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Cálculo de Limites Algébricos e Irracionais Algébricos

No cálculo de limites apresentam-se primeiramente os limites algébricos formados pela razão de dois polinômios que possuem uma ou mais raízes em comum, originando a indeterminação matemática do tipo [;\frac{0}{0};] . Outros tipos de limites semelhantes a este são os limites irracionais algébricos, onde temos um ou mais radicais no numerador ou denominador da fração algébrica. Neste post, abordaremos tais limites e como solucioná-los. Vejamos então os limites do tipo


[;\lim_{x \to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)};]

sendo
[;x_0;] uma raiz comum de [;P(x);] e [;Q(x);].

Existem vários modos de resolver este tipo de limite conforme o grau dos polinômios [;P(x);] e [;Q(x);]. Por exemplo, se o grau destes polinômios são iguais a dois, podemos fatorá-los várias técnicas para eliminar a indeterminação matemática. Mas um procedimento padrão é o seguinte:


Sendo [;x_0;] uma raiz comum de [;P(x);] e [;Q(x);], então esses polinômios são divisíveis pelo binômio [;x - x_0;]. Assim, calculamos pelo método da chave ou Briot-Ruffini os polinômios


[;P_1(x) = \frac{P(x)}{x - x_0} \quad \text{e} \quad Q_1(x) = \frac{Q(x)}{x - x_0};]
Assim,
[;\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\frac{P(x)}{x - x_0}}{\frac{Q(x)}{x - x_0}} = \lim_{x \to x_0}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)};]


Se [;x_0;] é uma raiz simples, a indeterminação matemática é eliminada. Caso contrário, repetimos novamente o processo anterior. Para esclarecer melhor estas ideias vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: Calcule os limites abaixo:

a) [;\displaystyle \lim_{x \to -9} \frac{2x^2 - 162}{x + 9};]

b) [;\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{3x^2 - 17x + 20}{4x^2 - 25x + 36};]

c) [;\displaystyle \lim_{t \to \frac{3}{2}}\frac{8t^3 - 27}{4t^2 - 9};]

Resolução: Observe que todos esses limites possuem [;\frac{0}{0};] como indeterminação matemática.

a) Neste caso, basta usar a diferença de dois quadrados no numerador para obter

[;2x^2 - 162 = 2(x^2 - 81) = 2(x^2 - 9^2) = 2(x - 9)(x + 9);]

Assim,

[;\lim_{x \to -9} \frac{2x^2 - 162}{x + 9} = \lim_{x \to -9}\frac{2(x-9)(x+9)}{x+9} = \lim_{x \to -9} 2(x - 9) = -36;]

b) Para este limite, dividimos o numerador e o denominar pelo binômio [;x - 4;], ou seja,


[;\frac{3x^2 - 17x + 20}{x - 4} = 3x - 5 \qquad \text{e} \qquad \frac{4x^2 - 25x + 36}{x - 4} = 4x - 9;]
Logo,
[;\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{3x^2 - 17x + 20}{4x^2 - 25x + 36} = \lim_{x \to 4}\frac{\frac{3x^2 - 17x + 20}{x-4}}{\frac{4x^2 - 25x + 36}{x-4}} = \lim_{x \to 4}\frac{3x - 5}{4x - 9} = \frac{3.4 - 5}{4.4 - 9} = 1;]

c) Este limite pode ser resolvido de forma semelhante ao item anterior, mas lendo com calma, percebe-se que o numerador e do denominador são produtos notáveis. O numerador é a diferença de dois cubos cuja a expressão geral é dada por


[;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \quad \Rightarrow;]


[;8t^3 - 27 = 2^3t^3 - 3^3 = (2t)^3 - 3^3 = (2t - 3)[(2t)^2 + (2t)\cdot 3 + 3^2];]

[;= (2t - 3)(4t^2 + 6t + 9);]


e o denominador é a diferença de dois quadrados, ou seja,
[;4t^2 - 9 = (2t)^2 - 3^2 = (2t - 3)(2t + 3);]
Logo,
[;\displaystyle \lim_{t \to \frac{3}{2}}\frac{8t^3 - 27}{4t^2 - 9} = \displaystyle \lim_{t \to \frac{3}{2}}\frac{(2t - 3)(4t^2 + 6t + 9)}{(2t - 3)(2t + 3)} = \displaystyle \lim_{t \to \frac{3}{2}}\frac{4t^2 + 6t + 9}{2t + 3} = \frac{9}{2};]


Vejamos agora como resolver os limites irracionais algébricos, ou seja, limites em que o numerador ou denominador da fração apresenta pelo menos uma raiz de uma expressão algébrica. Neste caso, temos as técnicas: Fatoração, racionalização ou mudança de variável para transformar o limite em um limite algébrico. É claro que haverá limites que admite o uso de mais de um método.

