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Os Teoremas de Rolle e de Lagrange

Apresentei há dois anos atrás Aplicações do Teorema de Rolle sem apresentar sua demonstração. Vendo a necessidade de uma melhor explicação sobre esse assunto, irei desenvolver neste post os fundamentos teóricos e a principal consequência deste teorema que é o teorema de Lagrange.

Considere a função [;y = f(x);] ilustrada acima. Os pontos de abscissas [;x_0,x_1,x_2,x_3,x_4;] e [;x_5;] são chamados pontos extremos. Os valores das ordenadas [;f(x_0),f(x_2);] e [;f(x_4);] são chamados de máximos relativos; e, [;f(x_1), f(x_3);] e [;f(x_5);] são chamados de mínimos relativos.


Definição 1: Uma função [;f;] tem um máximo relativo em [;c;], se existir um intervalo aberto [;I;], contendo [;c;], tal que

[;f(x) \leq f(c) \quad \forall x \in I\cap D(f);]

Definição 2: Uma função [;f;] tem um mínimo relativo em [;c;], se existir um intervalo aberto [;I;], contendo [;c;], tal que

[;f(x) \geq f(c) \quad \forall x \in I\cap D(f);]

Exemplo 1: A função [;f (x) = x^3/3 - 4x;] tem um máximo relativo em [;c_1 = -2;] e um mínimo relativo em [;c_2 = 2;].

Proposição 1: Supondo que [;f(x);] existe para todos os valores de [;x \in (a,b);] e que [;f;] tem um extremo relativo em [;c;], com [;a \prec c \prec b;]. Se [;f^{\prime}(c);] existe, então [;f^{\prime}(c) = 0;].

Demonstração: Suponhamos que [;f;] tem um máximo relativo em [;c;] e que [;f^{\prime}(c);] existe. Então pela definição de derivada, temos:

[;f^{\prime}(c) = \lim_{x \to c}\frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \lim_{x \to c^{+}}\frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \lim_{x \to c^{-}}\frac{f(x) - f(c)}{x - c};]

Como [;c;] é um ponto de máximo relativo de [;f;], se [;x\;] estiver suficientemente próximo de [;c;], temos que

[;f(x) \leq f(c) \quad \Rightarrow \quad f(x) - f(c) \leq 0;]

Se [;x \to c^{+};], então [;x - c \to 0^{+};], de modo que

[;f^{\prime}(c) = \lim_{x \to c^{+}} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \leq 0 \qquad (1);]

Se [;x \to c^{-};], então [;x - c \to 0^{-};], de modo que

[;f^{\prime}(c) = \lim_{x \to c^{-}} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \geq 0 \qquad (2);]

De [;(1);] e [;(2);], segue que [;f^{\prime}(c) = 0;].

Observação 1: Geometricamente, esta proposição nos afirma que se [;f;] tem um extremo relativo em [;c;] e se [;f^{\prime}(c);] existe, então o gráfico de [;y = f(x);] tem um reta tangente horizontal no ponto [;x = c;]. Além disso, a condição [;f^{\prime}(c) = 0;] necessária para existência de um extremo relativo em [;c;], mas não é suficiente. Isto pode ser observado nas funções [;f(x) = x^3;] e [;g(x) = |x|;].

Definição 3: O ponto [;c \in D(f);] tal que [;f^{\prime}(c) = 0;] ou [;f^{\prime}(c);] não existe é chamado de ponto crítico.

Proposição 2: Se [;f;] é uma função contínua, definida em um intervalo fechado [;[a,b];], então [;f;] assume seu máximo e mínimo absoluto em [;[a,b];].

Omitiremos a demonstração desta importante proposição conhecida por teorema de Heine-Borel. Para o leitor curioso, procure a prova nos livros de Análise ou Topologia.

O próximo teorema afirma que se o gráfico de uma função diferenciável cruza a reta [;y = k;] em dois pontos, [;a;] e [;b;], então entre eles deve existir ao menos um ponto [;c;] onde a reta tangente é horizontal.

Teorema 1: [Teorema de Rolle] Seja [;f;] uma função tal que
i) [;f;] é contínua em [;[a,b];];
ii) [;f;] é diferenciável em [;(a,b);];
iii)
[;f(a) = f(b);].
Então, existe pelo menos um [;c \in (a,b);] tal que [;f^{\prime}(c) = 0;].

Demonstração: Consideremos dois casos.

[;1^{0};] Caso: [;f(x) = k, \quad \forall x \in [a,b];].

Neste caso, [;f^{\prime}(x) = 0, \ \forall x \in (a,b);]. Logo, qualquer número entre [;a;] e [;b;] pode ser escolhido como [;c;].

[;2^{0};] Caso: [;f;]não é constante em [;[a,b];].

