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A Desigualdade de Ptolomeu

Cláudio Ptolomeu foi um grande astrônomo e geômetra grego que viveu no século I d.C. Neste post, provaremos uma desigualdade geométrica muito interessante.

Proposição 1: Dado o quadrilátero [;ABCD;], onde [;AC;] e [;BD;] são as diagonais, então
[;AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + BC\cdot AD;]

e a igualdade é válida se e somente se [;ABCD;] é um quadrilátero cíclico.

Demonstração: No quadrilátero [;ABCD;] acima, seja [;E;] um ponto tal que os triângulos [;ACD;]e [;AEB;] sejam semelhantes. ([;A\hat{E}B = A\hat{C}D;]) e ([;B\hat{A}E = C\hat{A}D;]). Assim,

[;\frac{AE}{AC} = \frac{AB}{AD} = \frac{BE}{DE};]
de modo que

[;BE = \frac{AB\cdot DE}{AD} \qquad (1);]

Além disso, sendo [;\triangle ACD \sim \triangle AEB;], então [;E\hat{A}C = B\hat{A}D;] e sendo [;\frac{AD}{AC} = \frac{AB}{AE};] segue que [;\triangle EAC \sim \triangle BAD;]


Assim,

[;\frac{EC}{AC} = \frac{BD}{AD} \quad \Rightarrow \quad EC = \frac{AC\cdot BD}{AD} \qquad (2);]

Agora se [;ABCD;] é um quadrilátero cíclico, temos

[;A\hat{B}E + C\hat{B}A = A\hat{D}C + C\hat{B}A = 180^{\circ};]

Isto significa que os pontos [;C;], [;B;] e [;E;] são colineares e portanto,

[;EC = EB + BC \qquad (3);]

Substituindo [;(1);] e [;(2);] em [;(3);], temos

[;\frac{AC\cdot BD}{AD} = \frac{AB\cdot DC}{AD} + BC \quad \Rightarrow \quad AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD \qquad (4);]

A expressão [;(4);] é conhecida por igualdade de Ptolomeu. Se o quadrilátero [;ABCD;] não é cíclico, então

[;A\hat{B}E + C\hat{B}A = A\hat{D}C + C\hat{B}A \neq 180^{\circ};]

de modo que os pontos [;C;], [;B;] e [;E;] formam um triângulo e pela desigualdade triangular segue que

[;EC \prec EB + BC \qquad (5);]

Substituindo [;(1);] e [;(2);] em [;(5);], temos:

[;\frac{AC\cdot BD}{AD} \prec \frac{AB\cdot DC}{AD} + BC \quad \Rightarrow \quad AC\cdot BD \prec AB\cdot CD + BC\cdot AD \qquad (6);]

De [;(4);] e [;(6);], obtemos a desigualdade de Ptolomeu, ou seja,

[;AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + BC\cdot AD;]

e a igualdade é válidade se e somente se [;ABCD;] é cíclico.

Gostará de ler também:
- O Teorema de Ptolomeu e o Heptágono Regular;
- O Teorema de Ptolomeu e as Fórmulas Trigonométricas;

2 comentários:

  1. Olá professor

    Visitando seu blog percebi como seu trabalho é interessante.
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    Abraço

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  2. Vou ser sincero....me perdi no meio!!! esse ptolomeu é o mesmo do modelo heliostático do universo?

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