FATOS MATEMÁTICOS: Superfícies Quádricas: O Hiperbolóide de uma Folha

domingo, 4 de dezembro de 2011

Superfícies Quádricas: O Hiperbolóide de uma Folha

A equação geral de uma superfície quádrica é dada por

$[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \qquad (1);]$

em que $[;A,B,C,D,E,F,G,H,I;]$ e $[;J;]$ não são simultaneamente nulos. Através de rotações de eixos, podemos eliminar os termos mistos $[;xy;]$ , $[;xz;]$ e $[;yz;]$ , obtendo a equação

$[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Gx + Hy + Iz + J = 0 \qquad (2);]$

Se $[;G = H = I = 0;]$ , a equação $[;(2);]$ representa uma quádrica centrada e é dada por

$[;Ax^2 + By^2 + Cz^2 = -J \qquad (3);]$

Se $[;J = 0;]$ , o único ponto que satisfaz a equação é a origem do sistema de coordenadas $[;(0,0,0);]$ . Suponhamos então $[;J \neq 0;]$ e sejam

$[;\frac{1}{a^2} = -\frac{A}{J} \qquad \frac{1}{b^2} = -\frac{B}{J} \qquad \frac{1}{c^2} = -\frac{C}{J};]$

Assim, a quádrica centrada $[;(3);]$ é dada por

$[;\pm \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} = 1 \qquad (4);]$

Esta expressão é chamada forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica centrada. Conforme a variação dos sinais dos termos na expressão $[;(4);]$ , esta superfície pode ser um elipsóide, um hiperbolóide de uma folha ou um hiperbolóide de duas folhas. Neste post, apresentaremos o hiperbolóide de uma folha e algumas curiosidades relacionadas com esta superfície quádrica.

Neste caso, apenas dois sinais que precedem os termos da expressão $[;(4);]$ são positivos. Temos três tipos de hiperbolóides de uma folha

i) Hiperbolóide de uma folha na direção do eixo $[;z;]$ :

Sua equação é dada por

$[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1;]$

Os traços nos planos $[;xz;]$ e $[;yz;]$ são hipérboles e o traço no plano $[;xy;]$ é a elipse

$[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1;]$

Além disso, se $[;a = b;]$ o hiperbolóide é chamado de hiperbolóide de revolução de uma folha e pode ser gerado pela rotação das hipérboles

$[;\frac{y^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad \text{ou} \quad \frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1;]$

em torno do eixo $[;z;]$ .

ii) Hiperbolóide de uma folha na direção do eixo $[;y;]$ :

Sua equação é dada por

$[;\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;]$

Os traços nos planos $[;xy;]$ e $[;yz;]$ são hipérboles e o traço no plano $[;xz;]$ é a elipse

$[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;]$

Além disso, se $[;a = c;]$ o hiperbolóide é chamado de hiperbolóide de revolução de uma folha e pode ser gerado pela rotação das hiperbóles

$[;\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{ou} \quad -\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{a^2} = 1;]$

em torno do eixo $[;y;]$ .

iii) Hiperbolóide de uma folha na direção do eixo $[;x\;]$ :

Sua equação é dada por

$[;-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;]$

Os traços nos planos $[;xy;]$ e $[;xz;]$ são hipérboles e o traço no plano $[;yz;]$ é a elipse

$[;\frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1;]$

Além disso, se $[;b=c;]$ o hiperbolóide é chamado de hiperbolóide de revolução de uma folha e pode ser gerado pela rotação das hiperbóles

$[;-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{ou} \quad -\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1;]$

em torno do eixo $[;x\;]$ .

Observação 1: Em todos os casos, a classificação de uma quádrica é feita tomando-se o segundo membro da equação igual a $[;1;]$ .

Observação 2: Note que o hiperbolóide de uma folha estende para o eixo em que há o sinal negativo.

Se o centro do hiperbolóide de uma folha é ponto $[;C(x_0,y_0,z_0);]$ , através de translação de eixos, os termos

$[;\frac{x^2}{a^2}, \quad \frac{y^2}{b^2} \quad \text{e} \quad \frac{z^2}{c^2};]$

são substituídos pelos termos

$[;\frac{(x-x_0)^2}{a^2}, \quad \frac{(y-y_0)^2}{b^2} \quad \text{e} \quad \frac{(z-z_0)^2}{c^2};]$

Exemplo 1: Complete quadrados e escreva a quádrica abaixo na forma padrão. Em seguida, indique seu centro e classifique-a.

$[;4x^2 - 16x - y^2 - 2y + 4z^2 - 16z + 27 = 0;]$

Resolução: Note que

$[;4x^2 - 16x = 4[(x^2 - 4x + 4) - 4] = 4(x - 2)^2 - 16;]$

$[;-y^2 - 2y = -[(y^2 + 2y + 1) - 1] = -(y+1)^2 + 1;]$

e que

$[;4z^2 - 16z = 4[(z^2 - 4z + 4) - 4] = 4(z - 2)^2 - 16;]$

Substituindo estas expressões na equação dada, temos:

$[;4(x - 2)^2 - 16 - (y+1)^2 + 1 + 4(z - 2)^2 - 16 + 27 = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;4(x - 2)^2 - (y - 1)^2 + 4(z - 2)^2 = 4 \quad \Rightarrow;]$

$[;(x - 2)^2 - \frac{(y - 1)^2}{4} + (z - 2)^2 = 1;]$

Portanto, trata-se de um hiperbolóide de uma folha, de revolução em torno do eixo $[;y;]$ , centrado no ponto $[;C(2,1,2);]$ .

O hiperbolóide de uma folha é usada na construção civil. Por exemplo, é utilizado em torres de resfriamento de usinas nucleares. O hiperbolóide de uma folha possui a seguinte característica: em cada um de seus pontos há duas retas distintas que cruzam a superfície. Desta propriedade, grandes estruturas podem ser construídas no formato de hiperbolóide de uma folha com vigas de aço em linha reta, minimizando assim os ventos cruzados, mantendo a integridade estrutural com o uso mínimo de materiais de construções.

A estrutura hiperbolóide da torre de TV de Canton na China é gerada por duas elipses, uma no nível do solo e outra em um plano horizontal imaginário a $[;450;]$ metros.