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quinta-feira, 22 de dezembro de 2011

O Problema da Herança

Um pai antes de morrer fez um testamento cerrado e, com duas testemunhas, depositou-o num cartório. Após a morte do testador, as duas testemunhas foram comunicar aos dois filhos da existência do testamento. O testamento foi apresentado ao juiz, este o abriu e em seguida leu para conhecimento dos dois filhos. No testamento estava escrito: deixo como herança, para meus dois filhos João e José, um terreno com área igual a [;10.000\ m^2;]; João (filho legítimo) receberá mais de [;64;]% da área e José (filho adotivo) receberá menos de [;36;] %. Como não sou matemático, não sei ao certo que área receberá cada filho, mas que a justiça seja feita ao meu filho adotivo. Pergunta-se: que área deverá receber cada filho?

O juiz mandou o tabelião convocar duas pessoas da cidade, Antônio e Manoel, que eram consideradas como especialistas no cálculo de áreas. Ao serem apresentados ao juiz, este entregou o problema aos calculistas de área, e disse-lhes:

- Não há pressa em resolver o problema, o que espero é que o resolvam. Caso resolvam, será dada uma boa recompensa pelos herdeiros.

Os calculistas ao começar resolver o problema, notaram que para solucioná-lo teriam que resolver a seguinte equação: [;x^2 + y^2 = 10000;]. Antônio disse para Manoel:

- Se conseguirmos achar o valor de [;x\;] ou de [;y;] o problema está resolvido.

Manoel respondeu:

- Ora, como a raiz quadrada de [;10000;] é [;100;], logo, basta elevar ao quadrado cada número de [;1;] a [;99;] e subtrair de [;100;], se o resultado for um quadrado perfeito, então, o problema está resolvido.

Antônio deu a seguinte sugestão:

- Manoel, como são ao todo [;100;] números, e [;10000 -50^2 = 7500;], não é um quadrado perfeito, então, restarão [;99;] números. Nesse caso vamos dividir a tarefa: você eleva ao quadrado os números de [;1;] a [;49;]e subtraia de [;10000;]; e eu faço o mesmo de [;51;] a [;99;].

Manoel chegou a um quadrado perfeito, primeiro do que Antônio: [;10000 - 60^2 = 80^2;]. Então gritou:

- EUREKA!

Antônio, pergunta:

- Qual a área que cada filho irá receber e qual a percentagem em relação a área total?

- Manoel explica: [;10000 = 60^2 + 80^2 = 3600\ m^2 + 6400\ m^2;].

[;\frac{3600}{10000}\cdot 100 = 36;] por cento
e
[;\frac{6400}{10000}\cdot 100 = 64;] por cento

Resposta: José (o filho adotivo) recebe [;3600\ m^2;] da herança e João (o filho legítimo), [;6400\ m^2;].

- Manoel indaga:

- Mas a resposta não está de acordo com o testamento.

- Por quê? Pergunta Manoel.

- Porque no testamento está claro:

"João (filho legítimo) receberá mais de 64% da área, e José (filho adotivo) receberá menos de 36%. Como não sou matemático, não sei ao certo que área receberá cada filho, mas que a justiça seja feita ao meu filho adotivo." E na solução do problema, nem João recebeu mais de 64% da herança, e nem José, menos de 36%.

Manoel olha para Antônio e pergunta:

- Será que não existe outra solução para o problema?

Antônio responde:

- Se você acha que pode existir outra solução, então, continuemos a elevar ao quadrado os restantes dos números.

Dessa vez, Antônio chegou a um quadrado perfeito primeiro do que Antônio: [;10000 - 28^2 = 96^2;].

Então gritou:

- EUREKA!...

Manoel, pergunta:

- Qual a área que cada filho irá receber e qual a percentagem em relação a área total?

- Antônio explica:

[;10000 = 28^2 + 96^2 = 784\ m^2 + 9216\ m^2;]

[;\frac{784}{10000}\cdot 100 = 7,84;] por cento
e
[;\frac{9216}{10000}\cdot 100 = 92,16;] por cento

Resposta: José (o filho adotivo) recebe [;784\ m^2;] (7,84% [;\prec;] 36%) da herança, e João (o filho legítimo), [;9216\ m^2;] (92,16% [;\prec;] 64%). Agora sim, a solução está de acordo com o testamento.

Manoel não concorda, e diz:

A resposta ainda não está de acordo com o testamento. O pai escreveu no testamento: "Como não sou matemático, não sei ao certo que área receberá cada filho, mas que a justiça seja feita ao meu filho adotivo". O enigma está na frase: ... mas que a justiça seja feita ao meu filho adotivo.

Antônio disse:

- Vamos levar as duas soluções ao juiz, e ele decide qual a solução é mais justa para o filho adotivo.

O juiz ao tomar conhecimento das duas soluções, apresentadas por Antônio e Manoel, anunciou que iria analisar as soluções sem deixar de considerar a frase enigmática: "...mas que a justiça seja ao meu filho adotivo". E no dia seguinte daria seu veredicto.

