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Superfícies Quádricas: O Hiperbolóide de uma Folha

A equação geral de uma superfície quádrica é dada por

[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \qquad (1);]

em que [;A,B,C,D,E,F,G,H,I;] e [;J;] não são simultaneamente nulos. Através de rotações de eixos, podemos eliminar os termos mistos [;xy;], [;xz;] e [;yz;], obtendo a equação

[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Gx + Hy + Iz + J = 0 \qquad (2);]

Se [;G = H = I = 0;], a equação [;(2);] representa uma quádrica centrada e é dada por

[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 = -J \qquad (3);]

Se [;J = 0;], o único ponto que satisfaz a equação é a origem do sistema de coordenadas [;(0,0,0);]. Suponhamos então [;J \neq 0;] e sejam

[;\frac{1}{a^2} = -\frac{A}{J} \qquad \frac{1}{b^2} = -\frac{B}{J} \qquad \frac{1}{c^2} = -\frac{C}{J};]

Assim, a quádrica centrada [;(3);] é dada por

[;\pm \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} = 1 \qquad (4);]

Esta expressão é chamada forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica centrada. Conforme a variação dos sinais dos termos na expressão [;(4);], esta superfície pode ser um elipsóide, um hiperbolóide de uma folha ou um hiperbolóide de duas folhas. Neste post, apresentaremos o hiperbolóide de uma folha e algumas curiosidades relacionadas com esta superfície quádrica.

Neste caso, apenas dois sinais que precedem os termos da expressão [;(4);] são positivos. Temos três tipos de hiperbolóides de uma folha

i) Hiperbolóide de uma folha na direção do eixo [;z;]:

Sua equação é dada por
[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1;]
Os traços nos planos [;xz;] e [;yz;] são hipérboles e o traço no plano [;xy;] é a elipse

[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1;]

Além disso, se [;a = b;] o hiperbolóide é chamado de hiperbolóide de revolução de uma folha e pode ser gerado pela rotação das hipérboles

[;\frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad \text{ou} \quad \frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1;]

em torno do eixo [;z;].


ii) Hiperbolóide de uma folha na direção do eixo [;y;]:


Sua equação é dada por
[;\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;]

Os traços nos planos [;xy;] e [;yz;] são hipérboles e o traço no plano [;xz;] é a elipse

[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;]

Além disso, se [;a = c;] o hiperbolóide é chamado de hiperbolóide de revolução de uma folha e pode ser gerado pela rotação das hiperbóles

[;\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{ou} \quad -\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{a^2} = 1;]
em torno do eixo [;y;].

iii) Hiperbolóide de uma folha na direção do eixo [;x\;]:


Sua equação é dada por
[;-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;]

Os traços nos planos [;xy;] e [;xz;] são hipérboles e o traço no plano [;yz;] é a elipse

[;\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;]

Além disso, se [;b=c;] o hiperbolóide é chamado de hiperbolóide de revolução de uma folha e pode ser gerado pela rotação das hiperbóles

[;-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{ou} \quad -\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1;]
em torno do eixo [;x\;].

Observação 1: Em todos os casos, a classificação de uma quádrica é feita tomando-se o segundo membro da equação igual a [;1;].

Observação 2: Note que o hiperbolóide de uma folha estende para o eixo em que há o sinal negativo.

Se o centro do hiperbolóide de uma folha é ponto [;C(x_0,y_0,z_0);], através de translação de eixos, os termos

[;\frac{x^2}{a^2}, \quad \frac{y^2}{b^2} \quad \text{e} \quad \frac{z^2}{c^2};]
são substituídos pelos termos

[;\frac{(x-x_0)^2}{a^2}, \quad \frac{(y-y_0)^2}{b^2} \quad \text{e} \quad \frac{(z-z_0)^2}{c^2};]

Exemplo 1: Complete quadrados e escreva a quádrica abaixo na forma padrão. Em seguida, indique seu centro e classifique-a.

[;4x^2 - 16x - y^2 - 2y + 4z^2 - 16z + 27 = 0;]

Resolução: Note que

[;4x^2 - 16x = 4[(x^2 - 4x + 4) - 4] = 4(x - 2)^2 - 16;]

[;-y^2 - 2y = -[(y^2 + 2y + 1) - 1] = -(y+1)^2 + 1;]
e que
[;4z^2 - 16z = 4[(z^2 - 4z + 4) - 4] = 4(z - 2)^2 - 16;]

Substituindo estas expressões na equação dada, temos:

[;4(x - 2)^2 - 16 - (y+1)^2 + 1 + 4(z - 2)^2 - 16 + 27 = 0 \quad \Rightarrow;]

[;4(x - 2)^2 - (y - 1)^2 + 4(z - 2)^2 = 4 \quad \Rightarrow;]

[;(x - 2)^2 - \frac{(y - 1)^2}{4} + (z - 2)^2 = 1;]

Portanto, trata-se de um hiperbolóide de uma folha, de revolução em torno do eixo [;y;], centrado no ponto
[;C(2,1,2);].

O hiperbolóide de uma folha é usada na construção civil. Por exemplo, é utilizado em torres de resfriamento de usinas nucleares. O hiperbolóide de uma folha possui a seguinte característica: em cada um de seus pontos há duas retas distintas que cruzam a superfície. Desta propriedade, grandes estruturas podem ser construídas no formato de hiperbolóide de uma folha com vigas de aço em linha reta, minimizando assim os ventos cruzados, mantendo a integridade estrutural com o uso mínimo de materiais de construções.

A estrutura hiperbolóide da torre de TV de Canton na China é gerada por duas elipses, uma no nível do solo e outra em um plano horizontal imaginário a [;450;] metros.

Outro exemplo interessante é a configuração de um hiperbolóide de uma folha gerado por macarrões na vasilha abaixo.

Gostará de ler também:
- Superfícies Quádricas: O Elipsóide e a Superfície Esférica;
- As Superfícies de Revolução;
- O Volume do Elipsóide de Revolução Pelo Método da Alavanca;
- Um Pouco Sobre Superfícies Mínimas;
- Modelos de Sólidos;

Um comentário:

  1. Muito Obrigado pelo conteúdo!
    É muito didáctico e me vai ajudar na preparação de aulas!

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