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O Método de Fermat Para Tangentes e Para Máximos e Mínimos

Pierre de Fermat [;(1601-1665);] foi um dos maiores matemáticos do século [;XVII;] e uma das descobertas mais importantes feita por Pierre foi descrita alguns anos depois em um tratado chamado Método para achar máximos e mínimos. Neste tratado ele estudou os lugares dados por equações da forma [;y = x^n;] e adotou um modo muito engenhoso para achar retas tangentes e para achar pontos em que a função assume um máximo ou mínimo: comparou o valor de [;f(x);] num ponto com o valor [;f(x + e);] num ponto vizinho.

Para a maioria dos [;x\;], a diferença entre esses valores, [;f(x +e) - f(x);], não era pequena comparada com [;e;], mas Fermat observou que, no topo ou na base de uma curva, essa diferença era muito menor que [;e;]. Essa idéia deu-lhe a equação aproximada

[;\frac{f(x + e) - f(x)}{e} \simeq 0;]

o que torna-se mais e mais aproximadamente correta quando o valor de [;e;] é tomado cada vez menor. Com isto em mente, ele, a seguir, fez [;e=0;], para obter a equação

[;\biggl[\frac{f(x + e) - f(x)}{e}\biggr]_{e = 0} = 0;]

De acordo com Fermat, essa equação é exatamente correta nos pontos de máximo e de mínimo sobre a curva, e resolvendo-as obtém-se os valores de [;x\;] que correspondem a esses pontos. A legitimidade desse procedimento foi um assunto de controvérsia aguda por muitos anos.

Em dos primeiros teste deste procedimento, ele deu a seguinte prova do Teorema de Euclides que o maior retângulo com um dado perímetro é um quadrado. Sendo [;B;] a metade do perímetro e [;x\;] um lado, então [;B - x;] é o lado adjacente e a área é [;f(x) = x(B - x);]. Para maximizar essa área pelo processo descrito acima, calculemos

[;f(x + e) - f(x) = (x + e)[B - (x + e)] - x(B - x) = eB - 2ex - e^2 \quad \Rightarrow;]

[;\frac{f(x + e) - f(x)}{e} = B - 2x - e \quad \Rightarrow;]

[;\biggl[ \frac{f(x + e) - f(x)}{e}\biggr]_{e = 0} = B - 2x;]

A equação de Fermat é, portanto, [;B - 2x = 0;], donde segue que [;x = B/2;] e [;B - x = B/2;] e o maior retângulo é um quadrado.

Enquanto estava desenvolvendo sua geometria analítica, Fermat descobriu também como aplicar seu processo de valores vizinhos para achar a tangente a uma curva algébrica.


Vejamos como ele deduziu uma regra para traçar a retaçar a tangente sobre uma parábola, mesclando sua notação e a notação moderna.

Considere a parábola [;BDN;] com vértice [;D;] e eixo [;DC;]
(eixo [;x\;]). Seja [;B;] um ponto sobre a parábola no qual passa uma reta tangente que intercepta o eixo da parábola no ponto [;E;] . Em seguida, toma-se um ponto arbitrário [;O;] sobre a reta [;BE;], do qual a ordenada [;OI;] é baixada sobre o eixo da parábola. Como [;B;] é um ponto da parábola, então

[;BC^2 = 2p\cdot CD \qquad (1);]

onde [;p;] é o parâmetro da parábola. Seja [;O^{\prime};]um ponto da parábola sobre [;OI;], de modo que [;OI = O^{\prime}I + \epsilon;]. Assim,

[;2pDI = O^{\prime}I^2 = (OI - \epsilon)^2 \quad \Rightarrow \quad 2pDI + 2\epsilon OI \simeq OI^2 \quad \Rightarrow;]

[;2pDI \prec OI^2 \qquad (2);]

Dividindo membro a membroo as expressões [;(1);] e [;(2);], temos

[;\frac{2pDI}{2pCD} \prec \frac{OI^2}{BC^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{CD}{DI} \succ \frac{BC^2}{OI^2} \qquad (3);]

Por outro lado, [;\triangle BCE \sim \triangle OIE;], de modo que

[;\frac{BC}{OI} = \frac{CE}{IE} \quad \Rightarrow \quad \frac{BC^2}{OI^2} = \frac{CE^2}{IE^2} \qquad (4);]

Portanto, de [;(3);] e [;(4);], segue que

[;\frac{CD}{DI} \succ \frac{CE^2}{IE^2} \qquad (5);]

Agora, se os pontos [;C;] e [;D;] são dados, então conhecemos a ordenada [;BC;] e o segmento [;CD;]. Deste modo, sejam [;CD = d;], [;CE = a;] e [;CI = e;]. Assim, [;DI = CD - CI = d - e;] e [;IE = CE - CI = a - e;]. Da expressão [;(5);], temos

[;\frac{d}{d - e} \succ \frac{a^2}{(a - e)^2} \quad \Rightarrow d(a - e)^2 \succ a^2(d - e) \quad \Rightarrow;]

[;de^2 - 2dae \simeq -a^2e \quad \Rightarrow \quad de - 2da \simeq -a^2 \quad \Rightarrow;]

[;de + a^2 = 2da;]

O último passo, é remover [;de;] para obter [;a^2 = 2da;] ou [;a = 2d;]. Portanto, provamos que [;CE;] é o dobro de [;CD;].

Usando métodos de Cálculo, dada a parábola [;y^2 = 2px;], prova-se facilmente este resultado.

Referência Bibliográfica:
- Galarda, Lilian J., Silva, E. E. Sophia, Rossi, M. M. Suely. A Evolução do Cálculo Através da História. Ed. da Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória, ES, 1999.
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. Ed. McGraw-Hill, São Paulo, 1987.

Gostará de ler também:
- Pierre de Fermat;
- A Primeira Retificação de uma Curva;
- Issac Barrow;
- Alguns Problemas de Otimização sem o Uso da Derivada.

2 comentários:

  1. Belo artigo prof. !

    Interessante notar o quanto a formalização do Cálculo diferencial , facilitou nossas vidas !

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  2. O Cálculo é a evolução do pensamento matemático do ser humano e veio para ficar, pois passou em todas as provas de aplicabilidade que nosso mundo moderno necessita. Obrigado pelo seu comentário e volte sempre.

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