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segunda-feira, 4 de julho de 2011

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 11)

[;31);] Os números de Fibonacci são definidos pela relação de recorrência [;F_{n+2} = F_{n+1} + F_n;] para [;n \geq 1;] com [;F_1=F_2=1;]. Prove que:

[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}F_{k+1} = F_{2n+1};]

[;32);] Prove que em qualquer triângulo [;ABC;], [;\sin A\cdot \sin B \cdot \sin C \leq 1/8;].

[;33);] Seja [;x \succ 0;]. Prove que

[;\frac{x^2}{2} \prec e^x;]

Sugestão: Analise a função [;f(x) = e^x - x^2/2;].

Vejamos agora a resolução dos problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 10).

[;28);] Sejam [;P;] e [;Q;] dois pontos de um círculo de centro [;O;]. A seguir traça-se um segundo círculo cujo diâmetro é o segmento [;OP;] e que intercepta a corda [;PQ;] no ponto [;S;]. Se [;OP=73;] e [;PQ = 96;], calcule o valor da medida do segmento [;OS;].

Resolução: O triângulo [;OSP;] é retângulo em [;S;] (triângulo inscrito em uma circunferência onde a hipotenusa é o diâmetro). Se [;OSP;] é retângulo em [;S;], [;OS;]é perpendicular a [;PQ;], e portanto o ponto [;S;]é o ponto médio de [;PQ;]. Então, [;OP = 73;] e [;PS = 48;]. Do triângulo retângulo [;OSP;], temos:
[;OS^2 = 73^2 - 48^2 = 3025 \quad \Rightarrow \quad OS=55;]

Solução enviada pelo leitor e colaborador Paulo Bouhid.

[;29);] Calcule os valores naturais de [;a;] para os quais [;\sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \ldots}}};] é natural. (Problema enviado pelo leitor Rodrigo).

Resolução:
[;x = \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \ldots}}} \quad \Rightarrow \quad x^2 = a + \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \ldots}}} \quad \Rightarrow;]
[;x^2 - x - a = 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta = 4a + 1;]

Delta deve ser um quadrado perfeito, isto é, [;4a+1 = k^2;] de modo que [;4a = k^2-1;]. Para [;k = 2n;], temos [;4a = 4n^2 - 1;], isto é, [;a = n^2 - 1/4;], ou seja, [;a;] não é natural.

Para [;k = 2n+1;], segue que
[;4a = (2n+1)^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad a = n^2 + n;]

sendo [;n \in \mathbb{N};]. Solução adaptada de várias soluções.

[;30);] Sabendo que o número [;1002004008016032;]possui um fator primo maior que [;250.000;], encontre-o! (Problema enviado pelo leitor Carlos Eduardo).

Resolução: Note que:
[;1002004008016032 = 1.10^{15} + 2.10^{12} + 4.10^9 + 8.10^6 + 16.10^3 + 32;]

[; = 1000^5 + 2.1000^4 + 4.1000^3 + 8.1000^2 + 16.1000 + 32;]

Tomando [;N = 1002004008016032;], [;a = 1000;] e [;b = 2;], temos:
[;N = a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^4 + ab^5 + b^6 = \frac{a^6 - b^6}{a - b};]
[;=\frac{1000^6 - 2^6}{1000 - 2} = 2^5\cdot \frac{500^6 - 1}{500 - 1} = \frac{2^5(500 + 1)(500^2 - 500 + 1)(500 - 1)(500 + 1)}{500 - 1};]
[;=2^5\times 501\times 249501\times 250251;]

Logo, o número primo é o [;250501;]. Solução enviada pelo leitor Carlos Eduardo.

Observação: Você também pode participar enviando problemas com soluções para serem avaliados. Sendo aprovados, eles serão publicados nas próximas edições.

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Carlos Eduardo - Probs. [;28;] e [;29;]
- Paulo Bouhid - Todos
- Vinícius - Prob. [;29;] e [;30;]

O prazo de entrega para enviar as soluções dos problemas [;31);], [;32);] e [;33);] encerra no dia 30/07/2011 e podem ser enviadas no formato doc ou pdf para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 9);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 8);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 7);
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 4.7.11
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6 comentários:

  1. Caro Prof., a solução apresentada para o Problema 29, talvez por ter sido adaptada de várias soluções, me parece incompleta, ao assumir apenas k = 2n+1 (ou seja, k ímpar). E para k par?

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  2. Realmente faltou essa análise. Para k = 2n, vê-se que a não é um número natural. Adicionei uma questão de sua autoria. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  3. Prof, na questao 28), por que OS é perpendicular a PQ? Grato, desde já.

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  4. Porque OSP é um triângulo retângulo. Leia o texto novamente. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  5. Certamente, desculpe-me, professor.

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  6. Professor, para quando mais problemas? (E ja agora, a resoluçao desta serie de problemas). Abraço! David

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