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segunda-feira

Uma Visita ao País Plano (Parte 2)

Vejamos então a segunda e última parte desta incrível história de Edwin A. Abbot. Sugiro que leia antes a primeira parte e se quiser saber mais recomendo que compre o livro.

Visitante - Não, não e não! Por altura me refiro à uma dimensão análoga à seu comprimento, só que para você a altura não é tão facilmente perceptível, já que é pequeníssima.
Eu - Excelência, cabe comprovar vossa afirmação. V. Sa. diz que eu tenho uma terceira dimensão que chama altura. Pois bem, à esta dimensão há de corresponder uma direção e uma possibilidade de medição. Meça V. Sa. simplesmente a minha altura, ou mostre me, pelo menos, em que direção ela se estende, e eu me convencerei. Se não...
Visitante - Como devo convencê-lo?... Agora escute-me. Você vive em um plano. Este país, que você designa Plano, é igual à superfície de algo que eu poderia classificar com um líquido no qual você se move, sobre seu leito superior, sem poder nem elevar-se nem afundar. Eu não sou uma figura plana, e sim um corpo. Você me chama de círculo, mas na realidade não sou nenhum círculo e sim um número infinito de círculos que variam, em magnitude, desde um ponto até um círculo de [;35\ cm;] de diâmetro, dispostos uns sobre os outros. Quando atravesso seu plano, como agora, então constituo em seu plano uma seção, que você, muito corretamente, chama de círculo. Pois uma esfera - este é meu nome verdadeiro - quando se apresenta aos habitantes de um país plano, deve, necessariamente, fazê-lo como um círculo. Seu plano não é suficiente amplo para mim. Vejo incredulidade em seus olhos. Mas, veja você, eu me elevo, e o efeito aos seus olhos é que meu círculo é cada vez menor, se concentrará num ponto até, finalmente, desaparecer por completo.
"Eu não pude - prosseguiu o narrador, o quadrado com formação matemática - ver realmente sua elevação. Vi entretanto, que se fez cada vez menor, acabando por desaparecer. Esfreguei os meus olhos para certificar-me de que não estava sonhando. Mas não era sonho, pois, das profundezas inlocalizáveis, me chegou uma voz grave".
Visitante - Está agora convencido? Pois bem, vou regressar gradualmente e você verá como minha seção se fará cada vez maior.

"Porém, apesar de ter diante de mim o fato, suas causas permaneceram tão obscuras quanto antes. Tudo o que pude perceber foi que o círculo se fazia cada vez menor e desaparecia e que agora reaparecia e se agrandava. Quando chegou a alcançar seu tamanho ordinário, ouvi-o exalar um profundo suspiro, pois ele observou, pelo meu silêncio, que não o havia compreendido. Eu estava inclinado a crer que fosse um enviado especial ou um ilusionista. Após uma longa pausa ele murmurou para si mesmo: - Devo tentar pelo método da analogia."

Visitante - Diga-me, senhor Matemático, se um ponto se desloca um pouco para o norte e deixa atrás de si uma esteira luminosa, que nome daria você à esta esteira?
Eu - Uma reta.
Visitante - E quantas extremidades tem uma reta?
Eu - Duas.
Visitante - Considere, agora, que esta linha que cursa para o norte se desloque paralelamente a si mesma, de leste para oeste, de forma que cada ponto deixa atrás de si a esteira de uma reta. Que nome dará à figura assim formada?
Eu - Um quadrado.
Visitante - E quantos lados tem um quadrado? Quantos ângulos?
Eu - Quatro lados e quatro ângulos.
Visitante - Vamos agora dar mais rigor à sua faculdade representativa. Imagine-se você, um quadrado, no País Plano, que se desloca paralelamente a si mesmo para cima.
Eu - Como? Para o norte?
Visitante - Não! Não para o norte! Para cima. Para além do País Plano. Eu me refiro a que todo ponto do que você chama seu interior, se desloque para cima através do espaço, de tal forma que nenhum ponto passe pelo lugar que foi antes ocupado por outro ponto. Entendeu?

