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Conversão de Números Decimais Para a Base Binária e Vice-Versa

Por mais complexo que possa parecer um computador com seus programas, componentes internos e todas a maravilhas digitais, é interessante observar que todas elas baseiam-se no sistema de numeração binária que aliás foi contemplado por Leibniz no século [;XVII;] afirmando em sua metafísica que Deus representaria o [;1;] e o [;0;] representaria o "Nada". Da combinação de 1´s e zeros temos todos os números reais escritos em base binária e da junção de Deus e o Nada, temos a criação do mundo. Neste post, veremos um método para conversão de números representados no sistema decimal para o binário e vice-versa.
Dado um número [;N;] na base [;\beta;], isto é, [;N = (a_ja_{j-1}\ldots a_2a_1a_0)_{\beta};], sendo [;0 \leq a_k \leq \beta - 1;]com [;k = 1,\ldots, j;] podemos também representá-lo na forma polinomial:
[;N = a_j\beta^j + a_{j-1}\beta^{j-1}+\ldots + a_2\beta^2 + a_1\beta^1 + a_0\beta^0;]

Por exemplo, para beta [;\beta = 10;], temos:

i) [;(3148)_{10} = 3\times 10^3 + 1\times 10^2 + 4\times 10^1 + 8;]

ii) [;\frac{4}{3} = 1\times 10^1 + 3\times 10^{-1} + 3\times 10^{-2} + 3\times 10^{-3}+\ldots;] 

Para o caso em que [;\beta = 2;], teremos uma soma de potências de [;2;]. Por exemplo, o número [;(1011)_2;] corresponde ao número [;11;] em nossa base decimal. De fato,
[;(1011)_2 = 1\times 2^3 + 0\times 2^2 + 1\times 2^1 + 1\times 2^0;]
[;= 2(1\times 2^2 + 0\times 2^1 + 1) + 1\times 2^0;]
[;=2(2(1\times 2 + 0) + 1) + 1 = (11)_{10};]
Observe que o fator [;2;] foi colocado em evidência duas vezes, mas poderia ser mais vezes conforme o tamanho do número escrito na forma binária. De qualquer modo, deste exemplo podemos obter um processo para converter um número representado no sistema binário para o sistema decimal.
Seja [;b_0;] a representação decimal do número [;(a_ja_{j-1}\ldots a_2a_1a_0)_2;]. Assim,
[;\begin{cases}b_j = a_j\\b_{j-1} = a_{j-1} + 2b_j\\b_{j-2} = a_{j-2} + 2b_{j-1}\\\ldots \qquad \ldots\\b_1 = a_1 + 2b_2\\b_0 = a_0 + 2b_1\\\end{cases};]
Para o número [;(1011)_2;], a sequência obtida é
[;\begin{cases}b_3 = a_3 = 1\\b_2 = a_2 + 2b_3 = 0 + 2\cdot 1 = 2\\b_1 = a_1 + 2b_2 = 1 + 2\cdot 2 = 5\\b_0 = a_0 + 2b_1 = 1 + 2\cdot 5 = 11\\\end{cases};]
Considere agora um número entre [;0;] e [;1;], representado no sistema de numeração binária que será denotado por
[;(r)_2 = (0.d_1d_2\ldots d_j\ldots)_2;]
Para obter sua representação no sistema decimal, definimos [;r_1 = r;] e a cada iteração [;k;], o processo de conversão multiplica o número [;r_k;] por [;(10)_{10};] e obtém o dígito [;b_k;] como sendo a parte inteira deste produto convertido para a base decimal. É importante observar que as operações devem ser efetuadas no sistema de numeração binário.

Exemplo 1: Converta o número [;(r)_2 = 0.011;] para a base decimal.

Resolução: Neste post, usarei o ponto ao invés da vírgula para separar a parte inteira da decimal dos números. Pelo procedimento acima, temos [;r_1 = r = 0.011;]. Considere a sequência de operações dadas por
[;w_1 = (1010)_2\times r_1 = 1010\times 0.011 = 11.11 \quad \Rightarrow;] [;\quad b_1 = 3 \quad \text{e} \quad r_2 = 0.11;],
[;w_2 = (1010)_2\times r_2 = 1010\times 0.11 = 111.1 \quad \Rightarrow;] [;\quad b_2 = 7 \quad \text{e} \quad r_3 = 0.1;],
[;w_3 = (1010)_2\times r_3 = 1010\times 0.1 = 101 \quad \Rightarrow;] [;\quad b_3 = 5 \quad \text{e} \quad r_4 = 0;]
Como o último resto [;r_4;] é nulo, terminamos o processo de conversão. Logo, [;(0.011)_2 = (0.375)_{10};].