Exemplo 2:
Use a técnica de fatoração e resolva o limite abaixo:

[;\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1};]


Resolução: Observe que [;x - 1;] pode ser fatorado usando diferença de dois quadrados do seguinte modo:


[;x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1);]
Logo,
[;\lim_{x \to 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \lim_{x \to 1}\frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2};]

Exemplo 3: Use racionalização e resolva o limite abaixo:


[;\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{4 \sqrt{x} - 8}{x - 4};]


Resolução: Neste caso, sendo [;4\sqrt{x} - 8 = 4(\sqrt{x} - 2);], multiplicamos o numerador e o denominador da expressão por [;\sqrt{x} + 2;] e usamos o fato que


[;(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = x - 4;]
ou seja,
[;\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{4 \sqrt{x} - 8}{x - 4} = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{4(\sqrt{x} - 2)(sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(sqrt{x} + 2)};]

[;= \displaystyle \lim_{x \to 4}\frac{4(x - 4)}{(x - 4)(sqrt{x} + 2)} = \displaystyle \lim_{x \to 4}\frac{4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{4}{4} = 1;]

Exemplo 4: Use mudança de variáveis e resolva o limite abaixo:


Resolução: Para este limite façamos [;x = 2u^3 \ \Rightarrow \ 4x = 8u^3;], de modo que  e [;\sqrt{2x} = \sqrt{2\cdot 2u^3} = \sqrt{4u^2\cdot u} = 2u\sqrt{u};]. Por outro lado, toda vez que fazemos mudança de variável em um limite, devemos achar o valor para o qual a nova variável irá tender. Observe que se [;x \to 2;], então [;u^3 \to 1 \ \Rightarrow \ u \to 1;]. Assim,
Note que neste último limite, ainda temos a indeterminação matemática [;\frac{0}{0};]. Assim, fazemos novamente uma mudança de variáveis, [;u = v^2;]. Com essa mudança, note que se [;u \to 1 \ \Rightarrow \ v \to 1;], de modo que


[;\displaystyle{\lim_{x \to 2}}\frac{\sqrt[3]{4x} - 2}{\sqrt{2x} - 2} = \displaystyle{\lim_{u \to 1}}\frac{u - 1}{u\sqrt{u} - 1};]


[;= \displaystyle{\lim_{v \to 1}\frac{v^2 - 1}{v^3 - 1} = \displaystyle{\lim_{v \to 1}}\frac{(v - 1)(v + 1)}{(v - 1)(v^2 + v + 1)} = \frac{2}{3};]

Exercícios Propostos: Use as técnicas acima e resolva os limites:

1)
[;\displaystyle \lim_{x \to -3/2} \frac{4x^2 - 9}{2x + 3} \qquad R: -6;]

2)
[;\displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{2x^2 + 3x - 2}{x^2 - 6x - 16} \qquad R: 1/2;]

3)
[;\displaystyle \lim_{x \to 8} \frac{3 \sqrt[3]{x} - 6}{x - 8} \qquad R: 1/4;]

4)
[;\displaystyle \lim_{y \to -7} \frac{y^2 - 49}{2y + 14} \qquad R: -7;]

5)
[;\displaystyle \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2} \qquad R: 12;]

6)
[;\displaystyle \lim_{y \to -2} \frac{3y^2 - 8y - 16}{2y^2 - 9y + 4} \qquad R: 2/5;]

7)
[;\displaystyle \lim_{h \to -1} \frac{\sqrt{h + 5} - 2}{h + 1} \qquad R: 1/4;]

8)
[;\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{3x - 3} \qquad R: 1/6;]

9)
[;\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x} \qquad R: 1/(2\sqrt{2});]

10)
[;\displaystyle \lim_{y \to 4} \frac{2y^3 - 11y^2 + 10y + 8}{3y^3 - 17y^2 + 16y + 16} \qquad R: 3/4;]

Gostará de ler também:
- Cálculo de Limites Trigonométricos;
- Limites Pela Definição;
- O LTF e o Cálculo de Áreas (Parte 1);
- O LTF e o Cálculo de Áreas (Parte 2);
- Provas Sem Palavras (Parte 20);
- Sobre a Divisão de Polinômios.

