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O Método de Fermat Para a Quadratura de [;x^n;]

Já apresentamos a biografia do grande matemático do século [;XVII;], Pierre de Fermat e o seu método para determinar tangentes a uma curva e também para resolução de problemas de máximos e mínimos. Suas grandes realizações no Cálculo Diferencial, antecipando as ideias de Newton e Leibniz foram acompanhadas por realizações de mesma grandeza no Cálculo Integral.

Neste post, mencionaremos uma: o cálculo realizado por Fermat da área sob a curva [;y = x^n;] de [;x = 0;] a [;x = b;] para todo inteiro positivo [;n;]. Em notação moderna, isto equivale ao cálculo da integral

[;\int_{0}^{b}x^ndx = \frac{b^{n+1}}{n+1};]

O matemático italiano Cavalieri tinha provado essa fórmula por métodos cada vez mais laboriosos para [;n=1,2,\ldots,9;], mas não conseguiu provar o caso [;n = 10;]. Fermat descobriu uma bela e nova abordagem que funcionava com igual facilidade para todos os [;n;] positivos.

Fermat usou somas superiores semelhantes aquelas usadas por Cavalieri, mas baseadas numa divisão do intervalo [;[0,b];] num número infinito de subintervalos diferentes, como está sugerido na figura abaixo.

Iniciemos com um número positivo fixo [;r \prec 1;] (mas próximo de [;1;]), produzindo os pontos de divisão da figura abaixo.

A somas das áreas de todos os retângulos superiores, iniciando pela direita, é uma soma infinita que depende de [;r;] e que é dada por

[;S_r = b^r(b - rb) + (rb)^r(rb - r^2b) + (r^2b)^n + \ldots;]

[;=b^{n+1}(1 - r) + b^{n+1}r^{n+1}(1 - r) + b^{n+1}r^{n+2}(1 - r) + \ldots;]

[;=b^{n+1}(1 - r)[1 + r^{n+1} + (r^{n+1})^2+\ldots];]

[;=\frac{b^{n+1}(1 - r)}{1 - r^{n+1}} \qquad (1);]

Note que na expressão [;(1);], usamos o fato que se [;|x| \prec 1;], então

[;1 + x + x^2 + \ldots = \frac{1}{1 - x};]

Também de [;(1);], usando a soma parcial da série geométrica segue que

[;S_r = \frac{b^{n+1}}{\frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}} = \frac{1}{1 + r + r^2+\ldots + r^n};]

Se agora fizermos [;r \to 1;], vemos que cada um dos [;n+1;] termos do denominador da última expressão também tende a [;1;], logo chegamos a nosso resultado:

[;\lim_{r \to 1} S_r = \frac{b^{n+1}}{n+1};]
ou seja,
[;\int_{0}^{b}x^ndx = \frac{b^{n+1}}{n+1};]
para todo inteiro positivo [;n;].

Referência Bibliográfica:
- Simmons, George B. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. Ed. Mc Graw-Hill, São Paulo, [;1987;].

Gostará de ler também:
- Integral Definida: Conceitos e Propriedades;
- A Integral Definida e o Limites de Somas;
- Pierre de Fermat;
- O Método de Fermat Para Tangentes e Para Máximos e Mínimos.

2 comentários:

  1. olá professor,
    estou escrevendo um trabalho sobre história dos logaritmos e me deparei com a formula de fermat. todo material que encontrei faz o mesmo procedimento de isolar (1-r) na etapa(1) isso acontece porque fermat fez assim, porem seguindo um rigor matemático não podemos fazer isso pois trata-se de uma soma infinita. tentei considerar como uma soma finita de k retangulos e depois tender k ao infinito, mas encontro um resultado diferente da integral de x^n. se vc tiver algum material para me auxiliar agradeceria muito. obrigado
    Marcos Borges de Oliveira

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    1. Desde que r < 1, isto pode ser feito na etapa 1. Pode ser usado indução finita para provar tal identidade. Além disso, a soma em (1) é finita, mas ela tornará cada vez maior quando r aproximar cada vez mais de 1. Estas passagens do finito para o infinito ou uso de infinitésimos esteve presente nas obras de vários matemáticos dos séculos XVII
      e XVIII. Somente no século XIX, com o conceito preciso de convergência de séries numéricas que estas questões foram respondidas de forma adequada.

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