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quarta-feira, 2 de novembro de 2011

O Volume do Elipsóide de Revolução Pelo Método da Alavanca

Neste post, usaremos seguiremos os passos do grande matemático Arquimedes para calcular o volume do elipsóide de revolução através do método da alavanca. Para compreender melhor esta técnica recomendo que leia os posts Arquimedes e o Volume da Esfera e Arquimedes e o Volume do Parabolóide de Revolução.

Considere o elipsóide de revolução gerado pela rotação da região delimitada pela elipse
[;\frac{(x - a)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (1);]

em torno do eixo [;x\ ;]. Note que essa elipse é tangente ao eixo [;y;]. Em seguida, considere também o cilindro de raio [;b;] e altura [;2a;] e o cone de raio [;b;] e altura [;2a;], conforme a figura acima.

Multiplicando a expressão [;(1);] por [;a^2b^2;], temos:

[;b^2(x - a)^2 + a^2y^2 = a^2b^2 \quad \Rightarrow \quad b^2(x^2 - 2ax + a^2) + a^2y^2 = a^2b^2 \quad \Rightarrow;]

[;b^2x^2 + a^2y^2 = 2ab^2x \qquad (2);]

Para aplicar o método da alavanca, multiplicamos [;(2);] por [;\pi/(2a)^2;] para obter

[;\frac{\pi b^2x^2}{4a^2} + \frac{\pi a^2y^2}{4a^2} = \frac{2a\pi b^2 x}{4a^2} \quad \Rightarrow;]

[;\pi \biggl(\frac{bx}{2a}\biggr)^2 + \frac{\pi y^2}{4} = \frac{x}{2a}\cdot \pi b^2 \quad \Rightarrow;]

[;2a\biggl[\pi \biggl(\frac{bx}{2a}\biggr)^2 + \frac{\pi y^2}{4} \biggr] = x\pi b^2 \qquad (3);]

Na expressão [;(3);], o termo [;\pi (bx/2a)^2;] pode ser interpretado como sendo a área da seção transversal do cone, o termo [;\pi b^2;] é interpretado como sendo a área da seção transversal do cilindro de raio [;b;] e altura [;2a;].

Neste método, imaginamos uma alavanca com o fulcro na origem com as áreas [;\pi (bx/2a)^2;] e [;\pi y^2/4;] a [;2a;]unidades de distância desse fulcro e a área [;\pi b^2;] a uma distância [;x\;] a direita do fulcro. Segue da expressão [;(3);], que elas satisfazem a lei da alavanca de Arquimedes.

Fazendo [;x\;] variar de [;0;] a [;2a;], as três seções transversais varrem seus respectivos sólidos e os preenchem. Sendo [;a;] o centro de gravidade do cilindro, então

[;2a\biggl[\frac{\pi b^2\cdot 2a}{3} + \frac{V}{4}\biggr] = \pi b^2 2a\cdot a \quad \Rightarrow \frac{V}{4} = \pi ^2b^2 a - \frac{2\pi b^2 a}{3} = \frac{\pi b^2a}{3} \quad \Rightarrow;]

[;V = \frac{4\pi b^2 a}{3};]

Gostará de ler também:

- Uma Fórmula Para Calcular a Área do Elipsóide de Revolução;
- Volume do Elipsóide Pelo Princípio de Cavalieri;
- Uma Fórmula Para Calcular o Comprimento da Elipse;
- O Volume do Barril Elíptico;
- A Propriedade Refletora da Elipse;
- Alguns Fatos Sobre a Elipse;
- Triângulos de Área Constante na Elipse.

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