no 3º ano e passa por este assunto: as cônicas. Postei uma mensagem no dia 18/06 pedindo ajuda e vossa pessoa me orientou para que eu olhasse o conteúdo "Duas médias - parte 2". Obrigado pela orientação. Compreendi a questão que estava exposta, mas mesmo assim não consegui desenvolver a minha.
    Por favor, se puder entrar em contato comigo, agradeço. Meu e-mail: mcs_pan10@hotmail.com
    Estou indicando o seu blog para os meus colegas poderem visitar, estudar e tirar suas dúvidas. Parabéns, é muito bom!

    Att: Marcos

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