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A Matriz Projeção de um Vetor Sobre uma Reta do Plano Cartesiano

Seja [;r;] uma reta no plano [;\mathbb{R}^2;] que passa pela origem com vetor diretor [;\vec{v} = (\cos \theta, \sin \theta);]. Geometricamente, o subespaço gerado pelo vetor unitário [;\vec{v};] , denotado por [;[\vec{v}];] representa a reta [;r;].

Dado o vetor [;\vec{u} = (x,y);], queremos determinar a matriz da transformação linear [;P;]que projeta este vetor sobre a reta [;r;]. Da figura acima, note que

[;P\vec{u} = proj_{\vec{v}}\vec{u} = \biggl(\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}} \biggr)\vec{v};]

Sendo [;\vec{v};] um vetor unitário, segue que [;\vec{v}\cdot \vec{v} = \|\vec{v}\|^2 = 1;], de modo que

[;P\vec{u} = (\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{v} = [(x,y)\cdot (\cos \theta, \sin \theta)](\cos \theta, \sin \theta);]

[;= (x\cos \theta + y\sin \theta)(\cos \theta, \sin \theta);]

[;=(x \cos^2\theta + y\sin \theta \cos \theta, x\cos \theta \sin \theta + y\sin^2 \theta);]

[;=\begin{bmatrix}\cos^2\theta & \sin \theta \cos \theta\\\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix};]

Logo, a matriz da transformação linear [;P;] é dada por

[;P = \begin{bmatrix}\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta\\\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta\\\end{bmatrix}\qquad (1);]

Observe que [;P;] é uma matriz simétrica, pois [;P^{T} = P;]. Além disso, dado [;P\vec{u};] em [;r;], a projeção adicional a [;r;], não tem nenhum efeito sobre [;P\vec{u};], isto é,

[;P(P\vec{u}) = P^2\vec{u} = P\vec{u} \qquad (2);]

Deste modo, a matriz projeção [;P;] pertence a uma classe especial de matrizes chamadas matrizes idempotentes.

O resultado obtido em [;(2);] pode ser deduzido diretamente de [;(1);] multiplicando a matriz [;P;] por ela mesma. Além disso, se [;\vec{u}=(x,y);] é projetado sobre o eixo [;x\;], então é claro que [;P\vec{u} = (x,0);]. Este resultado segue também de [;(1);], fazendo [;\theta = 0^{\circ};], isto é,

[;P\vec{u} = \begin{bmatrix}\cos^2 0^{\circ} & \sin 0^{\circ}\cos 0^{\circ}\\\sin 0^{\circ}\cos 0^{\circ} & \sin^2 0^{\circ}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix};]

[;=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x + 0\\0 + 0\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x\\0\\\end{bmatrix};]

Outra aplicação da matriz projeção no plano cartesiano é a fórmula da distância de um ponto a uma reta que passa pela origem que anunciaremos através da proposição seguinte:

Proposição 1: A distância do ponto [;P_0(x_0,y_0);] à reta [;y = mx;] é dada por

[;d_{P_0,r} = \frac{|mx_0 - y_0|}{\sqrt{1 + m^2}} \qquad (3);]

Demonstração: Sendo [;m = \tan \theta;], podemos tomar como vetor unitário na direção da reta [;r;] o vetor [;\vec{v} = (\cos \theta, \sin \theta);]. Se [;\vec{u} = \vec{OP_0} = (x_0,y_0);], segue da figura acima que

[;d_{P_0,r} = |\vec{u} - proj_{\vec{v}}\vec{u}| = |\vec{u} - P\vec{u}|;]

[;=|(x_0 - x_0\cos^2\theta - y_0\sin \theta \cos \theta, y_0 - x_0\cos \theta \sin \theta - y_0\sin^2\theta)|;]

[;=\sqrt{\sin^2\theta (x_0\sin \theta - y_0\cos \theta)^2 + \cos^2\theta (y_0\cos \theta - x_0\sin \theta)^2};]

[;=\sqrt{(x_0\sin \theta - y_0\cos \theta)^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)} = |x_0\sin \theta - y_0\cos \theta|;]

Por outro lado,
[;\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \qquad \text{e} \qquad \sin \theta = \frac{m}{\sqrt{1 + m^2}};]

donde segue que
[;d_{P_0,r} = | \frac{x_0m}{\sqrt{1 + m^2}} - \frac{y_0}{\sqrt{1 +m^2}} \mid = \frac{\mid mx_0 - y_0 \mid}{\sqrt{1 + m^2}};]

Gostará de ler também:
- Distância de um Ponto à uma Reta Através do Vetor Projeção;
- Sobre o Vetor Projeção;
- Cálculo de Áreas Através do Vetor Projeção;
- Retas Perpendiculares no Plano;
- Sobre o Vetor Normal à uma Reta do Plano.

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