FATOS MATEMÁTICOS: A Identidade de Euler e as Raízes Enésimas de um Número Complexo

segunda-feira, 26 de setembro de 2011

A Identidade de Euler e as Raízes Enésimas de um Número Complexo

Através das expansões em série de Taylor das funções seno, cosseno e exponencial, demonstra-se a identidade de Euler, dada por

$[;e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta \qquad (1);]$

Usaremos esta identidade para calcular de forma eficiente as raízes enésimas do número complexo $[;w = a + bi;]$ . Mostraremos também através do Algoritmo da Divisão de Euclides que existem apenas $[;n;]$ raízes enésimas distintas de $[;w;]$ .

Para isso, seja $[;\theta;]$ o argumento de $[;w;]$ , ou seja, o ângulo formado pela semi-reta que vai de $[;0;]$ a $[;w;]$ com a parte positiva do eixo $[;x\;]$ . O argumento de $[;w;]$ também é denotado por $[;arg(w);]$ . O módulo do número complexo $[;w;]$ é definido por $[;|w| =\rho = \sqrt{a^2 + b^2};]$ . Da figura acima, segue que $[;a = \rho cos \theta;]$ e $[;b = \rho \sin \theta;]$ . Assim,

$[;w = a + bi = \rho\cos \theta + i\rho\cos \theta = \rho e^{\theta i} \qquad (2);]$

pela identidade $[;(1);]$ .

Definição 1: Seja $[;n \in \mathbb{N}^{\ast};]$ . Um número $[;z;]$ tal que $[;z^n = w;]$ é chamado uma raiz enésima de $[;w;]$ e é denotada por $[;\sqrt[n]{w};]$ .

Para achar a raiz enésima de $[;w;]$ , devemos considerar além do argumento $[;\theta;]$ , seus arcos côngruos, ou seja, $[;\theta + 2k\pi;]$ .

$[;z = \sqrt[n]{w} = \sqrt[n]{\rho e^{i(\theta + 2k\pi)}} = \sqrt[n]{\rho} e^{i(\theta + 2k\pi)/n};]$

com $[;k \in \mathbb{Z};]$ .

Proposição 1: Seja $[;n \in \mathbb{N}^{\ast};]$ e $[;z \in \mathbb{C};]$ . Existem apenas $[;n;]$ raízes enésimas distintas $[;z_k,\ k=0,\ldots, n-1;]$ dadas por

$[;z_k = \sqrt[n]{\rho}e^{i(\theta + 2k\pi)/n};]$

Demonstração: Note que $[;z^n=w=\rho e^{i \theta};]$ . Assim,

$[;z^n=\rho e^{i(\theta +2k \pi)} \quad \Rightarrow \quad z_k=\sqrt[n]{\rho}e^{i(\theta + 2k \pi)/n},\ k \in \mathbb{Z};]$

Para $[;k \succ n-1;]$ , temos pelo Algoritmo de Euclides que $[;k = (n-1)q+k_0;]$ com $[;0\leq k_0 \prec n-1;]$ , onde $[;k_0;]$ e $[;q;]$ são únicos de modo que

$[;z_k = \sqrt[n]{\rho} e^{i(\theta+2k \pi)/n} = \sqrt[n]{\rho}e^{i \theta/n}\cdot e^{2k \pi i/n};]$

$[;= \sqrt[n]{\rho}e^{i \theta/n}\cdot e^{2[(n-1)q+k_0]\pi i/n} = \sqrt[n]{\rho} e^{i(\theta+2 \pi k_0)/n}\cdot (e^{2 \pi q i})^{(n-1)/n};]$

$[;= \sqrt[n]{\rho}e^{i(\theta + 2 \pi k_0)/n} \cdot 1 = z_{k_0};]$

para algum $[;0 \leq k_0 \prec n - 1;]$ .

Exemplo 1: Calcule $[;\sqrt{-i};]$ .

Resolução: Neste caso, $[;w = -i = e^{3\pi i/2};]$ . Assim, $[;z_k = e^{(3\pi/2 + 2k\pi)i/2};]$ para $[;k = 0,1;]$ .

Para $[;k = 0;]$ , temos:

$[;z_0 = e^{3\pi i/4} = \cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i;]$

e para $[;k = 1;]$ ,

$[;z_1 = e^{7\pi i/4} = \cos \frac{7\pi}{4} + \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i;]$

Exemplo 2: Usando a expressão acima, é fácil motrar que $[;\sqrt[3]{8};]$ são dadas por $[;z_0 = 2;]$ , $[;z_1 = -1 + \sqrt{3}i;]$ e $[;z_2 = -1 - \sqrt{3}i;]$ .

É interessante observar que as raízes enésimas de um número complexo no plano Argand-Gauss são vértices de um polígono regular de $[;n;]$ lados.

Gostará de ler também:
- Demonstração da $[;2^{\underline{a}};]$ Fórmula de De Moivre (Blog O Baricentro da Mente);
- Aplicação da $[;2^{\underline{a}};]$ Fórmula de De Moivre (Blog O Baricentro da Mente);
- O Conjugado de um Número Complexo;
- Representação dos Naturais Como Soma de Dois Quadrados.

4 comentários:

Kleber Kilhian26 de setembro de 2011 07:51
Olá Paulo,
Muito bom o post. Como forma de vilsualizar as raízes enésimas de um complexo, sugiro este post:
http://obaricentrodamente.blogspot.com/2010/05/aplicacao-da-2-formula-de-de-moivre.html
que podemos ver o polígono inscrito à circunferência.
Pelo jeito voltou com força total! Parabéns!!!
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Prof. Paulo Sérgio26 de setembro de 2011 07:55
Obrigado Kleber, irei adicionar na lista acima.
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Matheus26 de setembro de 2011 13:02
Recuperando o tempo perdido Professor?

Srsrs
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Prof. Paulo Sérgio26 de setembro de 2011 13:33
Na verdade, esses posts já estavam escritos há tempos e somente nesta semana tive tempo de digitá-los. Obrigado pela força e volte sempre!
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