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Superfícies Quádricas: O Elipsóide e a Superfície Esférica

A equação geral de uma superfície quádrica é dada por

[;Ax^2 + y^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \qquad (1);]

em que [;A,B,C,D,E,F,G,H,I;] e [;J;] não são simultaneamente nulos. Chama-se traço, a curva obtida da interseção de uma superfície com um plano. A interseção de uma superfície quádrica com os planos coordenados é uma seção cônica (parábola, elipse ou hipérbole).

Através de mudanças de coordenadas (rotações ou translações), a equação [;(1);] pode ser transformada em uma das formas:

[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + J = 0 \qquad (2);]

[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Gx = 0 \qquad (3);]

[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Hy = 0 \qquad (4);]

[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Iz = 0 \qquad (5);]

Se nenhum dos coeficientes da equação [;(2);] é nulo, esta expressão é chamada de quádrica centrada e é dada por

[;\pm \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} = 1 \qquad (6);]
sendo,

[;\frac{1}{a^2} = -\frac{A}{J} \qquad \frac{1}{b^2} = -\frac{B}{J} \qquad \frac{1}{c^2} = -\frac{C}{J};]

Esta expressão é chamada forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica centrada. Os elipsóides são as superfícies quádricas obtidas da expressão [;(6);] tomando todos os sinais positivos. Deste modo, sua equação é

[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{ c^2} = 1;]

O traço de um elipsóide é uma elipse ou circunferência. Além disso,

[;i);] Se [;a = b;], o elipsóide é chamado elipsóide de revolução em torno do eixo [;z;]. Sua interseção com qualquer plano paralelo ao plano [;xy;] é uma circunferência. Sua equação é dada por

[;x^2 + y^2 + \frac{a^2z^2}{c^2} = a^2;]

[;ii);] Se [;a = c;], o elipsóide é chamado elipsóide de revolução em torno do eixo [;y;]. Sua interseção com qualquer plano paralelo ao plano [;xz;] é uma circunferência. Sua equação é dada por

[;x^2 + \frac{a^2y^2}{b^2} + z^2 = a^2;]

[;iii);] Se [;b = c;], o elipsóide é chamado elipsóide de revolução em torno do eixo [;x\;]. Sua interseção com qualquer plano paralelo ao plano [;yz;] é uma circunferência. Sua equação é dada por

[;\frac{b^2z^2}{a^2} + y^2 + z^2 = b^2;]

[;iv);] Se [;a = b = c = R;], o elipsóide transforma-se em uma superfície esférica cuja equação é dada por

[;x^2 + y^2 + z^2 = R^2;]

O centro das superfícies acima é a origem do sistema de coordenadas. Se o centro é o ponto [;C(x_0,y_0,z_0);] é possível mostrar através de translação de eixos que a equação do elipsóide é dada por

[;\frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} + \frac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1;]

Gostará de ler também:
- As Superfícies de Revolução;
- O Volume do Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri;
- Uma Fórmula Para Calcular a Área do Elipsóide de Revolução;
- Distância Entre Dois Pontos Sobre a Superfície Terrestre;
- O Volume do Elipsóide de Revolução pelo Método da Alavanca.

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