Veremos agora um procedimento para converter um número inteiro representado no sistema decimal para o sistema de numeração binária. Para facilitar o entendimento, explicaremos através de um exemplo.

Exemplo 2: Converta o número [;186;] para a base binária.

Resolução: Seja [;(a_ja_{j-1}\ldots a_1a_0)_2;] a sua representação na base [;2;]. Temos então que

[;186 = 2(a_j\times 2^{j-1} + a_{j-1}\times 2^{j-2}+\ldots + a_2\times 2 + a_1) + a_0;]
[;= 2\times 93 + 0 \quad \Rightarrow \quad a_0 = 0;]


ou seja, o último dígito representa o resto da divisão de [;186;] por [;2;]. Repetindo este processo para o número [;N_1 = 93 = 2\times 46 + 1;], segue que [;a_1 = 1;] e assim sucessivamente, obtemos:


[;N_2 = 46 = 2\times 23 + 0 \quad \Rightarrow \quad a_2 = 0;]


[;N_3 = 23 = 2\times 11 + 1 \quad \Rightarrow \quad a_3 = 1;]


[;N_4 = 11 = 2\times 5 + 1 \quad \Rightarrow \quad a_4 = 1;]


[;N_5 = 5 = 2\times 2 + 1 \quad \Rightarrow \quad a_5 = 1;]


[;N_6 = 2 = 2\times 1 + 0 \quad \Rightarrow \quad a_6 = 0;]


[;N_7 = 1 = 2\times 0 + 1 \quad \Rightarrow \quad a_7 = 1;]

Logo, [;(186)_{10} = (10111010)_2;].

Consideremos agora a conversão de um número fracionário da base [;10;] para a base [;2;]. Dizemos que um número racional [;r;], [;0 \prec r \prec 1;] tem representação finita se ele possui um número finito de casas decimais. Por exemplo, [;r = 0.125;] e [;s = 0.0362;].


Dado um número entre [;0;] e [;1;] no sistema decimal, como obter sua representação binária? Explicaremos o processo através de um exemplo, convertendo o número [;0.1875;] para o sistema de numeração binária. Note que existem dígitos binários [;d_1;], [;d_2;], [;\dots;], [;d_j;],[;\ldots;] tais que


[;(0.1875)_{10} = (0.d_1d_2\ldots d_j\ldots)_2;]
ou
[;(0.1875)_{10} = d_1\times 2^{-1} + d_2\times 2^{-2}+\ldots + d_j2^{-j}+\ldots;]

Multiplicando a expressão acima por [;2;], temos:
[;2\times 0.1875 = d_1 + d_2\times 2^{-1}+\ldots + d_j2^{-j+1}+\ldots;]


[;0.375 = d_1 + d_2\times 2^{-1} + \ldots + d_j\times 2^{-j + 1}+\ldots \quad \Rightarrow \quad d_1 = 0;]


ou seja, [;d_1;] representa a parte inteira de [;2\times 0.1875;] que é igual a zero e [;d_2\times 2^{-1}+\ldots + d_j\times 2^{-j+1}+\ldots;] representa a parte fracionária de [;2\times 0.1875;] que é [;0.375;]. Aplicando o procedimento para [;0.375;], temos


[;2\times 0.375 = 0.75 = d_2 + d_3\times 2^{-1}+\ldots + d_j\times 2^{-j+2}+\ldots \quad \Rightarrow;]
 [;\quad d_2 = 0;]


[;2\times 0.75 = 1.5 = d_3 + d_4\times 2^{-1}+\ldots + d_j\times 2^{-j+3}+\ldots \quad \Rightarrow;]
 [;\quad d_3 = 1;]


[;2\times 0.5 = 1 = d_4 + d_5\times 2^{-1}+\ldots + d_j\times 2^{-j+4}+\ldots \quad \Rightarrow;]


[;\quad d_4 = 1 \quad \text{e} \quad d_j = 0, \ \forall j \geq 5;]


Observação: Um número real entre [;0;] e [;1;] pode ter representação finita no sistema decimal, mas representação infinita no sistema binário.

