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Representação de um Inteiro Positivo Como Soma de 4 Quadrados

Escrever um número [;N;]como soma de [;4;] quadrados de uma ou mais maneiras é historicamente um problema comum apresentado aos calculadores mentais. Por exemplo, em [;1911;] o calculador Gottfried Ruckle levou [;8;] segundos para escrever [;15663;] como a soma de [;4;] quadrados. Sua solução foi [;15663 = 125^2 + 6^2 + 1^2 + 1^2;], em seguida ele mostrou também que [;15663 = 125^2 + 15^2 + 8^2 + 5^2;].

Estudaremos este problema usando a identidade de Lagrange que é apresentada em Geometria Analítica, no estudo do produto vetorial e suas interpretações geométricas.

Proposição 1: (Identidade de Lagrange) Se [;\vec{u} = (u_1,u_2,u_2);]
e [;\vec{v} = (v_1,v_2,v_3);] são dois vetores no [;\mathbb{R}^3;], então

[;\mid \vec{u}\times \vec{v} \mid^2 + (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 = \mid \vec{u}\mid^2\cdot \mid \vec{v}\mid^2;]

Demonstração: Da definição de produto vetorial, temos:

[;\vec{u}\times \vec{v} =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{bmatrix} =;]

[;=\begin{vmatrix}u_2 & u_3\\v_2 & v_3\\\end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}u_1 & u_3\\v_1 & v_3\\\end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}u_1 & u_2\\v_1 & v_2\\\end{vmatrix}\vec{k};]
donde segue que

[;\mid \vec{u}\times \vec{v} \mid^2 = (u_2v_3 - u_3v_2)^2 + (u_3v_1 - u_1v_3)^2 + (u_1v_2 - u_2v_1)^2;]

[;=u_{2}^2v_{3}^2 + u_{3}^2v_{2}^2 + u_{3}^2v_{1}^2 + u_{1}^2v_{3}^2 + u_{1}^2v_{2}^2 + ;]

[;+ u_{2}^2v_{1}^{2} - 2u_2u_3v_2v_3 - 2u_1u_3v_1v_3 - 2u_1u_2v_1v_2;]

[;= u_{1}^2(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2) - u_{1}^2v_{1}^2 - 2u_1u_2v_1v_2;]

[;+u_{2}^2(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2) - u_{2}^2v_{2}^2 - 2u_1u_3v_1v_3;]

[;+u_{3}^2(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2) - u_{3}^2v_{3}^2 - 2u_2u_3v_2v_3;]



[;=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot \vec{v})^2;]

onde na penúltima igualdade usamos a identidade

[;(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc;]

com [;a = u_1v_1;], [;b = u_2v_2;] e [;c = u_3v_3;].

Corolário 1: Se dois números naturais podem ser escritos como soma de três quadrados, então o produto deles pode ser escrito como soma de [;4;] quadrados.

Demonstração: Sejam [;N_1;], [;N_2 \in \mathbb{N};] tais que [;N_1 = u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2;] e [;N_2 = v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2;]. Pela Proposição 1, segue que

[;N_1N_2 = (u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2)(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2);]

[;= |\vec{u}\times \vec{v}|^2 + (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3)^2;]

[;= (u_2v_3 - u_3v_2)^2 + (u_3v_1 - u_1v_3)^2 +;]

[;+ (u_1v_2 - u_2v_1)^2 + (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3)^2 \qquad (1);]

O fato que todo inteiro positivo pode ser escrito como a soma de [;4;] quadrados é chamado de teorema de Bachet´s e que publicado por ele em [;1621;], mas foi Joseph L. Lagrange que apresentou uma demonstração em [;1770;]. Seu artigo, nos fornece uma maneira de resolver mentalmente este problema.

Exemplo 1: Escreva o número [;630 = 14\times 45;] como a soma de [;4;] quadrados.

Resolução: Note que [;14 = 1^2 + 2^2 + 3^2;] e [;45^2 = 2^2 + 4^2 + 5^2;]. Assim, pelo Corolário 1, temos:

[;630 = 14\times 45 = (1^2 + 2^2 + 3^2)\cdot (2^2 + 4^2 + 5^2);]

[;= (2\cdot 5 - 3\cdot 4)^2 + (3\cdot 2 - 1\cdot 5)^2 + (1\cdot 4 - 2\cdot 2)^2 + (1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 5)^2;]

[;=2^2 + 1^2 + 0^2 + 25^2;]

Observação 1: Trocando [;u_3;] por [;-u_3;] na identidade [;(1);], temos:

[;(u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2)(v_{1}^2 + v_{2}^2 + v_{3}^2) = (u_2v_3 + u_3v_2)^2;]

[;+ (u_3v_1 + u_1v_3)^2 + (u_1v_2 - u_2v_1)^2 + (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3)^2;]

de modo que [;630 = 5^2 + 22^2 + 11^2 + 0^2;]. Analogamente, trocando [;u_2;] por [;-u_2;], temos [;630 = 22^2 + 1^2 + 8^2 + 9^2;] e trocando [;u_1;]por [;-u_1;] obtemos também [;630 = 2^2 + 11^2 + 8^2 + 21^2;].

