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segunda-feira, 26 de setembro de 2011

A Identidade de Euler e as Raízes Enésimas de um Número Complexo


Através das expansões em série de Taylor das funções seno, cosseno e exponencial, demonstra-se a identidade de Euler, dada por

[;e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta \qquad (1);]

Usaremos esta identidade para calcular de forma eficiente as raízes enésimas do número complexo [;w = a + bi;]. Mostraremos também através do Algoritmo da Divisão de Euclides que existem apenas [;n;] raízes enésimas distintas de [;w;].

Para isso, seja [;\theta;] o argumento de [;w;], ou seja, o ângulo formado pela semi-reta que vai de [;0;] a [;w;] com a parte positiva do eixo [;x\;]. O argumento de [;w;] também é denotado por [;arg(w);]. O módulo do número complexo [;w;] é definido por [;|w| =\rho = \sqrt{a^2 + b^2};]. Da figura acima, segue que [;a = \rho cos \theta;] e [;b = \rho \sin \theta;]. Assim,

[;w = a + bi = \rho\cos \theta + i\rho\cos \theta = \rho e^{\theta i} \qquad (2);]

pela identidade [;(1);].

Definição 1: Seja [;n \in \mathbb{N}^{\ast};]. Um número [;z;] tal que [;z^n = w;] é chamado uma raiz enésima de [;w;] e é denotada por [;\sqrt[n]{w};].

Para achar a raiz enésima de [;w;], devemos considerar além do argumento [;\theta;], seus arcos côngruos, ou seja, [;\theta + 2k\pi;].

[;z = \sqrt[n]{w} = \sqrt[n]{\rho e^{i(\theta + 2k\pi)}} = \sqrt[n]{\rho} e^{i(\theta + 2k\pi)/n};]

com [;k \in \mathbb{Z};].

Proposição 1: Seja [;n \in \mathbb{N}^{\ast};] e [;z \in \mathbb{C};]. Existem apenas [;n;] raízes enésimas distintas [;z_k,\ k=0,\ldots, n-1;] dadas por

[;z_k = \sqrt[n]{\rho}e^{i(\theta + 2k\pi)/n};]

Demonstração: Note que
[;z^n=w=\rho e^{i \theta};]. Assim,

[;z^n=\rho e^{i(\theta +2k \pi)} \quad \Rightarrow \quad z_k=\sqrt[n]{\rho}e^{i(\theta + 2k \pi)/n},\ k \in \mathbb{Z};]

Para [;k \succ n-1;], temos pelo Algoritmo de Euclides que [;k = (n-1)q+k_0;] com [;0\leq k_0 \prec n-1;], onde [;k_0;] e [;q;] são únicos de modo que

[;z_k = \sqrt[n]{\rho} e^{i(\theta+2k \pi)/n} = \sqrt[n]{\rho}e^{i \theta/n}\cdot e^{2k \pi i/n};]

[;= \sqrt[n]{\rho}e^{i \theta/n}\cdot e^{2[(n-1)q+k_0]\pi i/n} = \sqrt[n]{\rho} e^{i(\theta+2 \pi k_0)/n}\cdot (e^{2 \pi q i})^{(n-1)/n};]

[;= \sqrt[n]{\rho}e^{i(\theta + 2 \pi k_0)/n} \cdot 1 = z_{k_0};]

para algum [;0 \leq k_0 \prec n - 1;].

Exemplo 1: Calcule [;\sqrt{-i};].

Resolução: Neste caso, [;w = -i = e^{3\pi i/2};]. Assim,
[;z_k = e^{(3\pi/2 + 2k\pi)i/2};] para [;k = 0,1;].

Para
[;k = 0;], temos:
[;z_0 = e^{3\pi i/4} = \cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i;]
e para [;k = 1;],
[;z_1 = e^{7\pi i/4} = \cos \frac{7\pi}{4} + \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i;]


Exemplo 2: Usando a expressão acima, é fácil motrar que [;\sqrt[3]{8};] são dadas por [;z_0 = 2;], [;z_1 = -1 + \sqrt{3}i;] e [;z_2 = -1 - \sqrt{3}i;].

É interessante observar que as raízes enésimas de um número complexo no plano Argand-Gauss são vértices de um polígono regular de [;n;] lados.

Gostará de ler também:
- Demonstração da [;2^{\underline{a}};] Fórmula de De Moivre (Blog O Baricentro da Mente);
- Aplicação da [;2^{\underline{a}};] Fórmula de De Moivre (Blog O Baricentro da Mente);
- O Conjugado de um Número Complexo;
- Representação dos Naturais Como Soma de Dois Quadrados.

4 comentários:

  1. Olá Paulo,
    Muito bom o post. Como forma de vilsualizar as raízes enésimas de um complexo, sugiro este post:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/05/aplicacao-da-2-formula-de-de-moivre.html
    que podemos ver o polígono inscrito à circunferência.
    Pelo jeito voltou com força total! Parabéns!!!

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  2. Obrigado Kleber, irei adicionar na lista acima.

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  3. Recuperando o tempo perdido Professor?

    Srsrs

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  4. Na verdade, esses posts já estavam escritos há tempos e somente nesta semana tive tempo de digitá-los. Obrigado pela força e volte sempre!

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