Exercício: Converta os números abaixo:
1) [;(65)_{10};] para a base binária.
R:  [;(1000001)_{2};]

2) [;(1/3)_{10};] para a base binária.
R:  [;(0.01010101\ldots)_2;]

3) [;(\sqrt{2})_{10};] para a base binária. Sugestão: Considere [;\sqrt(2) = 1.4142135;]
R:  [;(1.011010100001\ldots)_2;]

4) [;(10101110)_2;] para a base decimal.
R:  [;174;]

Gostará de ler também:
- Advinhando com o Sistema de Numeração Binário;
- Advinhando com os Dominós;
- Sequências Aproximantes Para Raízes Quadradas;
- Zeros de Funções (Parte 1);
- Zeros de Funções (Parte 2).

quinta-feira

Editorial Fevereiro/2011

Venho comunicar a todos os leitores do blog, que a Quarta Promoção cujos prêmios são um exemplar do livro A Janela de Euclides e um calendário dodecaédrico cumpriu os objetivos de atrair mais seguidores e divulgar o blog na internet. Para ser mais preciso, houve um aumento de 25% no número de seguidores.

Conforme as regras, o sorteio seria realizado assim que atingisse a marca de 100 leitores inscritos e isto aconteceu no dia 12/02/2011 e foi comunicado que a dezena premiada seria a do concurso 1115 da Lotomania do dia 15/02/2011. Feito este sorteio a dezena premiada na ordem do sorteio foi a de número 80 e a ganhadora foi a seguidora Amanda Bandeira.

Como ela não reinvidicou o prêmio no prazo de três dias, foi realizado um novo sorteio em que o ganhador também não apareceu neste prazo para reinvidicar o prêmio, o blog Fatos Matemáticos tomou a decisão de invalidar esses dois sorteios e realizar um novo sorteio em que privilegiam os leitores que frequentam diariamente este site.

A regra é a seguinte:
O leitor deverá deixar um comentário
neste post de modo que o primeiro leitor a comentar concorrerá com as dezenas 1,2,3 e 4 o segundo com as dezenas 5,6,7 e 8, e assim por diante até o último leitor que concorrerá com as dezenas 97,98,99 e 100. Teremos desta forma apenas 25 leitores concorrendo os dois prêmios. Lembrando que o número 100 corresponde a dezena 00 da Lotomania.

Será verificado se o leitor inscrito aqui é realmente um seguidor do blog conforme as regras enunciadas no post da quarta promoção. Assim que atingirmos 25 inscritos, publicarei a data do sorteio pelas dezenas da Lotomania.


Deixo claro que esta atitude foi tomada devido a seriedade, respeito e compromisso que tenho com todos os leitores e que esta decisão não tem objetivo de prejudicar ninguém, muito pelo contrário.

Atenciosamente,
Prof. Paulo Sérgio

Estudando uma Equação de Grau 7

Neste post, apresentaremos que na equação

[;x^7 + px^5 + \frac{2}{7}p^2x^3 + \frac{p^3}{49}x - s = 0;]

uma de suas raízes pode ser encontrada pela fórmula

[;x = \sqrt[7]{\frac{s}{2} + \sqrt{\biggl(\frac{s}{2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{p}{7} \biggr)^7}} + \sqrt[7]{\frac{s}{2} - \sqrt{\biggl(\frac{s}{2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{p}{7} \biggr)^7}};]

E, para deduzir essa fórmula, vamos utilizar o mesmo raciocínio feito para encontrar a fórmula de CARDANO-TARTAGLIA. Assim, considere a equação

[;x^7 + px^5 - qx^3 + rx - s = 0;]

e uma raiz escrita como [;x = u + v;]. Tome o desenvolvimento do seguinte binômio

[;(u + v)^7 = u^7 + 7u^6v + 21u^5v^2 + 35u^4v^3 +;]

[;+ 35u^3v^4 + 21u^2v^5 + 7uv^6 + v^7;]

e colocando-o em evidência, fica:

[;(u + v)^7 = 7uv(u^5 + v^5) + 21u^2v^2(u^3 + v^3);]

[;+ 35u^3v^3(u + v) + u^7 + v^7 \qquad (1);]

Agora, substitua as seguintes igualdades

[;u^3 + v^3 = (u + v)^3 - 3uv(u + v);]
e
[;u^5 + v^5 = (u + v)^5 - 5uv(u + v)^3 + 5u^2v^2(u + v);]

em [;(1);], ou seja,


[;(u + v)^7 = 7uv(u + v)^5 - 14u^2v^2(u + v)^3 + 7u^3v^3(u + v) + u^7 + v^7;]

ou melhor,


[;(u + v)^7 - 7uv(u + v)^5 + 14u^2v^2(u + v)^3 -;]