"Eu reprimi minha impaciência, - disse o quadrado - pois senti uma forte gana de precipitar-me sobre meu visitante e lança-lo ao espaço, além de nosso país! Mas respondi"

Eu - E de classe deve ser a figura formada mediante este movimento para cima? Penso que poderá ser descrita em minha linguagem?
Visitante - Certo. É muito simples. Você deve falar referindo-se à ela, não em Figura, mas em Corpo. Façamos uma analogia. Comecemos por um único ponto que, por ser um ponto, só tem um ponto final. Um ponto gera uma linha, que tem dois pontos finais. Uma linha gera um quadrado, com quatro pontos finais. Agora podemos responder a sua pergunta: 1,2,4, é evidentemente, uma série geométrica. Qual o próximo termo da série?
Eu - Oito.
Visitante - Certo. O quadrado gera algo para o qual não tem você, até agora, um nome, porém que chamaremos Cubo, com oito pontos finais. De acordo?

Eu - E tem essa criação também quantos lados e quantos vértices, ou pontos finais, como V. Sa. os chama?
Visitante - Naturalmente! E correspondem por completo à analogia. Não se chamam, porém, lados, e sim faces. Esta criação é um "corpo".
Eu - E quantas faces teria então esse corpo, originado pelo movimento de meu interior para cima, e que V. Sa. chama cubo?
Visitante - Como pode você fazer uma pergunta dessas? Você, um matemático! Um ponto tem "0" faces, uma linha, por assim dizer, 2, um quadrado, 4. Veja bem: zero, dois, quatro... Com se chama esta série?
Eu - Aritmética.
Visitante - E qual o termo seguinte?
Eu - Seis.
Visitante - Perfeitamente! De acordo! Vê como você respondeu à sua pergunta? O cubo que você pode gerar está limitado por seis faces, quer dizer, por seis das faces internas de um quadrado. Está agora claro?
"Espetacular! - exclamou eu - V. Sa. um ilusionista, um mágico, um visionário ou um demônio, não suporto mais suas enganações! - E me lancei sobre ele".

Gostará de ler também:
- Uma Visita ao País Plano (Parte 1).

quinta-feira

Fatocruzadas (Parte 5)

Se você é um leitor assíduo do blog e gosta de testar seus conhecimentos matemáticos, convido-o a responder as questões abaixo nesta quinta edição do Fatocruzadas. Para baixar a versão em pdf click na imagem ao lado. Para baixar a solução da Fatocruzadas (Parte 4) (click aqui).

[;1);] Invenção Matemática do século XVI que auxiliou muitos astrônomos a realizarem seus cálculos.


[;2);] Ele desenvolveu as bases matemáticas da computação moderna.

[;3);] Nome da obra escrita por Euclides tão famosa quanto a biblia.

[;4);] Contribui juntamente com Pierre de Fermat no desenvolvimento da Teoria das Probabilidades e inventor de uma máquina de calcular no século XVII.

[;5);] Responsável pela introdução dos algarismos arábicos na Europa.

[;6);] Sistema de numeração usados pelos babilônicos.

[;7);] Demonstrou o Último Teorema de Fermat no final do século passado.

[;8);] Através dele podemos achar a projeção de um vetor.

[;9);] Matemático alemão que ficou famoso por demonstrar o teorema fundamental da Álgebra.

[;10);] Nome dado a uma curva que representa um cabo suspenso.

Gostará de ler resolver também:
- Fatocruzadas (Parte 1);
- Fatocruzadas (Parte 2);
- Fatocruzadas (Parte 3);
- Fatocruzadas (Parte 4).

quarta-feira

Uma Breve História do Cálculo Fracionário

Será que existe a derivada meiésima de uma função? Embora para a maioria dos profissionais de exatas, isto parece um absurdo, neste post veremos que o Cálculo Fracionário é tão antigo quanto a própria história do Cálculo.

O Cálculo Fracionário surgiu com a notação da derivada [;d^ny/dx^n;] criada por Leibniz em [;1695;], especificamente em uma carta do Marquês de L'Hôspital

"Sua notação... caro amigo Leibniz, para derivadas agradou-me muito, porém tenho uma dúvida. Qual é a interpretação matemática quando [;n;] for [;1/2;], [;1/3;], [;2/5;], etc.?..."