Neste caso, segue que [;f(x) \neq f(a) = f(b);], para algum [;x \in (a,b);]. Como [;f;] é contínua em [;a,b;], pela Prop. 2, [;f;] atinge seu máximo e seu mínimo em [;[a,b];]. Sendo [;f(x) \neq f(a) = f(b);] existe um valor extremo (máximo ou mínimo) em algum [;c \in (a,b);]. E ainda, como [;f;] é derivável, pela Prop. 1, conclui-se que [;f^{\prime}(c) = 0;].

Exemplo 1: Através do teorema de Rolle é possível afirmar que a função [;f (x) = 2 - |3 - x|;] possui um ponto crítico no intervalo [;[1,5];]? Justifique.

Resolução: Observe que [;f(1) = f(5) = 0;] e que [;f;] é uma função contínua. Escrevendo [;f;] de outra forma,

[;f(x) =\begin{cases}-1 + x, \quad \text{se} \quad x \leq 3\\5 - x, \quad \text{se} \quad x \succ 3\end{cases};]

segue que as derivadas laterais em [;x = 3;] são distintas. Logo, através do teorema de Rolle não podemos afirmar que [;f;] possui um ponto crítico em [;[1,5];].

Corolário 1:
[Teorema do Valor Médio ou Lagrange] Seja [;f;] uma função tal que
i)
[;f;] é contínua em [;[a,b];];
ii)
[;f;] é diferenciável em [;(a,b);]. Então, existe pelo menos um [;c \in (a,b);] tal que

[;f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a};]

Demonstração: Na figura acima, a equação da reta que passa pelos pontos [;(a,f(a));] e [;(b,f(b));] é
[;y - f(a) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a);]

Se [;y = h(x);], isto é,

[;h(x) = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a);]

então, [;h(x);] é uma função polinomial. Sendo assim, [;h;] é uma função contínua e diferenciável para todo [;x\;]. Seja [;g(x) = f(x) - h(x);] a função que representa a distância vertical entre um ponto do gráfico e o ponto correspondente da reta secante. Note que [;g(a) = g(b) = 0;], [;g;] é uma função contínua em [;[a,b];] e [;g;] é diferenciável em [;(a,b);]. Portanto, pelo teorema de Rolle, existe [;c \in (a,b);] tal que [;g^{\prime}(c) = 0;], donde segue o resultado.

Exercícios Propostos

1) Use o teorema de Rolle e mostre que a derivada da função [;f(x) = 1/(1 + x^2);] admite um zero no intervalo [;[-1,1];].

2) Prove que [;f;] satisfaz as condições do teorema do valor médio e indique no intervalo dado os números [;c;] que satisfazem a conclusão do teorema.

a)
[;f(x) = x^2, \qquad [1,2];]
b) [;f(x) = 3\sqrt{x} - 4x, \qquad [1,4];]
c) [;f(x) = x^3, \qquad [0,8];]

3) Um número [;a;] é chamado número fixo de uma função [;f;] se [;f(a) = a;]. Prove que se [;f^{\prime}(x) \neq 1;] para todo número real [;x\;], então [;f;] tem no máximo um ponto fixo. Sugestão: Use a demonstração por absurdo.

4) Suponha que [;f;] seja uma função ímpar e diferenciável em toda a parte. Prove que para todo número positivo [;a;], existe [;\xi \in (-a,a);] tal que [;f^{\prime}(\xi) = \frac{f(a)}{a};]. Sugestão: Considere a função [;g(x) = f(x);] em [;[-a,a];] e use o TVM.

Referência Bibliográfica:
- Piskounov, N. Cálculo Diferencial e Integral Vol. 1. [;6^{\underline{a}};] ed. Porto, 1978.
- Lima, E.L., Análise Real Vol. 1. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1989.
- Demidovitch, D. Problemas e Exercícios de Análise Matemática - [;6^{a};] ed. Mir-Moscou, trad. J. C. Engrácia Gama de Oliveira, 1987.

Gostará de ler também:
- Aplicações do Teorema de Rolle;
- Alguns Problemas de Otimização Sem o Uso de Derivadas;
- O Ângulo Ótimo de Ramificação de uma Artéria;

3 comentários:

  1. Ahahah, os teoremas de Análise Real II.
    Excelente relembrar!

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  2. Bom dia, gostaria de saber o que motiva o nome do TVM, pq o Teorema de Lagrange recebe tambem o nome de Teorema do Valor Médio, qual a motivação de chamar esse teorema de "Valor Médio" ?

    Meu nome é Robert, se possivel pode mandar a resposta para meu e-mail: mr.nl@ig.com.br
    Aguardando um retorno, desde já agradeço a atenção.

    Cordialmente: Robert

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  3. O teorema de Lagrange recebe o nome de TVM (teorema do valor médio), pois está de certo modo relacionado com o coeficiente angular ou taxa de variação média da reta secante que passa P(a,f(a)) e P(b,f(b)) que é igual [f(b) - f(a)]/[b - a]. O teorema afirma que sob certas condições enunciadas acima, existe um valor [;x= \xi;] tal que a taxa instantanea neste ponto é igual a taxa média em [a,b].

    Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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