Se você, caro leitor, estivesse no lugar do juiz, qual a divisão mais justa para atender ao pedido do falecido? "... mas que a justiça seja feita ao meu filho adotivo."

Se Antônio e Manoel tivessem tido a sorte de ler o trabalho - Representação dos Naturais Como Soma de Dois Quadrados - escrito pelo professor Paulo Sérgio, e publicado no Blog FATOS MATEMÁTICOS, eles teriam encontrado as duas soluções mais rapidamente. Se não vejamos.

Há onze maneiras de escrever [;10000;] como o produto de fatores primos, uma delas é: [;10000 = 2\times 5000 = 10\times 1000;].

[;10 = 1^2 + 3^2 \quad \text{e} \quad 1000 = 18^2 + 26^2;]

[;x^2 + y^2 = 1000 = (1^2 + 3^2)(18^2 + 26^2);]

Para achar [;x\;] e [;y;], considere os números complexos [;z_1;] e [;z_2;] formados pelas parcelas dos números [;10;] e [;1000;].

[;z_1 = 1 + 3i \quad \text{e} \quad z_2 = 18 + 26i;]

[;z_1z_2 = (1 + 3i)(18 + 26i) = 18 + 80i + 78i^2;]

Como [;i^2 = -1;], então [;18 + 80i + (-78) = -60 + 80i;]. Portanto, [;x = 60;] e [;y = 80;]. Trocando o sinal de [;3i;], obtém-se outra solução:

[;(1 - 3i)(18 + 26i) = 96 - 28i;]

Portanto, [;x = 96;] e [;y = 28;]

Antônio disse:

- Vamos levar as duas soluções ao juiz, e ele decide qual a solução é mais justa para o filho adotivo.

O juiz ao tomar conhecimento das duas soluções, apresentadas por Antônio e Manoel, anunciou que iria analisá-la sem deixar de considerar a frase enigmática: "...mas que a justiça seja feita ao meu filho adotivo." E no dia seguinte daria seu veredicto.

Se você, caro leitor, estivesse no lugar do juiz, qual a divisão mais justa para atender ao pedido do falecido? "... mas que a justiça seja feita ao meu filho adotivo."

CONCLUSÃO:


Para que ensinar números complexo, somente pelo fato desse assunto fazer parte do currículo do Ministério da Educação? Para mim é coisa que, isolada, não significa absolutamente nada. Pior atrapalha a carreira de muitos jovens. Como podemos esperar algum resultado do ensino da matemática, se cujas ementas não mencionam aplicações? Ou será que o que consta nas ementas é apenas para ser cobrado nas provas?

Como seria estimulante, para todos os alunos, se o professor mostrasse o quanto é poderoso fundamental aquilo que estão aprendendo!

Diante do exposto, podemos afirmar que:

a) a aversão que o aluno tem à matemática, decorre da distância que o Ensino Fundamental, Médio e Superior guarda da realidade em que vive;

b) já que o aluno não consegue fazer a conexão entre o que aprende e suas necessidades do dia a dia, daí vem o desinteresse e, em consequência, a aversão à matemática;

c) toda a matemática do Ensino Fundamental e Médio é importante para a vida do aluno, mas forma como é "ensinada" não serve para nada.

Artigo enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor titular (por concurso) aposentado da UFCG - Universidade Federal de Campina Grande - PB. Cidade: Campina Grande - PB. e-mail: se.ba@uol.com.br

Gostará de ler também os outros artigos do mesmo autor:

- Método de Newton Para Calcular [;\sqrt[n]{1 + i};];
- Três Fórmulas no Sistema de Amortização Constante (SAC) que não Existem em Nenhum Livro de Matemática Financeira.

4 comentários:

  1. Que problema maluco!!! Parece fácil no começo e cada vez piora mais!!! Parabens!!!

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  2. Queria aproveitar e deixar os parabens pelo site tb!!!

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  3. Prof. Paulo,
    Seria irretocável o artigo que descreve um problema puramente matemático, se do início ao fim, não houvesse a citação da figura do juiz, pois, a solução do Magistrado, certamente deveria dividir o terreno entre três partes iguais, posto que não existe distinção entre os filhos biológicos e adotivos na divisão da herança. O problema apenas reforça uma cultura de que a filiação ou a paternidade por adoção são formas de constituição de família diferentes do que a biológica, discriminando-a e reforçando o preconceito.

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  4. Excelente problema, e ótima solução usando números complexos.
    Quando à conclusão final, estou de completo acordo. O currículo deveria dar mais ênfase à áreas mais belas da Matemática, como a Teoria dos Números, Grafos, Geometria. Ao contrário, dão ênfase demais em áreas que servem mais à computadores e programadores, como a Álgebra Linear e o estudo das Matrizes.

    Fica o meu Feliz Natal aqui professor, e continue com seu excelente trabalho, sempre divulgando a Rainha das Ciências.
    Abraço.

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