[;7u^3v^3(u + v) + [-(u^7 + v^7)] = 0;]

e como [;x = u + v;] é uma raiz para valores de [;p = -7uv;], [;-q = 14u^2v^2;] , [;r = -7u^3v^3;] e [;s = u^7 + v^7;], vamos estabelecer que

[;p^2 = (-7uv)^2 \quad \Rightarrow \quad u^2v^2 = \frac{p^2}{49};]

Daí, [;-q = 2p^2/7;] e [;r = p^3/49;]. Portanto, podemos estudar as equações do [;7^{\underline{\circ}};] grau do tipo
[;x^7 + px^5 + \frac{2}{7}p^2x^3 + \frac{p^3}{49}x - s = 0 \qquad (2);]

Usando o mesmo raciocínio que é feito para deduzir a fórmula de CARDANO-TARTAGLIA (ver em [1]), daí então, vamos estabelecer que

[;\begin{cases}u^7v^7 = \biggl(-\frac{p}{7}\biggr)^7\\u^7 + v^7 = s\\\end{cases};]

e cair num problema onde [;u^7;] e [;v^7;]são as raízes de uma equação de grau [;2;] conhecendo a sua soma e o seu produto, isto é,

[;y^2 - sy + \biggl(-\frac{p}{7}\biggr)^7 = 0;]
e consequentemente, temos a fórmula

[;x = \sqrt[7]{\frac{s}{2} + \sqrt{\biggl(\frac{s}{2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{p}{7} \biggr)^7}} + \sqrt[7]{\frac{s}{2} - \sqrt{\biggl(\frac{s}{2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{p}{7} \biggr)^7}};]

Exemplo: Use a fórmula acima e determine a raiz da equação [;(2);], no caso em que [;p = 14;] e [;s = 8;].

Resolução: Para estes valores de [;p;] e [;s;], temos a equação de [;7^{\underline{\circ}};] grau dada por[;x^7 + 14x^5 + 56x^3 + 56x - 8 = 0;]. Usando a fórmula acima, temos

[;x = \sqrt[7]{\frac{8}{2} + \sqrt{\biggl(\frac{8}{2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{14}{7} \biggr)^7}} + \sqrt[7]{\frac{8}{2} - \sqrt{\biggl(\frac{8}{2}\biggr)^2 + \biggl(\frac{14}{7} \biggr)^7}};]

[;x = \sqrt[7]{4 + \sqrt{16 + 128}} + \sqrt[7]{4 - \sqrt{16 + 128}} = \sqrt[7]{16} - \sqrt[7]{8} \simeq 0,14009;]

Referências Bibliográficas:
[1] LIMA, E. L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática/Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1991.
[2] SARAIVA, J. C. V. A fórmula de Cardano além das cúbicas, Revista Eureka! número 15 (2002), p. 24-26.
[3] SARAIVA, J. C. V. Parece mas não é, além das cúbicas, RPM número 64 (2007). p. 46-47.

Artigo enviado por Carlos Alberto M. de Assis
Faculdade da Região dos Lagos - FERLAGOS
Instituto Católico de Educação e Cultura Mater Coeli
CAp - FERLAGOS

O blog Fatos Matemáticos agradece imensamente esta contribuição enviada pelo Prof. Carlos.

Gostará de ler também:
- O Método de Viéte para Equações Cúbicas;
- Algumas Propriedades das Equações Cúbicas;
- Um Caso Particular da Equação Quártica (Parte 1);
- Um Caso Particular da Equação Quártica (Parte 2).

quarta-feira

Um Modo Diferente de Estudar as Funções Inversas

É claro que os objetos geométricos, os gráficos e diagramas nos auxiliam muito na compreensão da Matemática. Mas nada supera o raciocínio lógico por trás destes objetos. Sendo assim, resolvi apresentar as funções inversas sem auxílio de diagramas ou gráficos, deixando esta abordagem para um futuro post.

O estudo das funções é um dos assuntos mais importantes de toda a Matemática e possui diversas aplicações. Levou-se séculos para os matemáticos apresentar uma definição satisfatória de tais objetos.

Definição 1: Sejam os conjuntos [;A;] e [;B;]. Uma regra [;f;] entre os elementos desses conjuntos é uma função de [;A;] para [;B;], se cada [;x \in A;]está relacionado apenas a um único [;y \in B;]. A grandeza [;x\ ;] é chamada de variável independente e [;y;] de variável dependente.