34 comentários:

  1. Muito bom, fácil de entender dessa maneira

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  2. Esses limites são os primeiros a serem abordados em um curso de Cálculo e funciona como um teste de conhecimento sobre produtos notáveis e divisão de polinômios. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  3. Achei muito boa a postagem. Isso mostra como temos de estar afiados na matemática, pois se caímos em problemas desse tipo e não soubermos as técnicas corretas para resolução, vamos nos complicar ainda mais. Lembro que aprendi a aplicar L'Hopital quando caíamos em 0/0.
    Um abraço!

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  4. Como matemáticos, devemos estar atentos a qualquer tipo de erro. Muitos limites do tipo 0/0 pode ser resolvido por tecnicas elementares. Obrigado Kleber pela leitura atenta.

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  5. A resposta do exemplo 3 não seria "1", ao invés de 1/4?

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  6. A resposta do exemplo 1, letra "a',não seria -36?

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  7. Valeu me ajudou muito.

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  8. por favor me ajude a responder o numero 9.

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    1. Faça a racionalização multiplicando por
      [;\sqrt{x + 2} + \sqrt{x};]
      encima e embaixo. Em seguida, use a identidade:
      [;(a - b)(a + b) = a^2 - b^2;]

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    2. Professor, eu continuo sem entender como fazer a número 9. Teria como mostrar o passo a passo?

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  9. Professor, boa noite, muito bom seu blog, mas gostaria de atentar para uma ponto que poderia dificultar o entendimento para os futuros matemáricos, na exemplo 4, quando explica o a transformação de unidade para sqr3(4x) usando x=2uˆ2, você tirou a raiz terceira, mantendo-a como raiz quadrada, isso é fácil de gerar um confusão nos menos atentos, deixado-os inseguros quanto a um assunto tão lindo como matemática. Ótima noite professor.

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  10. Professor, gostaria de entender o exercício 3, teria como o senhor me explicar?

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    1. É semelhante ao Exemplo 4. A dica é fazer a mudança de variável fazendo [;x = u^3;]. Assim, quando x -> 8, segue que [;u \to \sqrt[3]{8} = 2;]. Além disso, o numerador transforma em 3u - 6 e o denominador transforma em [;u^3 - 8;]. Fatorando através de produtos notáveis, o limite simplifica.

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    2. Obrigado professor. Este foi o melhor conteúdo sobre o assunto que encontrei na internet, espero, e acredito, que permaneça assim. E novamente obrigado.

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  11. Eu queria ver a demostraçao que a substituiçao de variavel sempre funciona. Eu nunca me convenci disso realmente. Estou em Calculo 2, mas ainda nao me convenci. =\

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  12. Boa noite, professor.
    A questão 10 não seria 3/8? Ou estou enganado?

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    1. Olá leitor, sugiro que reveja os seus cálculos. A resposta correta é a que foi publicada acima.

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  13. bom trabalho! prof.Paulo Sérgio.

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  14. Professor a divisão do polinômio do numerador da questão seis por y + 2 sobra resto, não entendi!

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    1. Também sobra resto no denominador. Portanto, o limite é a razão dos restos. Simples assim.

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    2. Muito obrigado professor. Só uma dúvida... Isso serve somente para quando sobra resto no denominador e numerador, sendo que se sobrar resto apenas em um dos dois, a divisão está errada? Desde já agradeço.

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  15. Não estou conseguindo fazer a segunda... essa divisão de polinômios esta me incomodando... o sr. Pode me ajudar

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    1. Divide o numerador e o denominador por x + 2, pois uma vez que x -> -2, o polinômio x + 2 é divisor do polinômios do numerador e denominador. Feito isso, basta substituir por x = -2.

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  16. Boa tarde Mestre. No exemplo 1, Item b, como saber por qual expressão dividir o polinômio. No caso o sr. dividiu por x - 4. Qual o motivo? Obrigado desde já. Kleber Leal. Belém/PA.

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  17. Professor, posso postar um exercício que não consigo resolver?

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  18. Professor, a letra b do primeiro Exemplo, pq dividimos o numerador e o denominar pelo binômio [x - 4], não compreendi, o sr. poderia esclarecer?

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    1. Dividiu para eliminar a indeterminação matemática.

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  19. Boa Tarde Prof. Paulo Sérgio, por gentileza poderia me dar uma dica na 10 questão? teriamos usar um artificio da substituição de variavel?

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    1. Divide o numerador e o denominador por y - 4 . Desta forma, iremos eliminar a indeterminação matemática. Em seguida, basta substituir y por 4.

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  20. Este comentário foi removido pelo autor.

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  21. a questão 8 nao seria 1/2, como resolve-la caso seja 1/6

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