FATOS MATEMÁTICOS: 2011/03

quinta-feira, 31 de março de 2011

Representação de um Inteiro Positivo Como Soma de 4 Quadrados

Escrever um número $[;N;]$ como soma de $[;4;]$ quadrados de uma ou mais maneiras é historicamente um problema comum apresentado aos calculadores mentais. Por exemplo, em $[;1911;]$ o calculador Gottfried Ruckle levou $[;8;]$ segundos para escrever $[;15663;]$ como a soma de $[;4;]$ quadrados. Sua solução foi $[;15663 = 125^2 + 6^2 + 1^2 + 1^2;]$ , em seguida ele mostrou também que $[;15663 = 125^2 + 15^2 + 8^2 + 5^2;]$ .

Estudaremos este problema usando a identidade de Lagrange que é apresentada em Geometria Analítica, no estudo do produto vetorial e suas interpretações geométricas.

Proposição 1: (Identidade de Lagrange) Se $[;\vec{u} = (u_1,u_2,u_2);]$ e $[;\vec{v} = (v_1,v_2,v_3);]$ são dois vetores no $[;\mathbb{R}^3;]$ , então

$[;\mid \vec{u}\times \vec{v} \mid^2 + (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 = \mid \vec{u}\mid^2\cdot \mid \vec{v}\mid^2;]$

Demonstração: Da definição de produto vetorial, temos:

$[;\vec{u}\times \vec{v} =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{bmatrix} =;]$

$[;=\begin{vmatrix}u_2 & u_3\\v_2 & v_3\\\end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}u_1 & u_3\\v_1 & v_3\\\end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}u_1 & u_2\\v_1 & v_2\\\end{vmatrix}\vec{k};]$

donde segue que

$[;\mid \vec{u}\times \vec{v} \mid^2 = (u_2v_3 - u_3v_2)^2 + (u_3v_1 - u_1v_3)^2 + (u_1v_2 - u_2v_1)^2;]$

$[;=u_{2}^2v_{3}^2 + u_{3}^2v_{2}^2 + u_{3}^2v_{1}^2 + u_{1}^2v_{3}^2 + u_{1}^2v_{2}^2 + ;]$

$[;+ u_{2}^2v_{1}^{2} - 2u_2u_3v_2v_3 - 2u_1u_3v_1v_3 - 2u_1u_2v_1v_2;]$

$[;= u_{1}^2(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2) - u_{1}^2v_{1}^2 - 2u_1u_2v_1v_2;]$

$[;+u_{2}^2(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2) - u_{2}^2v_{2}^2 - 2u_1u_3v_1v_3;]$

$[;+u_{3}^2(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2) - u_{3}^2v_{3}^2 - 2u_2u_3v_2v_3;]$

$=(u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2)(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2) - (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3)^2$

$[;=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot \vec{v})^2;]$

onde na penúltima igualdade usamos a identidade

$[;(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc;]$

com $[;a = u_1v_1;]$ , $[;b = u_2v_2;]$ e $[;c = u_3v_3;]$ .

Corolário 1: Se dois números naturais podem ser escritos como soma de três quadrados, então o produto deles pode ser escrito como soma de $[;4;]$ quadrados.

Demonstração: Sejam $[;N_1;]$ , $[;N_2 \in \mathbb{N};]$ tais que $[;N_1 = u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2;]$ e $[;N_2 = v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2;]$ . Pela Proposição 1, segue que

$[;N_1N_2 = (u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2)(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2);]$

$[;= |\vec{u}\times \vec{v}|^2 + (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3)^2;]$

$[;= (u_2v_3 - u_3v_2)^2 + (u_3v_1 - u_1v_3)^2 +;]$

$[;+ (u_1v_2 - u_2v_1)^2 + (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3)^2 \qquad (1);]$

O fato que todo inteiro positivo pode ser escrito como a soma de $[;4;]$ quadrados é chamado de teorema de Bachet´s e que publicado por ele em $[;1621;]$ , mas foi Joseph L. Lagrange que apresentou uma demonstração em $[;1770;]$ . Seu artigo, nos fornece uma maneira de resolver mentalmente este problema.

Exemplo 1: Escreva o número $[;630 = 14\times 45;]$ como a soma de $[;4;]$ quadrados.