Neste caso, escrevemos [;f: A \rightarrow B;] e [;y = f(x);]. O conjunto [;A;] é chamado de domínio da função [;f;] e é denotado por [;D(f);] e o conjunto [;B;] é o contradomínio de [;f;] e é denotado por [;CD(f);]. O conjunto de valores [;y \in B;] tais que existem [;x \in A;] com [;y = f(x);] é chamado de conjunto imagem e é denotado por [;Im(f);]. É claro que [;Im(f) \subset B;]. De forma análoga, podemos definir uma função [;g;] do conjunto [;B;] para o conjunto [;A;].

A formalização apresentada acima caracteriza todos os tipos de funções que podemos construir a partir de dois conjuntos quaisquer, ou seja, as funções lineares, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas ou expressas por integrais, obedecem a definição acima. Além disso, as funções não são criações exporádicas dos matemáticos, mas objetos que estão presentes no nosso dia-a-dia. Vejamos um exemplo simples.

Quando abastecemos o nosso veículo, o preço pago [;p;] é uma função da quantidade [;V;]de combustível que colocamos no tanque, isto é, [;p = f(V);]. Note que [;V;] é a variável independente nesta função, mas no momento de abastecer, geralmente, não pedimos ao frentista que coloque por exemplo, [;20\ l;] de combustível, preferimos intuitivamente usar a função inversa [;V = g(p);], ou seja, supondo que o litro de gasolina custe [;R\$\ 2,60;] e para não haver troco, pedimos que "coloque [;R\$\ 50,00;]" que corresponde um volume próximo a [;20\ l;].

Neste caso, as grandezas volume e preço são diretamente proporcionais e escrevemos

[;V = g(p) = 2,60p \qquad (1);]

Para obter o preço em função do volume abastecido, basta isolar [;p;] em [;(1);], para obter,

[;p = f(V) = \frac{V}{2,60} \qquad (2);]

Não definimos ainda o que vem a ser a função inversa de uma função dada, mas das expressões [;(1);] e [;(2);], podemos notar que

[;f(g(p)) = f(2,60p) = \frac{2,60p}{2,60} = p \qquad (3);]
e que
[;g(f(V)) = g(\frac{V}{2,60}) = 2,60\cdot \frac{V}{2,60} = V \qquad (4);]

As propriedades [;(3);] e [;(4);] entre essas funções será o nosso ponto de partida para o estudo das funções inversíveis que definiremos abaixo.

Definição 2: Sejam os conjuntos [;A;], [;B;] e as funções [;f: A \rightarrow B;] e [;g: B \rightarrow A;]. Dizemos que as funções [;f;] e [;g;] são inversíveis se:

i) [;f(g(x)) = x, \qquad \forall x \in A;];

ii)
[;g(f(y)) = y, \qquad \forall y \in B;].

É comum denotar [;f(g(x));] e [;g(f(y));] simplesmente por [;(f\circ g)(x);] e [;(g\circ f)(y);]. Além disso, sendo [;f;] e [;g;] funções inversíveis, escrevemos também [;g = f^{-1};] e [;f = g^{-1};].

Observação 1: Por enquanto, iremos explorar esta definição. Mas logo adiante, veremos quais as condições para que uma função admita inversa.

Exemplo 1: É fácil ver que as funções [;f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};], [;f(x) = x^3;] e [;g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};], [;g(x)=\sqrt[3]{x};] são inversíveis.

Exemplo 2: Obtenha a função inversa de [;f(x) = 2x + 3;].

Resolução: Observe que o domínio e o contra-domínio de [;f;]é [;\mathbb{R};]. Queremos achar uma função [;f^{-1};] tal que [;f(f^{-1}(x)) = x;] e [;f^{-1}(f(x)) = x;] para todo [;x \in \mathbb{R};]. Da primeira expressão, temos:

[;x = f(f^{-1}(x)) = 2f^{-1}(x) + 3 \quad \Rightarrow \quad x - 3 = 2f^{-1}(x) \quad \Rightarrow;]

[;f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2};]

É fácil ver que [;f^{-1}(f(x)) = x;], de modo que esta é realmente a função inversa da função [;f;].

Exemplo 3: (ANGLO) Sendo [;f^{-1};] a função inversa de [;f(x) = x/2 + 1;], calcule [;f^{-1}(4);].

Resolução: De
[;f(x) = x/2 + 1;], segue que

[;x = f^{-1}\biggl(\frac{x}{2} + 1\biggr);]

Fazendo [;x/2 + 1 = 4;], temos [;x = 6;]. Logo, [;f^{-1}(4) = 6;]. Note que não foi necessário achar explicitamente [;f^{-1}(x);].