A resposta de Leibniz a L'Hôspital é a seguinte:

"...Sua pergunta é um paradoxo. No entanto, estou certo de que, mais dias, menos dias, alguém encontrará um interpretação e consequentemente aplicará as derivadas fracionárias!..."

Brilhantes matemáticos, tais como Euler, Lagrange, Laplace, Fourier, Abel, Heaviside, Liouville, entre outros estudaram o assunto levando às primeiras definições de derivadas e integrais de ordens não-inteiras e que no final do século XIX, devido as definições propostas por Riemann e Liouville pareciam estar completas.

A idéia de um derivada de ordem genérica também não escapou da atenção de Euler que em [;1730;] escreveu que a dificuldade em se obter tais derivadas poderia ser mais bem entendida com o auxílio de interpolações na derivada.

Já Lagrange contribuiu de maneira indireta para o Cálculo Fracionário quando, em [;1772;], desenvolveu a assim chamada lei dos expoentes, isto é

[;\frac{d^m}{dx^m}\frac{d^n}{dx^n}y = \frac{d^{m+n}y}{dx^{m+n}};]

Embora tenha sido demonstrado que a lei dos expoentes não é válida para toda função [;y;], quando [;n;] e [;m;] são arbitrários, esta foi de grande utilidade no desenvolvimento da teoria do Cálculo Fracionário.

Em [;1812;], Laplace definiu a derivada fracionária em termos de uma integral, e em [;1819;] a primeira menção, em um texto científico, às derivadas de ordem fracionária foi feita por Lacroix. Em um livro de mais de [;700;] páginas, Lacroix dedicou menos de duas destas a um problema que visava obter a derivada de ordem fracionária de um polinômio [;y = x^m;]. Para tanto, partiu do seguinte fato: No caso em que [;n ;] é um número natural temos, para [;m \geq n;], que

[;\frac{d^n}{dx^n}y = \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n};]

sendo assim, fazendo uso da função gama

[;\Gamma(n) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx;]

poder-se-ia concluir que quando [;n;] não é um número natural, temos

[;\frac{d^n}{dx^n}y = \frac{\Gamma(m+1)}{\Gamma(m-n+1)}x^{m-n};]

Um caso particular da equação acima pode ser obtido tomando-se [;m = 1;] e [;n = 1/2;], para obter

[;\frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}}y = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}};]

É interessante notar que apesar de ser em certa instância ingênua, a dedução feita por Lacroix coincide, neste caso, com a obtida pelo método mais aceito nos tempos atuais, ou seja, o método proposto por Riemann-Liouville, entretanto esta, ao contrário daquela, possibilita várias aplicações interessantes. Uma primeira aplicação do Cálculo Fracionário foi a solução do problema da Tautócrona apresentada por Abel em [;1820;].

Até o final do século XIX, o desenvolvimento do Cálculo Fracionário deu-se estritamente no campo da matemática pura, sem grandes aplicações em outras áreas. Entretanto, em [;1969;] M. Caputo resolveu problemas de viscoelasticidade utilizando uma nova definição, proposta por ele, para a derivada de ordem fracionária. Sua definição de derivada fracionária também foi usada para descrever problemas de sismologia.

A maneira canônica de se utilizar o cálculo fracionário para refinar a descrição de um fenômeno é substituir a derivada de ordem inteira da equação diferencial ordinária ou parcial, que o descreve, por uma de ordem não-inteira. De maneira natural, este método nos conduz a equções diferenciais de ordem não-inteira e à necessidade de se resolver tais equações; entretanto métodos efetivos de se resolver tais equações não podem ser encontrados nem nos mais avançados trabalhos acerca do Cálculo Fracionário. Isto somado ao fato de termos uma série de definições não equivalentes para a derivada fracionária e uma não evidente interpretação nem física nem geométrica, contribuiu para a não utilização em larga escala do Cálculo Fracionário.