Observação 2: Um modo alternativo e prático para escrever [;630;] como a soma de [;4;] quadrados é o seguinte: Sendo [;N_1 = 14 = 1^2 + 2^2 + 3^2;] e [;N_2 = 45 = 2^2 + 4^2 + 5^2;], definimos os vetores: [;\vec{u} = (\pm 1, \pm 2, \pm 3);] e [;\vec{v} = (2,4,5);]. Assim, [;(1,-2,3)\times (2,4,5) = (-22,1,8);] e [;(1,-2,3)\cdot (2,4,5) = 9;]. Logo, [;630 = |(-22,1,8)|^2 + 9^2 = 22^2 + 1^2 + 8^2 + 9^2;]. Permutando os elementos do vetor [;(2,4,5);] obtemos novas representações.

Observação 3: Podemos usar parcelas repetidas para escrever o um número como a soma de [;4;] quadrados. Por exemplo, [;54 = 6\cdot 9 = (1^2 + 1^2 + 2^2)\cdot (1^2 + 2^2 + 2^2);]. Sejam [;\vec{u} = (1,2,2);] e [;\vec{v} = (1,-2,2);]. Assim, [;\vec{u}\times \vec{v} = (4,-3,-5);] e [;\vec{u}\cdot \vec{v} = 2;]. Logo, [;54 = 4^2 + 3^2 + 5^2 + 2^2;].

Outra estratégia para escrever um número [;N;]como soma de [;4;] quadrados é escolher o primeiro termo igual ao maior quadrado perfeito contido em [;N;]e tentar representar a diferença como soma de [;3;] quadrados. Para isso, procuramos o maior quadrado contido nessa diferença e assim por diante.

Exemplo 2: Escreva [;54;]como a soma de [;4;] quadrados usando a estratégia acima.

Resolução: [;54 = 7^2 + 7 = 7^2 + 2^2 + 1^1 + 0^2;] ou [;54 = 6^2 + 18 = 6^2 + 4^2 + 1^2 + 1^2;] ou [;54 = 5^2 + 29 = 5^2 + 4^2 + 13 = 5^2 + 4^2 + 3^2 + 2^2;].

Proposição 3: Se [;N/2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2;], então [;N = (a + b)^2 + (a - b)^2 + (c + d)^2 + (c - d)^2;].

Demonstração: Sendo [;N/2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2;], então

[;N = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2d^2;]

[;= (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) + (c^2 + 2cd + d^2) + (c^2 - 2cd + d^2);]

[;=(a + b)^2 + (a - b)^2 + (c + d)^2 + (c - d)^2;]

Em geral, existem mais de uma maneira para escrever um número [;N;] como a soma de [;4;] quadrados. Assim, é interessante saber se existem outras maneiras de escrever um número [;N;] como a soma de [;4;] quadrados após achar uma representação. Para responder esta pergunta, usamos o teorema de Jacobi para Quatro Quadrados.

Teorema 1: O número de representações de um inteiro como a soma de [;4;] quadrados é igual a [;8;] vezes a soma de todos os seus divisores que não são divisíveis por [;4;].

Por exemplo, sendo [;30 = 1\times 2 \times 3\times 5;], então o número de representações para escrever o número [;30;] como a soma de [;4;] quadrados é igual a [;R = 8\times (1 + 2 + 3 + 5) = 88;].

Teorema 2: Se [;N;]é da forma [;4^p(8k + 7);], então ele não pode ser expresso como a soma de três quadrados. Caso contrário, ele pode.

Gostará de ler também:
- Uma Sequência de Quadrados Perfeitos;
- Representação dos Naturais Como Soma de Dois Quadrados;
- Padrões Aritméticos (Parte 1);
- Padrões Aritméticos (Parte 2);
- Padrões Aritméticos (Parte 3);
- PSP (Parte 7) Soma de 4 Quadrados.