FATOS MATEMÁTICOS: A Matriz Projeção de um Vetor Sobre uma Reta do Plano Cartesiano

terça-feira, 13 de dezembro de 2011

A Matriz Projeção de um Vetor Sobre uma Reta do Plano Cartesiano

Seja $[;r;]$ uma reta no plano $[;\mathbb{R}^2;]$ que passa pela origem com vetor diretor $[;\vec{v} = (\cos \theta, \sin \theta);]$ . Geometricamente, o subespaço gerado pelo vetor unitário $[;\vec{v};]$ , denotado por $[;[\vec{v}];]$ representa a reta $[;r;]$ .

Dado o vetor $[;\vec{u} = (x,y);]$ , queremos determinar a matriz da transformação linear $[;P;]$ que projeta este vetor sobre a reta $[;r;]$ . Da figura acima, note que

$[;P\vec{u} = proj_{\vec{v}}\vec{u} = \biggl(\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}} \biggr)\vec{v};]$

Sendo $[;\vec{v};]$ um vetor unitário, segue que $[;\vec{v}\cdot \vec{v} = \|\vec{v}\|^2 = 1;]$ , de modo que

$[;P\vec{u} = (\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{v} = [(x,y)\cdot (\cos \theta, \sin \theta)](\cos \theta, \sin \theta);]$

$[;= (x\cos \theta + y\sin \theta)(\cos \theta, \sin \theta);]$

$[;=(x \cos^2\theta + y\sin \theta \cos \theta, x\cos \theta \sin \theta + y\sin^2 \theta);]$

$[;=\begin{bmatrix}\cos^2\theta & \sin \theta \cos \theta\\\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix};]$

Logo, a matriz da transformação linear $[;P;]$ é dada por

$[;P = \begin{bmatrix}\cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta\\\sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta\\\end{bmatrix}\qquad (1);]$

Observe que $[;P;]$ é uma matriz simétrica, pois $[;P^{T} = P;]$ . Além disso, dado $[;P\vec{u};]$ em $[;r;]$ , a projeção adicional a $[;r;]$ , não tem nenhum efeito sobre $[;P\vec{u};]$ , isto é,

$[;P(P\vec{u}) = P^2\vec{u} = P\vec{u} \qquad (2);]$

Deste modo, a matriz projeção $[;P;]$ pertence a uma classe especial de matrizes chamadas matrizes idempotentes.

O resultado obtido em $[;(2);]$ pode ser deduzido diretamente de $[;(1);]$ multiplicando a matriz $[;P;]$ por ela mesma. Além disso, se $[;\vec{u}=(x,y);]$ é projetado sobre o eixo $[;x\;]$ , então é claro que $[;P\vec{u} = (x,0);]$ . Este resultado segue também de $[;(1);]$ , fazendo $[;\theta = 0^{\circ};]$ , isto é,

$[;P\vec{u} = \begin{bmatrix}\cos^2 0^{\circ} & \sin 0^{\circ}\cos 0^{\circ}\\\sin 0^{\circ}\cos 0^{\circ} & \sin^2 0^{\circ}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix};]$

$[;=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x + 0\\0 + 0\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x\\0\\\end{bmatrix};]$

Outra aplicação da matriz projeção no plano cartesiano é a fórmula da distância de um ponto a uma reta que passa pela origem que anunciaremos através da proposição seguinte:

Proposição 1: A distância do ponto $[;P_0(x_0,y_0);]$ à reta $[;y = mx;]$ é dada por

$[;d_{P_0,r} = \frac{|mx_0 - y_0|}{\sqrt{1 + m^2}} \qquad (3);]$

Demonstração: Sendo $[;m = \tan \theta;]$ , podemos tomar como vetor unitário na direção da reta $[;r;]$ o vetor $[;\vec{v} = (\cos \theta, \sin \theta);]$ . Se $[;\vec{u} = \vec{OP_0} = (x_0,y_0);]$ , segue da figura acima que