FATOS MATEMÁTICOS: O Volume do Elipsóide de Revolução Pelo Método da Alavanca

quarta-feira, 2 de novembro de 2011

O Volume do Elipsóide de Revolução Pelo Método da Alavanca

Neste post, usaremos seguiremos os passos do grande matemático Arquimedes para calcular o volume do elipsóide de revolução através do método da alavanca. Para compreender melhor esta técnica recomendo que leia os posts Arquimedes e o Volume da Esfera e Arquimedes e o Volume do Parabolóide de Revolução.

Considere o elipsóide de revolução gerado pela rotação da região delimitada pela elipse

$[;\frac{(x - a)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (1);]$

em torno do eixo $[;x\ ;]$ . Note que essa elipse é tangente ao eixo $[;y;]$ . Em seguida, considere também o cilindro de raio $[;b;]$ e altura $[;2a;]$ e o cone de raio $[;b;]$ e altura $[;2a;]$ , conforme a figura acima.

Multiplicando a expressão $[;(1);]$ por $[;a^2b^2;]$ , temos:

$[;b^2(x - a)^2 + a^2y^2 = a^2b^2 \quad \Rightarrow \quad b^2(x^2 - 2ax + a^2) + a^2y^2 = a^2b^2 \quad \Rightarrow;]$

$[;b^2x^2 + a^2y^2 = 2ab^2x \qquad (2);]$

Para aplicar o método da alavanca, multiplicamos $[;(2);]$ por $[;\pi/(2a)^2;]$ para obter

$[;\frac{\pi b^2x^2}{4a^2} + \frac{\pi a^2y^2}{4a^2} = \frac{2a\pi b^2 x}{4a^2} \quad \Rightarrow;]$

$[;\pi \biggl(\frac{bx}{2a}\biggr)^2 + \frac{\pi y^2}{4} = \frac{x}{2a}\cdot \pi b^2 \quad \Rightarrow;]$

$[;2a\biggl[\pi \biggl(\frac{bx}{2a}\biggr)^2 + \frac{\pi y^2}{4} \biggr] = x\pi b^2 \qquad (3);]$

Na expressão $[;(3);]$ , o termo $[;\pi (bx/2a)^2;]$ pode ser interpretado como sendo a área da seção transversal do cone, o termo $[;\pi b^2;]$ é interpretado como sendo a área da seção transversal do cilindro de raio $[;b;]$ e altura $[;2a;]$ .

Neste método, imaginamos uma alavanca com o fulcro na origem com as áreas $[;\pi (bx/2a)^2;]$ e $[;\pi y^2/4;]$ a $[;2a;]$ unidades de distância desse fulcro e a área $[;\pi b^2;]$ a uma distância $[;x\;]$ a direita do fulcro. Segue da expressão $[;(3);]$ , que elas satisfazem a lei da alavanca de Arquimedes.

Fazendo $[;x\;]$ variar de $[;0;]$ a $[;2a;]$ , as três seções transversais varrem seus respectivos sólidos e os preenchem. Sendo $[;a;]$ o centro de gravidade do cilindro, então

$[;2a\biggl[\frac{\pi b^2\cdot 2a}{3} + \frac{V}{4}\biggr] = \pi b^2 2a\cdot a \quad \Rightarrow \frac{V}{4} = \pi ^2b^2 a - \frac{2\pi b^2 a}{3} = \frac{\pi b^2a}{3} \quad \Rightarrow;]$