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A Função Piso e a Parte Fracionária de um Número

Algumas funções interessantes não são contínuas. No último post, apresentei uma soma que envolvia a função piso ou maior inteiro de [;x\;]. Buscando esclarecer este assunto, apresento a definição e algumas propriedades desta função e também da parte fracionária de um número [;x\;].

Definição 1: A função piso [;\lfloor x \rfloor;] também chamada de função maior inteiro de [;x\;] é uma função cujo domínio é [;\mathbb{R};] e o contradomínio é [;\mathbb{Z};] que associa um número real [;x\;] ao inteiro [;n;], isto é, [;\lfloor x \rfloor = n;] sendo [;n;] o maior inteiro menor ou igual a [;x\;]. Em termos de conjunto escrevemos

[;\lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} \ | \ n \leq x\};]

O nome e o símbolo para a função piso foi dado pelo matemático K. E. Iverson. O gráfico desta função é apresentado na figura acima.

De forma análoga, define-se a função teto [;\lceil x \rceil;] também chamada de função menor inteiro de [;x\;], ou seja, [;\lceil x \rceil = n;], sendo [;n;] o menor inteiro maior ou igual a [;x\;].

Desta definição segue que [;\lfloor x \rfloor \leq x;] para todo [;x \in \mathbb{R};].

Definição 2: A diferença entre [;x\;] e a função piso [;\lfloor x \rfloor;] é a sua parte fracionária e será denotado por [;\{x\};], ou seja, [;\{x\} = x - \lfloor x \rfloor;].

Vejamos abaixo algumas propriedades básicas relacionadas com a função piso e sua parte fracionária.

Proposição 1: Seja [;x \in \mathbb{R};]. Então
[;i);] [;x = \lfloor x \rfloor \Leftrightarrow x \in \mathbb{Z};];
[;ii);] [;x = \{x\} \Leftrightarrow 0 \leq x \prec 1;];
[;iii);]
[;x - 1 \prec \lfloor x \rfloor \leq x;];
[;iv);] Seja
[;n \in \mathbb{Z};]. Então [;\{x + n\} = \{x\};].

Demonstração:
i) De fato, se [;x = \lfloor x \rfloor;], então [;\{x\} = 0 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{Z};]. Se [;x = n \in \mathbb{Z};], então [;\lfloor x \rfloor = n = x;].

ii) Se [;x =\{x\};],então [;\lfloor x \rfloor = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 \leq x \prec 1;]. Reciprocamente, se [;0 \leq x \prec 1;], então [;\lfloor x \rfloor = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \{x\};], pela definição 2.

iii) A segunda desigualdade segue diretamente da definição. Vejamos a primeira desigualdade. Sendo [;x = \lfloor x \rfloor + \{x\} \prec \lfloor x \rfloor + 1;], donde segue o resultado.

iv) De fato,

[;\{x + n\} = x + n - \lfloor x + n \rfloor = x + n - (\lfloor x \rfloor + n) = x - \lfloor x \rfloor = \{x\};]

Proposição 2: Sejam [;x\;] e [;y;] números reais
[;i);]
[;\lfloor x + y \rfloor \geq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor;];
[;ii);]
[;\{x + y\} \leq \{x\} + \{y\};].

Demonstração:
i) De fato, pelo item iii) da Prop. 1,

[;x + y - 1 \prec \lfloor x + y \rfloor \leq x + y \qquad (1);]
Mas,
[;x-1 \prec \lfloor x \rfloor \leq x \quad \Rightarrow \quad -x \leq -\lfloor x \rfloor \prec - x + 1 \qquad (2);]
e
[;y - 1 \prec \lfloor y \rfloor \leq y \quad \Rightarrow \quad -y \leq -\lfloor y \rfloor \prec - y + 1 \qquad (3);]

Adicionando membro a membro as desigualdades [;(1);], [;(2);] e [;(3);] membro a membro, segue que [;-1 \prec \lfloor x + y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \leq 2;]. Mas, [;\lfloor x + y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \mathbb{Z};], de modo que[;\lfloor x + y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor;] é igual a zero ou igual a um. De qualquer modo
[;\lfloor x + y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \geq 0;], donde segue o resultado.

ii) Este item é consequência imediata do anterior, pois

[;\{x+ y\} = (x + y) - \lfloor x + y\rfloor \leq x + y - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor;]

[;= (x - \lfloor x \rfloor) + (y - \lfloor y \rfloor) = \{x\} + \{y\};]

Existem outras expressões interessantes relacionadas a função piso e a sua parte fracionária, tais como

[;\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi k x)}{k};]

[;\{x\} = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi k x)}{k};]

Outra relação interessante envolvendo esta função e a constante de Euler-Mascheroni [;\gamma \simeq 0,57721566;] é dada por

[;\gamma = \sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lfloor \log_{2} k \rfloor}{k};]

Referência Bibliográfica:
- http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_and_ceiling_functions


Gostará de ler também:
- Sobre a Matriz Mágica;
- A Pulga e a Tira Elástica.

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