Resolução: Note que $[;14 = 1^2 + 2^2 + 3^2;]$ e $[;45^2 = 2^2 + 4^2 + 5^2;]$ . Assim, pelo Corolário 1, temos:

$[;630 = 14\times 45 = (1^2 + 2^2 + 3^2)\cdot (2^2 + 4^2 + 5^2);]$

$[;= (2\cdot 5 - 3\cdot 4)^2 + (3\cdot 2 - 1\cdot 5)^2 + (1\cdot 4 - 2\cdot 2)^2 + (1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 5)^2;]$

$[;=2^2 + 1^2 + 0^2 + 25^2;]$

Observação 1: Trocando $[;u_3;]$ por $[;-u_3;]$ na identidade $[;(1);]$ , temos:

$[;(u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2)(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2) = (u_2v_3 + u_3v_2)^2;]$

$[;+ (u_3v_1 + u_1v_3)^2 + (u_1v_2 - u_2v_1)^2 + (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3)^2;]$

de modo que $[;630 = 5^2 + 22^2 + 11^2 + 0^2;]$ . Analogamente, trocando $[;u_2;]$ por $[;-u_2;]$ , temos $[;630 = 22^2 + 1^2 + 8^2 + 9^2;]$ e trocando $[;u_1;]$ por $[;-u_1;]$ obtemos também $[;630 = 2^2 + 11^2 + 8^2 + 21^2;]$ .

Observação 2: Um modo alternativo e prático para escrever $[;630;]$ como a soma de $[;4;]$ quadrados é o seguinte: Sendo $[;N_1 = 14 = 1^2 + 2^2 + 3^2;]$ e $[;N_2 = 45 = 2^2 + 4^2 + 5^2;]$ , definimos os vetores: $[;\vec{u} = (\pm 1, \pm 2, \pm 3);]$ e $[;\vec{v} = (2,4,5);]$ . Assim, $[;(1,-2,3)\times (2,4,5) = (-22,1,8);]$ e $[;(1,-2,3)\cdot (2,4,5) = 9;]$ . Logo, $[;630 = |(-22,1,8)|^2 + 9^2 = 22^2 + 1^2 + 8^2 + 9^2;]$ . Permutando os elementos do vetor $[;(2,4,5);]$ obtemos novas representações.

Observação 3: Podemos usar parcelas repetidas para escrever o um número como a soma de $[;4;]$ quadrados. Por exemplo, $[;54 = 6\cdot 9 = (1^2 + 1^2 + 2^2)\cdot (1^2 + 2^2 + 2^2);]$ . Sejam $[;\vec{u} = (1,2,2);]$ e $[;\vec{v} = (1,-2,2);]$ . Assim, $[;\vec{u}\times \vec{v} = (4,-3,-5);]$ e $[;\vec{u}\cdot \vec{v} = 2;]$ . Logo, $[;54 = 4^2 + 3^2 + 5^2 + 2^2;]$ .

Outra estratégia para escrever um número $[;N;]$ como soma de $[;4;]$ quadrados é escolher o primeiro termo igual ao maior quadrado perfeito contido em $[;N;]$ e tentar representar a diferença como soma de $[;3;]$ quadrados. Para isso, procuramos o maior quadrado contido nessa diferença e assim por diante.

Exemplo 2: Escreva $[;54;]$ como a soma de $[;4;]$ quadrados usando a estratégia acima.

Resolução: $[;54 = 7^2 + 7 = 7^2 + 2^2 + 1^1 + 0^2;]$ ou $[;54 = 6^2 + 18 = 6^2 + 4^2 + 1^2 + 1^2;]$ ou $[;54 = 5^2 + 29 = 5^2 + 4^2 + 13 = 5^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2;]$ .

Proposição 3: Se $[;N/2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2;]$ , então $[;N = (a + b)^2 + (a - b)^2 + (c + d)^2 + (c - d)^2;]$ .

Demonstração: Sendo $[;N/2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2;]$ , então

$[;N = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2d^2;]$

$[;= (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) + (c^2 + 2cd + d^2) + (c^2 - 2cd + d^2);]$

$[;=(a + b)^2 + (a - b)^2 + (c + d)^2 + (c - d)^2;]$

Em geral, existem mais de uma maneira para escrever um número $[;N;]$ como a soma de $[;4;]$ quadrados. Assim, é interessante saber se existem outras maneiras de escrever um número $[;N;]$ como a soma de $[;4;]$ quadrados após achar uma representação. Para responder esta pergunta, usamos o teorema de Jacobi para Quatro Quadrados.

Teorema 1: O número de representações de um inteiro como a soma de $[;4;]$ quadrados é igual a $[;8;]$ vezes a soma de todos os seus divisores que não são divisíveis por $[;4;]$ .

Por exemplo, sendo $[;30 = 1\times 2 \times 3\times 5;]$ , então o número de representações para escrever o número $[;30;]$ como a soma de $[;4;]$ quadrados é igual a $[;R = 8\times (1 + 2 + 3 + 5) = 88;]$ .