FATOS MATEMÁTICOS: Superfícies Quádricas: O Elipsóide e a Superfície Esférica

domingo, 20 de novembro de 2011

Superfícies Quádricas: O Elipsóide e a Superfície Esférica

A equação geral de uma superfície quádrica é dada por

$[;Ax^2 + y^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \qquad (1);]$

em que $[;A,B,C,D,E,F,G,H,I;]$ e $[;J;]$ não são simultaneamente nulos. Chama-se traço, a curva obtida da interseção de uma superfície com um plano. A interseção de uma superfície quádrica com os planos coordenados é uma seção cônica (parábola, elipse ou hipérbole).

Através de mudanças de coordenadas (rotações ou translações), a equação $[;(1);]$ pode ser transformada em uma das formas:

$[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + J = 0 \qquad (2);]$

$[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Gx = 0 \qquad (3);]$

$[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Hy = 0 \qquad (4);]$

$[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Iz = 0 \qquad (5);]$

Se nenhum dos coeficientes da equação $[;(2);]$ é nulo, esta expressão é chamada de quádrica centrada e é dada por

$[;\pm \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} = 1 \qquad (6);]$

sendo,

$[;\frac{1}{a^2} = -\frac{A}{J} \qquad \frac{1}{b^2} = -\frac{B}{J} \qquad \frac{1}{c^2} = -\frac{C}{J};]$

Esta expressão é chamada forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica centrada. Os elipsóides são as superfícies quádricas obtidas da expressão $[;(6);]$ tomando todos os sinais positivos. Deste modo, sua equação é

$[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{ c^2} = 1;]$

O traço de um elipsóide é uma elipse ou circunferência. Além disso,

$[;i);]$ Se $[;a = b;]$ , o elipsóide é chamado elipsóide de revolução em torno do eixo $[;z;]$ . Sua interseção com qualquer plano paralelo ao plano $[;xy;]$ é uma circunferência. Sua equação é dada por

$[;x^2 + y^2 + \frac{a^2z^2}{c^2} = a^2;]$

$[;ii);]$ Se $[;a = c;]$ , o elipsóide é chamado elipsóide de revolução em torno do eixo $[;y;]$ . Sua interseção com qualquer plano paralelo ao plano $[;xz;]$ é uma circunferência. Sua equação é dada por

$[;x^2 + \frac{a^2y^2}{b^2} + z^2 = a^2;]$

$[;iii);]$ Se $[;b = c;]$ , o elipsóide é chamado elipsóide de revolução em torno do eixo $[;x\;]$ . Sua interseção com qualquer plano paralelo ao plano $[;yz;]$ é uma circunferência. Sua equação é dada por

$[;\frac{b^2z^2}{a^2} + y^2 + z^2 = b^2;]$

$[;iv);]$ Se $[;a = b = c = R;]$ , o elipsóide transforma-se em uma superfície esférica cuja equação é dada por

$[;x^2 + y^2 + z^2 = R^2;]$

O centro das superfícies acima é a origem do sistema de coordenadas. Se o centro é o ponto $[;C(x_0,y_0,z_0);]$ é possível mostrar através de translação de eixos que a equação do elipsóide é dada por