Outro fator que faz com que a solução de uma equação diferencial de ordem não-inteira costume ser mais complexa do que a da respectiva equação de ordem inteira advém do fato de o conhecimento das funções inerentes ao Cálculo Fracionário não ser tão avançado quanto o conhecimento das funções relacionadas ao Cálculo de ordem inteira, as assim chamadas funções especiais.

Dentre as funções relacionadas ao Cálculo Fracionário, uma das mais importantes é a função de Mittag-Leffler, que tem um papel fundamental no estudo de equações diferenciais de ordem não-inteira. A função original, contendo um parâmetro complexo, foi introduzida em [;1903;] pelo matemático sueco Gosta Mittag-Leffler como uma generalização para a função exponencial. Em [;1905;] Wiman e mais tarde Humbert-Agarwal introduziram a assim chamada função de Mittag-Leffler de dois parâmetros como uma possível generalização para a função de Mittag-Leffler original. Esta função tem aplicação em diversos problemas envolvendo derivadas fracionárias.

Em [;1998;], Lorenzo e Hartley propuseram uma interpretação geométrica para esta derivada utilizando esta mesma definição. Nas últimas décadas diversos autores mostraram que a modelagem feita a partir do Cálculo Fracionário oferece uma descrição mais fina de fenômenos naturais que aquela feita a partir do Cálculo usual, proporcionando um excelente ferramenta para descrever as propriedades hereditárias de diversos materiais, como por exemplo, polímeros.

Referência Bibliográfica:

- Camargo, Rubens de Figueiredo. Cálculo Fracionário e Aplicações. Tese de Doutorado, Unicamp, Campinas, 2009.

Gostará de ler também:
- Um Convite ao Cálculo das Variações;
- Uma Breve História das Equações Diferenciais;
- Uma Breve História das Funções Elípticas.

segunda-feira

Sobre a Divisão de Polinômios

Dividir o polinômio [;A(x);] pelo polinômio [;B(x);] não identicamente nulo significa obter dois polinômios [;Q(x);] (quociente) e [;R(x);] (resto) que verficam as seguintes condições:

i) [;A(x) \equiv B(x)Q(x) + R(x);];

ii) [;gr(R) \prec gr(B);] ou [;R(x) \equiv 0;].

Observação 1: O símbolo "[;\equiv;]" é usado para expressar identidade entre polinômios e significa que a expressão é válida para todos os valores de [;x\;]. Além disso, [;gr;] é o grau do polinômio, isto é, [;gr(P) = m;] se e somente se [;a_m \neq 0;] e todos os coeficientes com índices maiores que [;m;] são nulos.

Exemplo 1: Efetue a divisão de [;A(x) = x^3 + x + 2;] por [;B(x) = x^2 - 1;].

Resolução: Note que [;R(x) \equiv 0;] ou o grau de [;R(x);] é no máximo um, pois [;gr(R) \prec gr(B) = 2;]. Assim,

[;R(x) = mx + n;]

O próximo passo é determinar o grau de [;Q(x);]. Da expressão [;A(x) = B(x)Q(x) + R(x);], segue que

[;x^3+x+2 = (x^2 - 1)Q(x) + mx + n \qquad (1);]

e para que essa expressão seja válida,

[;gr(Q) = 1 \quad \Rightarrow \quad Q(x) = ax + b \qquad (2);]

Em geral, é possível provar que [;gr(Q) = gr(A) - gr(B);]. Para obter [;Q(x);] e [;R(x);], substituímos [;(2);] em [;(1);] e resolvemos a identidade polinomial:

[;x^3 + x + 2 = (x^2 - 1)(ax + b) + mx + n \quad \Rightarrow;]

[;x^3 + x + 2 = ax^3 + bx^2 - ax - b + mx + n \quad \Rightarrow;]

[;x^3 + 0x^2 + x + 2 = ax^3 + bx^2 + (m-a)x + n - b;]

donde segue que

[;\begin{cases}a = 1\\b = 0\\m - a = 1 \quad \Rightarrow \quad m - 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad m = 2\\n - b = 2 \quad n = 2 \end{cases};]
Logo,
[;Q(x) = x \quad \text{e} \quad R(x) = 2x+2;]