Exemplo 4: Dada a função [;f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};], [;f(x) = x^2 + 1;], existe [;f^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};] ?

Resolução: Para que exista [;f^{-1}(x);], devemos satisfazer o item i) da Def. 2 para todo [;x \in \mathbb{R};], ou seja,

[;f(f^{-1}(x)) = x \quad \Rightarrow \quad f^{-1}(x)^2 + 1 = x \quad \Rightarrow;]

[; \quad f^{-1}(x)^2 = x - 1 \qquad (5);]

Mas, para [;x \prec 1;], a expressão [;(5);] não tem solução em [;\mathbb{R};]. Logo, não existe [;f^{-1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R};].

Definição 3: Dizemos que a função [;f:\ I \to J;] é injetora se [;x_1;] e [;x_2 \in I;] com [;x_1 \neq x_2;], então [;f(x_1) \neq f(x_2);].

Equivalentemente, se [;f(x_1) = f(x_2);] implicar [;x_1 = x_2;], então [;f;] é injetora. É fácil ver que as funções [;f(x) = 2x + 1;] e [;g(x) = x^3;] são injetoras.

Proposição 1: Se [;f;] é inversível então [;f;]é injetora.

Demonstração:
Sejam [;f:\ I \to J;] e [;f^{-1}:\ J \to I;] a sua inversa. Suponhamos por absurdo que [;f;]não é injetora. Assim, existem [;x_1,x_2 \in I;] tais que [;f(x_1) = f(x_2);]. Mas, [;f^{-1}(f(x)) = x \quad \forall x \in I;], de modo que [;x_1 = f^{-1}(f(x_1)) = f^{-1}(f(x_2)) = x_2;] . Absurdo.

A recíproca não é verdadeira, ou seja, uma função injetora não é necessariamente inversível. Por exemplo, a função [;f:\ [0,\pi] \to \mathbb{R};] tal que [;f(x) = \cos x;] é injetora, mas não é inversível, pois não existe [;x \in \mathbb{R};] tal que [;\cos x = 2;].

Podemos dizer que esta função não inversível, pois existem pontos no contradomínio que não são "alcançados" por [;f(x);]. A próxima definição está relacionada com este fato.

Definição 4:
Dizemos que a função
[;f:\ I \to J;] é sobrejetora se para todo [;y \in J;], existe [;x \in I;] tal que [;y = f(x);].

Exemplo 5: A função [;f:\ \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{+};] tal que [;f(x) = x^2;] é sobrejetora.

Resolução: De fato, dado [;y \in \mathbb{R}_{+};], basta tomar [;x = \sqrt{y};] ou [;x = -\sqrt{y};] que teremos [;f(x) = f(\pm \sqrt{y}) = (\pm \sqrt{y})^2 = y;].

Proposição 2: Se [;f;]é inversível, então [;f;]é sobrejetora.

Demonstração: Sejam [;f:\ I \to J;] e [;y \in J;]. Queremos achar [;x \in I;] tal que [;y = f(x);]. Sendo [;f;] inversível, [;y \in D(f^{-1});], de modo que [;f^{-1}(y) \in I;] está bem definida. Tomando [;x = f^{-1}(y);], segue que [;f(x) = f(f^{-1}(y)) = (f\circ f^{-1})(y) = y;].

A recíproca desta proposição é falsa, isto é, existem funções sobrejetoras que não são inversíveis, pois não são injetoras (Prop. 1). A função [;f;] do Exemplo 5 não é injetora apesar de ser sobrejetora. Assim, para obter uma nova caracterização das funções inversíveis, precisamos criar uma nova classe de funções que é dada na definição abaixo.

Definição 5:
Dizemos que a função [;f:\ I \to J;] é bijetora se ela é injetora e sobrejetora.

Proposição 3: A função
[;f:\ I \to J;] é inversível se e somente se é bijetora.

Demonstração: [;\Rightarrow);] Segue imediatamente das Props. 1 e 2.
[;\Leftarrow);] Seja [;y \in J;], sendo [;f;] sobrejetora, existe um [;x \in I;] tal que [;y = f(x);]. Mas [;f;]é injetora, de modo que esse [;x\ ;] é único. Assim, podemos também escrever [;x = f^{-1}(y);]. Logo,

[;y = f(x) = f(f^{-1}(y)) = (f\circ f^{-1})(y);]
e
[;x = f^{-1}(y) = f^{-1}(f(x)) = (f^{-1}\circ f)(x);]

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