Podemos também obter o quociente e o resto da divisão de dois polinômio pelo método da chave (divisão euclideana) para o qual adotamos o seguinte roteiro:

i) Ordenar os polinômios [;A(x);] e [;B(x);] segundo as potências decrescentes de [;x\;];

ii) Dividimos o primeiro termo de [;A(x);] pelo primeiro termo de [;B(x);] para obtermos o primeiro termo de [;Q(x);]. Em seguida multiplicamos o primeiro termo de [;Q(x);] por [;B(x);], subtraindo de [;A(x);] o produto obtido. O resultado é o primeiro resto parcial [;R_1(x);].


iii) Repetimos para [;R_1(x);] o procedimento de ii) e assim sucessivamente até que o grau do resto [;R(x);] fique menor que o grau de [;B(x);] ou, no caso de divisão exata, que o resto seja nulo.

Exemplo 2: Obtenha o quociente e o resto das divisões de [;A(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 4;] por [;B(x) = x +1;].

Resolução: Usando o método da chave, obtém-se [;Q(x) = 2x^2 - x -2;] e [;R(x) = 6;] conforme a primeira imagem do post.

Proposição 1: O resto da divisão de um polinômio [;P(x);] pelo binômio [;x - a;] é [;P(a);].

Demonstração: De fato,

[;P(x) = (x - a)Q(x) + r \qquad (3);]

onde [;R(x) = r;] pois [;gr(x - a) = 1;]. Fazendo [;x = a;] em [;(3);], temos [;P(a) = (a - a)Q(a) + r;].

Exemplo 3: O resto das divisões de [;P(x) = 3x^5 - x^4 + 2x^3 - x^2 + 1;] por [;x - 1;] e [;x + 2;] são:

[;r_1 = P(1) = 3 - 1 + 2 - 1 + 1 = 4;]
e
[;r_2 = P(-2) = 3(-2)^5 - (-2)^4 + 2(-2)^3 - (-2)^2 + 1 = -131;]

Corolário 1: Um polinômio [;P(x);] é divisível por [;x - a;] se e somente se [;P(a) = 0;].

Demonstração: Segue diretamente da Prop. 1.

Exemplo 4: Mostre que se um polinômio [;P(x);] é divisível por [;x - a;] e [;x - b;] com [;a \neq b;], então [;P(x);] é divisível por [;(x - a)(x - b);].

Resolução: Basta mostrar que o resto [;R(x);] da divisão de [;P(x);] por [;(x -a)(x - b);] é zero. De fato,

[;P(x) = Q_1(x)(x - a) \quad \Rightarrow \quad P(a) = 0;]

[;P(x) = Q_2(x)(x - b) \quad \Rightarrow \quad P(b) = 0;]
Mas,
[;P(x) = Q(x)(x - a)(x - b) + mx + n;]
Assim,

[;\begin{cases}0 = P(a) = Q(a)\cdot 0 + m\cdot a + n \quad \Rightarrow ma + n = 0\\0 = P(b) = Q(b)\cdot 0 +m\cdot b + n\quad \Rightarrow mb + n = 0\end{cases};]

Desse sistema concluímos que [;m = n = 0;] ou seja, [;R(x) \equiv 0;].

Exercícios Propostos:


1) Determine o quociente e o resto da divisão de [;A(x) = 2x^4 + x^3 - x^2 + x - 1;] por [;B(x) = x^2+ 4x + 3;].
2) Mostre que [;x^n - a^n;] é divisível por [;x - a;].
3) Mostre que [;x^{2n} - (k+1)x^2 + k;] é divisível por [;x^2 - 1;], sendo [;n \in \mathbb{N};].
4) Um polinômio [;P(x);] quando dividido por [;x - 2;] dá resto [;13;] e dividido por [;x + 2;] dá resto [;5;]. Obter o resto da divisão de [;P(x);] por [;x^2 - 4;]. R: [;R(x) = 2x + 9;]

Gostará de ler também:
- Blocos Algébricos no Ensino Fundamental;
- As Relações de Girard;
- Um Caso Particular da Equação Quártica (Parte 2).